Luận văn tính ổn định mũ của một lớp phương trình sai phân phi tuyến trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN QUANG TÚ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG TÚ

TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG TÚ

TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Hiện

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Hiện - Đại học Sư phạm Hà Nội

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củaTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

NGUYỄN QUANG TÚ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài "Tính ổn định mũ của một lớp phương trình saiphân phi tuyến trong không gian Banach" được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và nhận thức của bản thân,không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

NGUYỄN QUANG TÚ

MỤC LỤC

Mở đầu .2

Một số ký hiệu 5

Chương 1 Một số kết quả sơ bộ 6

1.1 Giới thiệu sơ bộ 6

1.2 Bất đẳng thức Halanay rời rạc 9

Chương 2 Tính ổn định mũ của một lớp phương trình sai phân phi tuyến có trễ 13

2.1 Tính ổn định mũ toàn cục 13

2.2 Tính ổn định mũ địa phương 20

2.3 Một số ví dụ 23

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28

7

7 10

14

14 21 24

28

29

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các hệ phương trình vi phân có trễ (Delay differential equations,DDEs) đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượngtrong thế giới tự nhiên (xem [5,14]) Các ví dụ điển hình có thể tìm thấytrong các quá trình vật lý, hóa học, trong các hệ thống truyền và xử lí

dữ liệu, trong các mô hình sinh thái học, điều khiển robot hay mạng viễnthông Các hệ trong thực tiễn đó thường được mô tả bởi các phương trình

vi phân phi tuyến có trễ mà việc nghiên cứu định tính cũng như địnhlượng các lớp phương trình như thế thường gặp khó khăn hơn rất nhiều

so với các phương trình vi phân thường tương ứng [7]

Ngày nay, với sự phát triển rất mạnh mẽ của các kỹ thuật tính toándựa trên máy tính, các phương trình sai phân được thấy phù hợp hơncho việc mô phỏng, thử nghiệm và tính toán Điều này đóng một vai tròhết sức quan trọng trong các ứng dụng thực tế Từ quá trình rời rạc hóa,

hệ rời rạc được mô tả bởi các phương trình sai phân thừa hưởng các tínhchất về dáng điệu tương tự các hệ liên tục Chính vì vậy, vấn đề nghiêncứu định tính các hệ phương trình sai phân nói chung, phương trình saiphân phi tuyến nói riêng, nhận được sự quan của nhiều tác giả trong

và ngoài nước trong một vài thập kỉ vừa qua [3, 17] Là một bài toán

cơ bản quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống, bài toánphân tích tính ổn định của các phương trìnhsai phân có trễ hoặc không

có trễ đã và đang là chủ đề nghiên cứu sôi động trong thời gian gần đây(xem [6, 7, 12])

Trong các kết quả đã công bố liên quan đến tính ổn định của phươngtrình sai phân có trễ, một cách tiếp cận sử dụng rộng rãi là phương pháphàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) Tuy nhiên, phương pháp này một mặtphụ thuộc rất nhiều vào cách chọn (xây dựng) một hàm LKF thích hợp

và điều này thường dẫn đến các khó khăn nghiêm trọng, đặc biệt là đốivới các phương trình phi tuyến không dừng Một cách tiếp cận hiệu quảkhác là sử dụng nguyên lí so sánh dựa trên một số bất đẳng thức rời rạcnhư bất đẳng Gronwall hoặc bất đẳng thức Halanay [1, 7, 15] Gần đây,trong bài báo [2], dựa trên các kĩ thuật ước lượng trong các bất đẳngthức Halanay rời rạc và phương pháp đổi thang kiểu thuật toán Euclide,các tác giả nghiên cứu tính ổn định mũ toàn cục và địa phương đối vớimột lớp hệ sai phân phi tuyến có trễ Với mong muốn được tìm hiểu sâuhơn về chủ đề này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định mũcủa một lớp phương trình sai phân phi tuyến trong không gian Banach”dựa trên bài báo [2]

