Sử dụng hàm h vào thống kê nhiều chiều và ứng dụng

1 PHẦN MỞ ĐẦUMô hình toán học là một hình thức sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống hoặc đối tượng trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kỹ thuật ví dụ: vật lý,

SỬ DỤNG HÀM H VÀO THỐNG KÊ NHIỀU CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Mô hình toán học là một hình thức sử dụng ngôn ngữ toán học để mô

tả về một hệ thống hoặc đối tượng trong các ngành khoa học tự nhiên

và chuyên ngành kỹ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, kỹ thuật điện tử)đồng thời trong cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học và khoa họcchính trị) Các kỹ sư, nhà khoa học sử dụng mô hình toán học như mộtcông cụ nghiên cứu Các mô hình đưa ra mô tả các vấn đề đời thực màchúng có thể được biểu thị dưới dạng phương trình toán học, trong đó

2 Không gian các hàm liên tục C0(Ω)

Định nghĩa 1 (i) Cho tập A ⊂Rn,

C0(A) := {f : A →R, f liên tục tại mọi x ∈ A}.

(ii) Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho f ∈C0(K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ làmột số thực không âm và được xác định bởi

Chứng minh Ta sẽ giới hạn khi n = 1 và Ω = (a, b) thì ta phải chứngminh rằng (C0(Ω), ∥.∥∞) là không gian định chuẩn vô hạn chiều trên R

Ta chứng minh nó là không gian Banach Nghĩa là phải chỉ ra mỗi dãyCauchy (fh)h ⊂ (C0(Ω), ∥.∥∞) đều hội tụ (tại một phần tử thuộc khônggian) Giả sử (fh)h là dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈N

Tính compact trong (C0(Ω), ∥.∥ ∞ ).

Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu đặc trưng của các tập con compact trên

(C0(Ω), ∥.∥∞) Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số khái niệm và kết quả quantrọng liên quan đến chủ đề compact trong không gian metric

Định nghĩa 2 Cho (X, d) là không gian metric và ký hiệu B(x, r) làhình cầu mở trong X, tâm x bán kính r > 0 với x ∈ X

(i) Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm giới hạn của tập A ⊂ X khi A ∩ (B(x0, r)\{x0}) ̸= ∅, ∀r > 0

(ii) Tập A ⊂ X được gọi là bị chặn nếu tồn tại R 0 > 0 sao cho d(x, y) ≤

Định lý 2 (Các tiên đề chuẩn của tập compact trong không gian metric).Nếu A là một tập con của không gian metric (X, d), ta có các điều sauđây tương đương:

(i) A compact;

(ii) A là compact dãy;

(iii) (A, d) là đầy đủ và bị chặn hoàn toàn;

Định lý 3 (Riesz) Cho (E, ∥.∥) là không gian định chuẩn và ta ký hiệu

BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi đó BE compact khi và chỉ khi dimRE < ∞.Nhận xét 3 Định lý 30 cho rằng một tập A bị chặn trong không gianđịnh chuẩn vô hạn chiều(E, ∥.∥) không nhất thiết phải bị chặn hoàn toàn

Ví dụ như A = BE

Định nghĩa 3 Cho A ⊂Rn Một họ các tập F ⊂C0(A) được gọi là tựaliên tục nếu với mọi ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 sao cho mỗi f ∈ F , |f (x) − f (y)| < ϵ

với mọi x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ

Ta thêm những tiên đề chuẩn của các tập compact trong(C0(K), ∥.∥∞)

khi K ⊂Rn là compact

Định lý 4 (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn là compact và giả sử F ⊂

C0(K) Khi đó F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞) khi và chỉ khi F là:(i) đóng trên (C0(K), ∥.∥∞);

(ii) bị chặn trên (C0(K), ∥.∥∞);

(iii) liên tục đều

Hệ quả 2 Cho K ⊂Rn là compact và cho F ⊂ C0(K) Giả sử rằng F

bị chặn và liên tục đều Khi đó F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞)

Cụ thể hệ quả này cho ta kết quả đặc biệt sau

Hệ quả 3 Cho fh : [a, b] →R, (h = 1, 2, ) là dãy hàm liên tục Giả sửrằng:

(i) ∃M > 0 sao cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h.

(ii) (fh)h là liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 sao cho |fh(x) −

fh(y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h.

Khi đó ta có một dãy con (fhk)k và hàm f ∈C0([a, b]) thỏa mãn fhk → f

đều trên [a, b]

Định lý 5 Giả sử M > 0 là một hằng số cho trước và

F = {f ∈C1([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M }.

Khi đó F là tập compact tương đối trong (C0([a, b]), ∥.∥∞);

Chứng minh định lý 31 Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) và (iii) ta chỉ ra

F compact Theo tính chất của tập compact ở định lý 29 ta có thể chỉ

ra rằng F là một compact dãy Vì vậy một dãy bất kỳ (fh)h ∈ F có mộtdãy con (fhk)k hội tụ về một hàm f ∈ F, nghĩa là,

∥fhk − f ∥∞ → 0 khi k → ∞

Nhớ rằng K là compact và tách được Giả sử D := {x i : i ∈N} đếm được

và trù mật trong K F bị chặn nghĩa là tồn tại M1> 0 thỏa mãn

Bước 1: (fh(x1))h là một dãy số thực trong [−M2, M2] Suy ra dãy này

có một dãy con (fh(1)(x 1 ))h hội tụ trong R;

Bước 2: Xét dãy(fh(1)(x2))h⊂ [−M2, M2] Do đó dãy con(fh(2)(x2))h cũnghội tụ Chú ý rằng dãy (fh(2)(x 1 ))h cũng hội tụ vì có dãy con (fh(1)(x 1 ))h

hội tụ

Tiếp tục quá trình như trên ta được

Bước k: Một dãy con (fh(k))h của (fh(k−1))h thỏa mãn (fhk(xj))h là hội tụvới mỗi j = 1, k

Ta có tình huống sau đây:

Rn thỏa mãn N = N (σ), xi∈ K với mỗi i = 1, , N và

Nghĩa là (gk)k là dãy Cauchy trong (C0(K), ∥.∥∞) Từ (C0(K), ∥.∥∞) là

đầy đủ và F là đóng, suy ra tồn tại f ∈ F thỏa mãn lim

k→∞ ∥gk− f ∥∞= 0

Từ(gk)k là dãy con của dãy(fh)h, chúng ta phải chỉ ra rằngF là compact

dãy

Sự cần thiết: Cần chỉ ra rằng, nếu F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞)

khi đó ta có được (i), (ii) và (iii) Giả sử F là compact trong không gian

metric (C0(K), ∥.∥∞), khi đó, theo tính chất của các tập compact trong

không gian metric, F đóng và bị chặn hoàn toàn do đó bị chặn Chỉ ra

rằngF liên tục đều, nghĩa là ta phải chứng minh (34) Theo phản chứng,

ϱ ∗ f → f đều trên tập compact của Rn.

Chứng minh Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho K′ := K + B(0, 1).Theo tính liên tục đều của f trên tập compact K′, ∀ϵ > 0 tồn tại 0 <

δ = δ(ϵ, K′) < 1 thỏa mãn

|f (x − y) − f (x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ). (8)

Mặt khác, nếu h ∈N thỏa 1/h < δ và x ∈ K, theo (??),

|(f ∗ ϱh)(x) − f (x)| =

Z

Rn

f (x − y)ϱh(y)dy − f (x)

=