Sử dụng hàm h vào thống kê nhiều chiều và ứng dụng

Khi đó F là compact tươngđối trong LpRn, ∥.∥Lp khi và chỉ khi Do đó, ENF không còn đúng cho F ii Nếu Ω không có độ đo hữu hạn, khi đó kết quả của định lý 29 khôngcòn đúng nữa... Cácphần

SỬ DỤNG HÀM H VÀO THỐNG KÊ NHIỀU CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

số bé e Khi đó chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệmđến cấp N +1 theo e đủ nhỏ Cuối cùng tính khả vi của nghiệm phụthuộc vào tính khả vi của các hàm gi Rijk Sijk Xijk F, , , , cũng đượcnghiên cứu 287

Số ∥f ∥Lp được gọi là chuẩn Lp của f trên A.

Định lý 1 (Fisher - Riesz) (Lp(A), ∥.∥Lp ) là không gian Banach nếu

1 ≤ p ≤ ∞ Hơn nữa L2(A) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(ii) |fhk(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω, ∀k

Nhận xét 1 Nó sẽ không còn giữ ý nghĩa như (MC) ⇒ fh(x) → f (x)hầu khắp nơi x ∈ Ω

Nhận xét 2 Chú ý rằng C0 ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞], với Ω ⊂Rn làtập mở bị chặn, nếu không thì quan hệ bao hàm không được giữ trongkhi đó nó giữ được quan hệ bao hàm C0c(Ω) ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞]

và bất kỳ tập mở Ω, ở đó

C0c(Ω) := {f ∈ C0(Ω) : spt(f ) là compact và được chứa trong Ω}

v-dịch chuyển của f được định nghĩa bởi

(τvf )(x) := f (x + v)Định lý 3 (M.Riesz - Fréchét - Kolmogorov) Cho F là tập con bị chặntrong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) với 1 ≤ p < ∞ Giả sử rằng lim

v→0 ∥τvf − f ∥Lp = 0 đềuvới mỗi f ∈ F, nghĩa là

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 : ∥τvf − f ∥Lp < ϵ, ∀v ∈Rn với |v| < δ, ∀f ∈ F (N EF)Khi đó F |Ω := {f |Ω : f ∈ F } là compact tương đối trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ),nghĩa là bao đóng của nó là compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ), với mỗi tập mở

Ω ⊂ Rn với độ đo Lebesgue hữu hạn

Từ định lý 29 ta suy ra điều kiện compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

Nếu f : Ω →R, ta ký hiệu ef :Rn →R là hàm được định nghĩa như

Chứng minh Từ định lý 29, Fe là một tập compact tương đối Lưu ýrằng bây giờ thìFelà compact dãy tương đối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp )khi vàchỉ khi F là compact dãy tương đối trong(Lp(Ω), ∥.∥Lp ) Do đặc tính củatập compact trong không gian metric (Định lý ??) có điều phải chứngminh.

Cuối cùng, hãy nhớ lại các đặc tính của compact trong(Lp(Rn), ∥.∥Lp ).Định lý 4 Cho F ⊂ Lp(Rn) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F là compact tươngđối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) khi và chỉ khi

Do đó, (ENF) không còn đúng cho F

(ii) Nếu Ω không có độ đo hữu hạn, khi đó kết quả của định lý 29 khôngcòn đúng nữa Thật vậy, xét họ F := {fh: h ∈N} ở đây fh:R→R đượcđịnh nghĩa fh(x) := f (x + h) ở đây f ∈Lip(R) với spt(f ) = [−a, a], a > 0,

và f không triệt tiêu Khi đó

∥f ∥L1 (R) = ∥f ∥L1 (R) > 0 ∀h. (1)

Hơn thế nữa F thỏa mãn (ENF), bởi vì

|τvf − f (x)| = |f (x + v)f (x)| ≤ L|v|X [−a−1,a+1](x) ∀x ∈R, v ∈ [−1, 1]và

Nhận xét 4 Cho Ω ⊂ là tập bị chặn, khi đó quan hệ bao hàm C0(Ω) ⊂

L∞(Ω) là chặt Hơn thế nữa, với mỗi f ∈C0(Ω)

∥f ∥∞,Ω= ∥f ∥L∞ (Ω) (∗)Thật vậy

Đặc biệt, từ (∗), C0(Ω) hóa ra là đóng trong (L∞(Ω), ∥.∥L∞ (Ω) )

Không gian đối ngẫu của Lp(Ω)

Định lý 5 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho 1 ≤ p < ∞ và ký hiệu

là đẳng cấu metric và nó sẽ có những đặc trưng bằng sự xác định

Lp′(Ω) ≡ (Lp(Ω))′ nếu 1 ≤ p < ∞.

Chứng minh Ta chia chứng minh thành ba bước

Bước 1: Ta chứng minh rằng T là một phép đẳng cự, nghĩa là

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ = ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (2)Theo bất đẳng thức Holder, suy ra bất đẳng thức

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≤ ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (3)

Ta chỉ ra bất thức ngược lại Đầu tiên, giả sử 1 < p < ∞, điều này cũng

có nghĩa là 1 < p′ < ∞ Nếu ∥u∥Lp′ (Ω) = 0, khi đó, u = 0 hầu khắp nơitrong Ω bất đẳng thức này là rõ ràng Giả sử 0 < ∥u∥Lp′ (Ω) < ∞, khi đó

ta cần giả sử rằng 0 < |u(x)| < ∞ hầu khắp nơi x ∈ Ω Định nghĩa

f u (x) := |u(x)|p′−2u(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω.

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≥ ∥u∥Lp′ (Ω) ∀u ∈ Lp′(Ω). (5)

Vì thế (14) và (16) cho ta (13) Cuối cùng, cho trường hợp p = 1, vì

p′= ∞, giả sử 0 < M < ∥u(x)∥L∞ (Ω) Khi đó tập hợp

EM := {x ∈ Ω : |u(x)| > M } ∈ M và |EM| > 0.

Từ không gian đo (Ω, M n ∩ Ω, Ln) làσ−hữu hạn, tồn tại tậpF ∈ M n ∩ Ωsao cho

ν(E) := ϕ(χE), E ∈ MChỉ ra rằng

ν là σ-hữu hạn, độ đo có dấu; (6)

Thật vậy |ν(E)| < ∞ với mỗi E ∈ M, do đó ν là σ-hữu hạn Giả sử(Eh)h ⊂ M là một dãy rời nhau, ta chưng minh rằng ν(∪∞h=1Eh) =

=

ϕ(χE) −

=