Hàm phần nguyên và ứng dụng

Luận văn đi sâu vào nghiêncứu hai trong những phương hướng cơ bản của Lý thuyết định tínhphương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là sự daođộng, không dao động và tính

HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, càng có nhiều nghiên cứu cho thấy những ứngdụng quan trọng của phương trình vi phân đối số lệch vào các lãnh vựcvật lý, sinh học, sinh thái học và sinh lý học Luận văn đi sâu vào nghiêncứu hai trong những phương hướng cơ bản của Lý thuyết định tínhphương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là sự daođộng, không dao động và tính ổn định của phương trình vi phân trunghòa đối số lệch cấp một loại tuyến tính và không tuyến tính 604

2 Độ giao hoán tương đối của một mở rộng nhóm

Trong mục này ta nghiên cứu độ giao hoán tương đối của một mở rộngnhóm

Mệnh đề 1 Cho H1 và H2 là hai nhóm con của G sao cho H1 ⩽ H2.Khi đó

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2 Cho H và N là các nhóm con của nhóm G sao cho N ⩽H

và N ◁G Khi đó

Pr(H, G)⩽Pr(H/N, G/N ) Pr(N ).

Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy ra nếu N ∩ [H, G] = 1.

Chứng minh Lấyx ∈ Gbất kỳ Giả sửy ∈ CH(x) Khi đóyN ∈ CH(x)N

Thật vậy, lấy x ∈ G bất kỳ Giả sử yN ∈ CH/N(xN ) với y ∈ H Khi đó

xN yN = yN xN, cho nên (xy)N = (yx)N Từ đó suy ra

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề ??

CH(y)N N

|CN(y)|.

N = CH/N(yN ) với mọi y ∈ G.

Theo lập luận ở trên ta có

CG(x) ∩ S = G ∩ S ̸=∅ với mọi x ∈ N và với mọi S ∈ G/N.

Do đó

|S ∩ CG(x)| = |CN(x)| với mọi x ∈ N.

Từ đó suy ra rằng xảy ra dấu đẳng thức

Trong trường hợp đặc biệt, đối với tích trực tiếp ta có kết quả sau.Mệnh đề 3 Cho N và H là hai nhóm, N 1 và H 1 tương ứng là các nhómcon của N và H Khi đó

Vây ta có điều phải chứng minh

Đặc biệt, ta có kết quả sau

Hệ quả 1 Cho H và N là hai nhóm bất kỳ Khi đó

Pr(H, N × H) = Pr(H).

Đối với tích nửa trực tiếp vấn đề tính độ giao hoán tương đối trởnên phức tạp hơn rất nhiều Trong phần còn lại của mục này ta sẽ mộttrường hợp đặc biệt.

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính độ giao hoán tương đối củamột nhóm abel với tích nửa trực tiếp của nó bởi một nhóm xiclíc cấp 2.Mệnh đề 4 Cho A là một nhóm giao hoán, α là một tự đẳng cấu của

A sao cho α2 = idA và C2 = ⟨u⟩ là một nhóm xiclíc cấp 2 với u là phần

tử sinh Ký hiệu G = A×θ C2 là tích nửa trực tiếp củaA bởi nhóm xiclíc

C2 = ⟨u⟩ với tác động θ : C2 → Aut(A) được cho bởi công thức θ(u) = α.Khi đó

Pr(A, G) = 1

2 +

|Aα| 2|A|

trong đó Aα= {a ∈ A | α(a) = a}

Chứng minh Giả sử x = (x1, 1) ∈ A Khi đó ta có

CG(x) = CA(x) ∪ CG\A(x).

Vì A là nhóm giao hoán nên CA(x) = A Ta có

CG\A(x) = {(a, u) ∈ G \ A | (x 1 , 1)(a, u) = (a, u)(x 1 , 1)}

= {(a, u) ∈ G \ A | (x1a, u) = (aθ(u)(x1), u)}

= {(a, u) ∈ G \ A | (ax1, u) = (aα(x1), u)}.

Ta xét hai trường hợp của x1 như sau

Trường hợp 1: x1 ∈ Aα Khi đó aα(x1) = ax1 với mọi a ∈ A Do đó

|CG\A| = |A|

Trường hợp 2: x1 ∈ A \ Aα Khi đó aα(x1) ̸= ax1 với mọi a ∈ A Do đó

CG\A= ∅, cho nên |CG\A| = 0

2 +

|A α | 2|A|.Vậy ta có điều phải chứng minh

Số ∥f ∥Lp được gọi là chuẩn Lp của f trên A

Định lý 1 (Fisher - Riesz) (Lp(A), ∥.∥Lp ) là không gian Banach nếu

1 ≤ p ≤ ∞ Hơn nữa L2(A) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(ii) |fhk(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω, ∀k.