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định mũ của các hệ saiphân phi tuyến có trễ Đặc biệt, luận văn sẽ nghiên cứu và trình bày cáckết quả từ bài báo [2]

3 Nội dung nghiên cứu

Các nội dung được nghiên cứu trong luận văn bao gồm:

a) Tìm hiểu lý thuyết ổn định đối với các hệ rời rạc mô tả bởi cácphương trình sai phân

b) Bất đẳng thức Hanalay rời rạc và ứng dụng trong phân tích tính ổn

định hệ rời rạc phi tuyến.

c) Phân tích, làm rõ các kết quả nghiên cứu trong bài báo [2]

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Xét phương trình sai phân phi tuyến dạng sau đây:

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng nguyên lí so sánh và một số kĩ thuật trong giảitích cổ điển và và phương trình vi-sai phân

6 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo,luận văn được chia thành hai chương

Chương 1 trình bày sơ lược về phương trình vi phân có trễ và phươngpháp rời rạc hóa

Chương 2 nghiên cứu tính ổn định mũ toàn cục và địa phương củalớp hệ sai phân phi tuyến dạng (0.1).

Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ SƠ BỘ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách sơ lược một số kếtquả về xấp xỉ phương trình vi phân có trễ, bất đẳng thức Halanay rời rạc

và một số kết quả bổ trợ khác được sử dụng trong luận văn

1.1 Giới thiệu sơ bộ

Xét phương trình vi phân hàm sau đây

τ > 0, là một hàm phi tuyến liên tục, φ ∈ C([−τ, 0], R) là hàm xác

Phương trình (1.1) xuất hiện trong nhiều mô hình sinh thái học [14]

Sử dụng bất đẳng thức Halanay liên tục, các tác giả trong [9] chỉ ra rằng

mọi nghiệm của (1.1) hội tụ mũ đến điểm cân bằng x = 0 Sau đó, bằngcác bất đẳng thức Halanay rời rạc, các tác giả trong [10] chứng minh điều

cùng điều kiện đó, phương trình sai phân sinh ra từ quá trình rời rạc hóavẫn giữ nguyên tính chất ổn định từ phương trình với thời gian liên tục

Cụ thể hơn, cho r là một số nguyên dương (số khoảng chia) và h = τ/r

i ∈ Z Khi đó phương trình (1.1) được xấp xỉ bởi lược đồ sau đây

kì ràng buộc nào trên bước chia h > 0.

Bây giờ ta vận dụng lược đồ xấp xỉ như đã xây dựng cho (1.4) vàolớp phương trình vi phân phi tuyến không dừng sau đây:

tục, G(t, 0) = 0, τi, i ∈ m = {1, 2, , m}, là các số dương biểu thị độ

Trước hết chúng tôi nhắc lại định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Phương trình (1.6) được gọi là ổn định mũ toàn cục

kiện đầu φ thỏa mãn bất đẳng thức

tuyến tính, các điều kiện đưa ra đảm bảo tính ổn định mũ địa phươngđối với (1.6).

1.2 Bất đẳng thức Halanay rời rạc

Năm 1966, trong cuốn chuyên khảo của mình Halanay chứng minhmột bổ đề để sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ tuyếntính có trễ Kết quả đó được rất nhiều tác giả sử dụng và thường đượcbiết đến với tên gọi bất đẳng thức Halanay

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Halanay liên tục) Giả sử rằng hàm liên tụckhông âm f (t) thỏa mãn bất đẳng thức

