chương 5 hệ phương trình tuyến

MỘT SỐ KHÁI NIỆM ttb/ Chú thích tt: * Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là... HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER ttb/ Định lý Cra

Trang 2

CHƯƠNG 5:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

Trang 3

mn 2

2 m 1

1 m

2 n

n 2 2

22 1

21

1 n

n 1 2

12 1

11

bx

a

xa

bx

a

xa

bx

a

xax

a)

1(

Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x1, … , xn là các ẩn của hệ

Trang 4

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

m m

n

n B

b a

a a

b a

a a

b a

a a

2 2

22 21

1 1

12 11

* Ma trận

được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)

được gọi là ma trận của hệ (1)

Trang 5

b

bB

thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B

* Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất

x

xx

Trang 6

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích (tt):

* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có

ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là

Trang 7

nn n

n

n n

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

Trong đó A = (aij)  Mn(K) và detA  0

Trang 8

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

b/ Định lý Cramer:

Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

n,

,2,1i

,A

Ax

) i (

bB

Trong đó: A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột

Trang 9

4

52

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

Trang 10

Ví dụ (tt) :

Ta có:

181

1-8

21

4

2-1-

2

3,2,1i

,A

Ax

) i (

Nhận xét: detA  0 Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

Trang 11

Ví dụ (tt) :

181

15

21

1

21

5

) 1 (

58

21

4

25

8

11

4

51

2

) 3 (

3 2

1

x x x

Trang 12

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ

a/ Định lý Kronecker – Capeli

(Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn)

Hệ phương trình (1) có nghiệm  r(A) = r(AB)

* Hệ phương trình (1) vô nghiệm  r(A) < r(AB)

b/ Chú ý:

* Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất  r(A) = r(AB) = n

* Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm  r(A) = r(AB) < n.

(lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A))

Trang 13

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham

1

mz y

x

z my

x

z y

mx

2

)1m

)(

2m

(m

11

1m

1

11

mA

Ta có:

Trang 14

Ví dụ (tt):

0

det 2

m z

m y

m x

Trang 15

Ví dụ (tt):

b/ Trường hợp m = 1:

Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình

x + y + z = 1

Lúc này r(A) = r(AB) = 1

Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do

R t

t t

z

t y

t t

2 1

2

1

, ,

1

Trang 16

1 2

z y

x

z y

x

z y

x

Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3

Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm

Trang 17

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0

a

x a

0 x

a

x a

0 x

a

x a

) 3 (

n mn 2

2 m 1

1 m

n n

2 2

22 1

21

n n

1 2

12 1

11

* Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường là:

x = (0, 0, , 0)T

Trang 18

a/ Định lý:

Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường

 r(A) < n (Số ẩn của hệ)

b/ Hệ nghiệm cơ bản:

Do đó nghiệm tổng quát của hệ là:

Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số

nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do

* Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có

nghiệm không tầm thường (X  0)

Trang 19

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

r

r n r

r

r n

t x

t t

t x

t t

t x

t t

t x

) , ,

, (

) , ,

, (

) , ,

, (

(*)

1 1

2 1

2 1 2 2

2 1 1 1



; ở đây: t 1 , t 2 , …, t n-r tuỳ ý

Trang 20

Trang 21

k 1

k

Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k

1k = (0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1

Trang 22

3 5

2

0 3

4 2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

Trang 23

0 0

4 5

1 0

3 4

2

1

2 3

5 2

1 1

3 1

3 4

1 0

4 5

1 0

3 4

2

1

2 3

3

1 2

Trang 24

2

4 3

2

1

4 5

3 4

2

x x

x

x x

Hệ đã cho tương đương với hệ

Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn

2 1

2

2 1

1

4 5

11 14

t x

t t

x

t t

x

Trang 25

11 x

và 0

1 5 14

Trang 26

Ví dụ 2:

Với điều kiện nào của  thì hệ phương trình sau có

nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và

hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy?

4

0 3

2

0 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

) 1 (

2 3

1 2

Trang 27

4

31

2

21

0

1 3

0

2 1

1 1

3 3

1 2

2

42h h

0

1 3

0

2 1

1

2 3

h

Trang 28

Ví dụ 2 (tt):

Ở đây r(A) = 2 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn

tự do và nghiệm tổng quát có dạng:

ý tùy

t t

x

t x

; 3

1 3 5

3 2 1

3 2

1

3

2

x x

x

Vậy với  = –1 hệ tương đương với hệ:

Trang 29

* Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm nghiệm.

* Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau:

a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau

b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không

c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác

5 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Trang 30

Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng của hệ.