Nhận xét 1 Nó sẽ không còn giữ ý nghĩa như (MC) ⇒ fh(x) → f (x)hầu khắp nơi x ∈ Ω

Nhận xét 2 Chú ý rằng C0 ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞], với Ω ⊂Rn làtập mở bị chặn, nếu không thì quan hệ bao hàm không được giữ trongkhi đó nó giữ được quan hệ bao hàm C0c(Ω) ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞]

v-dịch chuyển của f được định nghĩa bởi

(τ v f )(x) := f (x + v)Định lý 3 (M.Riesz - Fréchét - Kolmogorov) Cho F là tập con bị chặntrong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) với 1 ≤ p < ∞ Giả sử rằng lim

v→0 ∥τvf − f ∥Lp = 0 đềuvới mỗi f ∈ F, nghĩa là

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 : ∥τ v f − f ∥Lp < ϵ, ∀v ∈Rn với |v| < δ, ∀f ∈ F (N EF)Khi đó F |Ω := {f |Ω : f ∈ F } là compact tương đối trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ),nghĩa là bao đóng của nó là compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ), với mỗi tập mở

Ω ⊂ Rn với độ đo Lebesgue hữu hạn

Từ định lý 22 ta suy ra điều kiện compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

Nếu f : Ω →R, ta ký hiệu ef :Rn →R là hàm được định nghĩa như

Hệ quả 2 Cho Ω ⊂Rn là tập mở với độ đo hữu hạn, cho F ⊂ Lp(Ω) vàcho F := {e f : f ∈ F }e Giả sử rằng

(i) F bị chặn trên (Lp(Ω), ∥.∥Lp ) với 1 ≤ p < ∞;

Cuối cùng, hãy nhớ lại các đặc tính của compact trong(Lp(Rn), ∥.∥Lp ).Định lý 4 Cho F ⊂ Lp(Rn) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F là compact tươngđối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) khi và chỉ khi

0 nếu ngược lại

và Ω := (0, 1) Khi đó dễ thấy rằng ∥f ∥L1 R = 1 với mỗi h ∈ N và F |Ωkhông compact tương đối trong (L1(Ω), ∥.∥L1 ), vì không có dãy con nàocủa (fh)h hội tụ trong L1(Ω) Mặt khác, v > 0, với mỗi h > 1/v

Do đó, (ENF) không còn đúng cho F

(ii) Nếu Ω không có độ đo hữu hạn, khi đó kết quả của định lý 22 khôngcòn đúng nữa Thật vậy, xét họ F := {fh: h ∈N} ở đây fh:R→R đượcđịnh nghĩa fh(x) := f (x + h) ở đây f ∈Lip(R) với spt(f ) = [−a, a], a > 0,

và f không triệt tiêu Khi đó

∥f ∥L1 (R) = ∥f ∥L1 (R) > 0 ∀h. (1)Hơn thế nữa F thỏa mãn (ENF), bởi vì

|τ v f − f (x)| = |f (x + v)f (x)| ≤ L|v|X [−a−1,a+1](x) ∀x ∈R, v ∈ [−1, 1]và

Nhận xét 4 Cho Ω ⊂ là tập bị chặn, khi đó quan hệ bao hàm C0(Ω) ⊂

L∞(Ω) là chặt Hơn thế nữa, với mỗi f ∈C0(Ω)

∥f ∥∞,Ω= ∥f ∥L∞ (Ω) (∗)Thật vậy

Đặc biệt, từ (∗), C0(Ω) hóa ra là đóng trong (L∞(Ω), ∥.∥L∞ (Ω) )

Không gian đối ngẫu của Lp(Ω)

Định lý 5 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho 1 ≤ p < ∞ và ký hiệu

Chứng minh Ta chia chứng minh thành ba bước

Bước 1: Ta chứng minh rằng T là một phép đẳng cự, nghĩa là

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ = ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (2)Theo bất đẳng thức Holder, suy ra bất đẳng thức

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≤ ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (3)

Ta chỉ ra bất thức ngược lại Đầu tiên, giả sử 1 < p < ∞, điều này cũng

có nghĩa là 1 < p′ < ∞ Nếu ∥u∥Lp′ (Ω) = 0, khi đó, u = 0 hầu khắp nơitrong Ω bất đẳng thức này là rõ ràng Giả sử 0 < ∥u∥Lp′ (Ω) < ∞, khi đó

ta cần giả sử rằng 0 < |u(x)| < ∞ hầu khắp nơi x ∈ Ω Định nghĩa

f u (x) := |u(x)|p′−2u(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω.

Điều này cũng có nghĩa là

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≥ ∥u∥Lp′ (Ω) ∀u ∈ Lp′(Ω). (5)

Vì thế (12) và (14) cho ta (11) Cuối cùng, cho trường hợp p = 1, vì

p′= ∞, giả sử 0 < M < ∥u(x)∥L∞ (Ω) Khi đó tập hợp

Bởi vì |Ω| < ∞, χE ∈ Lp(Ω) với bất cứ E ∈ M := M n ∩ Ω, p ∈ [1, ∞) Địnhnghĩa tập hợp hàm ν : M →R

ν(E) := ϕ(χE), E ∈ MChỉ ra rằng

ν là σ-hữu hạn, độ đo có dấu; (6)

=

ϕ(χE) −

=