Khi đó, nếu a(n) − b(n) ≥ c > 0 thì tồn tại một số λ0 ∈ (0, 1) sao cho

khoảng (0, 1) của phương trình

với mọi x ≥ 0 nên ta có

Theo quy nạp, bất đẳng thức trên đúng với mọi k

Chứng minh tương tự Bổ đề 1.2.1 ta có kết quả sau

Bổ đề 1.2.3 Cho các số thực bi ≥ 0, a > 0, bm > 0, các số nguyên dương

thức dạng biến thiên hằng số sau đây

Kết hợp với giả thiết của định lí ta suy ra

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định mũ đối với mộtlớp hệ phương trình sai phân phi tuyến dạng

2.1 Tính ổn định mũ toàn cục

Đối với hệ phương trình sai phân (2.1), ta xét các giả thiết sau:

(H1) a(n), b(n) là các hàm bị chặn thỏa mãn điều kiện

i ∈ p, và các số không âm αij thỏa mãn Pm

điều kiện (2.2) thường được gọi là điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tínhcủa hàm F

Định lí 2.1.1 Giả sử các giả thiết (H1) và (H2) được thỏa mãn Nếu

n →∞

na(n) − |b(n)|

p

X

i=1

thỏa mãn đánh giá

nhất của (2.1) Ta sẽ chứng minh điểm cân bằng này ổn định mũ toàncục

inf

n ≥N 0

na(n) − |b(n)|

Tiếp theo, lấy ý tưởng từ thuật toán Archimède, ta chia lại thang

Cuối cùng, để thu được đánh giá mũ (2.4), ta định nghĩa γ =

Do đó, từ(2.11), ta có

Hệ quả 2.1.1 (xem [13], Định lí 3.1) Cho x(n) là một dãy các số thựckhông âm thỏa mãn

(2.15a)

x(n) = |ϕ(n)|, n ∈ [n0 − k∗, n0], (2.15b)

ở đó h > 0, k(n), n ∈ Z, là một dãy bị chặn các số nguyên không âm,

dãy các số thực, ˜a(n), ˜b(n) là các dãy số thực bị chặn Giả sử rằng

bằng cách đặt a(n) = h˜a(n), b(n) = h˜b(n) và σ = h˜σ Khi đó, ˜λ được

1+h˜ a +

k∗.Nhận xét 2.1.3 Trong bài báo [13], bằng cách sử dụng các kỹ thuậtgốc của bất đẳng thức Halanay liên tục, sự tồn tại của hằng số ˜λ đượcxác định dựa trên tính liên tục của hàm

tôi chỉ ra biểu thức hiển của tốc độ hội mũ ˜λ

Định lí 2.1.1 cũng bao hàm một số kết quả gần đây, chẳng hạntrong [12, 15, 16]

Hệ quả 2.1.2 (xem [16]) Phương trình sai phân phi tuyến

ở đó hi ∈ Z+, p > 0, là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các số thực

1−p−q 0, ∀n, αij = 1 nếu j = i và αij = 0 for j 6= i Khi

đó, dễ thấy rằng các giả thiết (H1) và (H2) được thỏa mãn Điều kiện

Theo Nhận xét 2.1.2, phương trình (2.18) là ổn định mũ toàn cục

Như một ứng dụng, chúng tôi xét phương trình sai phân tuyến tínhkhông dừng trong không gian Banach X sau đây

n ≥ 0 Kết quả sau đây mở rộng Hệ quả 2.6 trong [12]

Nhận xét 2.2.1 Giả thiết (H3) hiển nhiên là yếu hơn (H2) Cụ thể hơn,nếu hàm phi tuyến F thỏa mãn (H2) thì F cũng thỏa mãn (H3) Trongđịnh lí dưới đây chúng tôi chỉ ra rằng dưới giả thiết (H3), điều kiện (2.3)đảm bảo tính chất ổn định địa phương của (2.1) nhưng không thể đảmbảo tính ổn định mũ toàn cục của (2.1).

Định lí 2.2.1 Với các giả thiết (H1) và (H3), giả sử rằng điều kiện (2.3)

Đánh giá này chứng tỏ rằng phương trình (2.1) là ổn định mũ địa phương.Định lí được chứng minh.