* Nội dung của phương pháp Gauss là dùng các phép biến đổi sơ cấp nói trên để đưa ma trận mở rộng của hệ

đã cho về một ma trận có dạng bậc thang

Ở dạng đó ta biết phương trình có nghiệm hay không

và việc tìm nghiệm cũng không khó khăn so với các phương pháp khác

Ta trình bày phương pháp Gauss qua một số ví dụ sau

Trang 31

3 3

5 3

2 2

3 5

3 3

2 4

3 2

4 3

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x

x x

103

03

32

12

15

33

43

21

AB

Trang 32

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

2 6

6 0

11 8

3 0

13 14

9 0

4 3

2 1

1 4

4

1 3

3

1 2

2

3

23

h h

2 6

6 0

13 14

9 0

11 8

3 0

4 3

2 1

3

h

Trang 33

20 10

0 0

20 10

0 0

11 8

3 0

4 3

2 1

2 4

4

2 3

3

2

3

h h

0 0

20 10

0 0

11 8

3 0

4 3

2 1

3 4

h

Trang 34

3

16 2

5

16 7

3 2

6 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

Trang 35

20

0

20

0

31

0

21

1

2 4

4

2 3

3

4

3

h h

8 1

3

1 2

5

7 3

2

2 1

14 4

0

11 3

0

3 1

0

2 1

1

1 4

1

1 3

3

1 2

2

35

2

h h

0 0

0

2 0

0

3 1

0

2 1

1

3 4

h

Trang 36

1

3 2

3

2 6

3 4

2 2

x x

x

x x

3 2

1

x x x

 Hệ có nghiệm duy nhất là:

Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó:

Trang 37

4 5

2

2 3

1 5

3 2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

1

6 4

5 2

1 1

3 1

5 3

2 1

B

A

Trang 38

1

4 2

1 0

4 2

1 0

5 3

2

1

1 2 3

3 2 1

2

h h

1

0 0

4 2

1 0

5 3

2

1

2 3

h

Trang 39

2

1 5

3 2

4 3

2

4 3

2

1

x x

x

x x

Ta chọn ẩn số tự do là x3, x4 Lúc này hệ có vô số

nghiệm và nghiệm tổng quát có dạng:

ý tùy t

t t

x

t x

t t

x

t t

x

2 1

2 4

1 3

2 1

2

2 1

1

,

;

4 2

3

14 7

Trang 40

BÀI TẬP CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

2

1 2

1

2 /

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x

x a

2

3

1 2

2

1 3

/

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x b

3

16 2

5

16 7

3 2

6 2

/

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x c

Trang 41

0 /

5 4

1

6 3

2

6 5

2 1

6 4

2

5 3

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x a

3 5

2

0 3

4

2 /

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

b

Trang 42

16 7

3 2

6 2

z y

x

z y

x

z y

11 4

15 3

8 2

/

4 2

1

4 3

1

4 3

2

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x a

3

62

3

62

33

3

43

2/

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

b

Trang 43

13

32

43

32

24

32

1

23

2

2 4

3 2

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

m m

mx x

x x

m mx

x x

x

m mx

x x

x

m mx

x x

x

m mx

x x

12

4

73

2

2 1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

Trang 44

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4  Hệ có vô số nghiệm

R t

t x

t t

x

t x

4

2 1

3

2 2

1 1

,

; 1

3

2

1

x x x

Nghiệm tổng quát có dạng:

b/ r(A) = 3 < r(AB) = 4  Hệ vô nghiệm

c/ r(A) = 3 = r(AB)  Hệ có nghiệm duy nhất là:

Trang 45

2 5

1 4

1 3

3 1

2

2 1

1

,

t x

t t

x

t t

,

0 1 0 0 0 1

,

0 0 1 1 1 1

3 2

x

Ba nghiệm cơ bản là:

Trang 46

1 3

2 1

2

2 1

1

4 5

11 14

t x

t t

x

t t

11x

,0

1514

Trang 47

2 detA

6 detA

2 detA

3

z y

3x

2x

1x

4 3 2 1

Trang 48

0x

2x

4 3 2 1

m m

x

3 2

2 1

1 1

1

Trang 49

Bài 5 (tt):

Trường hợp m = 0, r(A) = r(AB) = 3 < n = 4

 Hệ có vô số nghiệm (Có 1 ẩn tự do)

ýtùyt

,tx

1x

4 3 2 1

Bài 6: Hệ này viết lại dưới dạng ma trận là: A.X = B

 Nghiệm của hệ là X = A-1.B, với

Trang 50

5 4

2

3 2

1 1

5 2

1

2

1

x x x

Tức là:

Trang 51

Kết thúc chương 5 - Toán 2

Tiêu đề	Chương 5: Hệ phương trình tuyến
Trường học	https://www.universitywebsite.edu
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	Năm học 2023-2024
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	530 KB