Nhận xét 2.2.2 Các kết quả của Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1 có thể

trong Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1 nên chúng tôi bỏ qua ở đây

đưa ra trong [11–13, 15] không được thỏa mãn Tuy nhiên, có thể

(c) Với µ 6= 0 và |λ| < 1, theo Định lí 2.2.1, phương trình (2.30) là ổnđịnh mũ địa phương Tuy nhiên, trong trường hợp này, (2.30) không

số Ta thấy rằng nghiệm tương ứng của (2.30) thỏa mãn kx(n)k > 1với mọi n ≥ 0 Điều này chứng tỏ (2.30) không thể ổn định mũ toàncục

Phương trình (2.31) có thể viết được dưới dạng (2.1) với a(k) =

Ví dụ 2.3.3 Xét phương trình vi phân phi tuyến chứa trễ sau đây

mô tả mô hình sinh thái học (mô hình Nicholson’s blowflies) (xem [8] vàcác tài liệu trích dẫn ở đó) Tác giả trong [8] đã chứng minh rằng với

không âm x(t, ϕ) của(2.33) trên khoảng [0, ∞) Giả sử tồn tại các số

Theo Định lí 2.1.1, phương trình (2.34) là ổn định mũ toàn cục Để minhhọa, lấy α(t) = 1.5+| sin(t)|, β(t) = 3| cos(2t)| và γ(t) = 1+| cos(2t)| Ta

trình (2.35) ổn định mũ toàn cục Điều này chứng tỏ quá trình rời rạchóa (2.33) hội tụ cấp mũ với bất kì trễ bị chặn τ(t).

Chú ý thêm rằng, với ví dụ này, điều kiện ổn định đưa ra trong [4,Định lí 5] đảm bảo rằng mọi nghiệm của (2.33) hội tụ về điểm cân bằng

x = 0 nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn

bảo tính ổn định của phương trình rời rạc với các trễ nhỏ Điều này chứng

tỏ tính hiệu quả của phương pháp đề xuất trong [2] như trình bày trongChương 2 của luận văn này

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về tính ổn định mũcủa một số lớp phương trình sai phân phi tuyến dạng trừu tượng trongkhông gian Banach dựa trên nội dung bài báo [2] Các kết quả chính đãtrình bày trong luận văn bao gồm:

1 Một số dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc và ứng dụng xét tính ổnđịnh của một lớp hệ rời rạc phi tuyến có trễ (Bổ đề 1.2.2, 1.2.3, Định

lí 1.2.1)

2 Chứng minh điều kiện ổn định mũ toàn cục đối với một lớp phươngtrình sai phân phi tuyến chứa trễ trong không gian Banach (Định lí2.1.1) và một số kết quả liên quan (Hệ quả 2.1.1-2.1.3)

3 Chứng minh tính ổn định mũ địa phương khi hàm phi tuyến khôngthỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính (Định lí 2.2.1)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R P Agarwal, Y H Kim, S K Sen, New discrete Halanay ities: stability of difference equations, Comm Appl Anal 12 (2008)83–90

inequal-[2] N.S Bay, L.V Hien, H Trinh, Exponential stability of a class ofnonlinear difference equations in Banach spaces, Commun Korean

[8] L V Hien, Global asymptotic behaviour of positive solutions to anon-autonomous Nicholson’s blowflies model with delays, J Biol.

[14] H Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with plications to the Life Sciences, Springer, 2011

Ap-[15] Y Song, Y Shen, Q Yin, New discrete Halanay-type inequalitiesand applications, Appl Math Lett 26 (2013) 258–263

[16] S Udpin, P Niamsup, New discrete type inequalities and global bility of nonlinear difference equations, Appl Math Lett 22 (2009)856–859

sta-[17] T Vyhlídal, J.F Lafay, R Sipahi, Delay Systems: From Theory toNumerics and Applications, Springer, Dordrecht, 2014