Phép biến đổi z và một vài ứng dụng

Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tíchphân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khaitriển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó đượcphát t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Hàm biến phức 4

1.1.1 Hàm liên tục 4

1.1.2 Hàm chỉnh hình 5

1.2 Không điểm và cực điểm 7

1.3 Tích phân phức 13

1.4 Chuỗi lũy thừa 15

1.5 Lý thuyết thặng dư 17

1.6 Phương trình sai phân 20

1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 20

1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 20

1.6.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 21 CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z .25

2.1 Định nghĩa và ví dụ 25

2.2 Một số tính chất cơ bản 27

2.2.1 Tính tuyến tính 27

2.2.2 Tính dịch chuyển 28

2.2.3 Tính chất tỉ lệ 29

2.2.4 Phép chia 30

2.2.5 Phép nhân với nk 31

2.2.7 Định lý giá trị ban đầu 32

2.2.8 Định lý giá trị cuối cùng 32

2.3 Phép biến đổi Z ngược 34

2.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Z ngược 34

2.3.2 Một số phương pháp tìm phép biến đổi Z ngược 36

CHƯƠNG 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 40

3.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 40

3.2 Giải phương trình sai phân Volterra kiểu tích chập 44

3.3 Tính tổng chuỗi 46

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân là một phép tính toán được hình thành từnhững năm nửa cuối thế kỷ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tíchphân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khaitriển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó đượcphát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ý nghĩa quantrọng của phép biến đổi tích phân là cung cấp những toán tử hiệu lực đểgiải quyết các bài toán về phương trình vi phân, phương trình sai phân

và phương trình tích phân Hai phép biến đổi tích phân được đánh giárất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học

kỹ thuật khác, đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý học, đó là phép biến đổiFourier và phép biến đổi Laplace Bên cạnh đó, phép biến đổi Z cũng gópphần giải quyết nhiều vấn đề của Toán học Sự xuất hiện đầu tiên củaphép biến đổi Z là vào năm 1730 [6] khi De Moivre giới thiệu khái niệmhàm sinh trong lý thuyết xác suất, sau đó được Laplace mở rộng vào năm

1812 Tới năm 1947, Hurewiez giới thiệu phép biến đổi Z trong việc giảiphương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số Tên gọi “phép biến đổi Z

” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫutại Đại học Columbia năm 1952 [7] Phép biến đổi Z là công cụ hữu íchtrong việc xử lý các mô hình dữ liệu rời rạc Ngày nay, phép biến đổi Zđược sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu

kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển và kinh tế Các mô hình rời rạc này đượcgiải quyết bởi các phương trình sai phân tương tự như các mô hình liêntục được giải quyết bởi phương trình vi phân Phép biến đổi Z đóng vaitrò quan trọng đối với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quantrọng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân Vớinhững lý do trên, được sự hướng dẫn của TS Lê Hải Trung, tôi chọn đề

tài “Phép biến đổi Z và một vài ứng dụng” để hoàn thành luận văn tốtnghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.

- Một vài ứng dụng của phép biến đổi Z

- Nội dung của đề tài được chia thành 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Phép biển đổi Z

Chương 3: Một vài ứng dụng của phép biến đổi Z

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z và mộtvài ứng dụng

4 Phạm vi nghiên cứu

Phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, và một vài ứng dụng trongviệc giải phương trình sai phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh vực:Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyếtphương trình vi phân,

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo dành cho sinhviên ngành Toán và những đối tượng có chuyên ngành liên quan

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia thành 3 chương:

Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.6 Phương trình sai phân

Chương II PHÉP BIẾN ĐỔI Z

2.1 Định nghĩa và ví dụ

2.2 Một số tính chất cơ bản

2.3 Phép biến đổi Z ngược

Chương III MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z3.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

3.2 Giải phương trình sai phân Volterra

3.3 Tính tổng chuỗi

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Nội dung chương này trình bày về các kiến thức cơ sở của Lý thuyếthàm biến phức và chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4].1.1 Hàm biến phức

1.1.1 Hàm liên tục

Giả sử hàm w = f (z) được cho trên tập hợp D ⊂ C

Định nghĩa 1.1.1 (i) Hàm f (z) được gọi là liên tục (hay C - liên tục)tại điểm z0 ∈ D nếu:

Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n > 1δ (hay

δ > n1
Chọn z = n1, z′ = 2n1 ta có:

|z − z′| =

1

2n

< 1

n < δnhưng

|f (z) − f (z′)| =

=

= λt1λt2 λtnY

j>i(λj − λi)

Định thức cuối ta nhận được chính là định thức Vandermonde và cógiá trị bằng Q

j>i(λj − λi) Do λi ̸= 0, i = 1, n và tất các λi là khác nhaunên định thức Kazorati K(t) của các λti khác 0 , từ đó suy ra các λti làđộc lập tuyến tính Như thế nghiệm tổng quát của (1.19) viết được trongtrường hợp này dưới dạng z(t) = Pni=1Ciλti

Trường hợp 2: Khi trong các nghiệm của phương trình đặc trưngngoài các nghiệm thực đơn còn có nghiệm phức

Bổ đề 1.6.5 Nếu hàm phức z(t) = u(t) + iv(t) là nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính hệ số hằng (1.19) thì các hàm thực u(t) và v(t)cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Chứng minh Do tính tuyến tính của toán tử L ta có được:

Lz(t) = L[u(t) + iv(t)] = Lu(t) + iLv(t) = 0,

từ đây suy ra Lu(t) = Lv(t) = 0, hay chứng tỏ u(t) và v(t) là nghiệm củaphương trình (1.19)

i sin φk) , λ2k+1, , λn là các nghiệm đơn của phương trình đặc trưng và

λ2k+1, , λn ∈ R, 2k nghiệm đầu tiên ta viết được dưới dạng lượng giác.Chú ý rằng khi viết các số đặc trưng chúng ta đã sử dụng phần kiến thứcđại số sau: Các nghiệm phức của đa thức hệ số thực luôn luôn đi kèm vớinhau theo cặp liên hợp, ngoài ra tính bội của các nghiệm phức này cũngtrùng nhau

Các hàm zi(t) = λti, i = 1, n là các nghiệm độc lập tuyến tính củaphương trình (1.19) Việc hình thành nên hệ nghiệm cơ sở từ chúngđược suy ra từ các bổ đề 6.1 và 6.2 Theo công thức Moavro thì λt1 =

ρt1(cos φ1t+ i sin φ1t), và như vậyRe λti = ρt1cos φ1tvàIm λti = ρt1sin φ1t,

do đó hệ nghiệm có sở có dạng:

ρt1cos φ1t, ρt1sin φ1t, , ρtkcos φkt, ρtksin φkt, λt2k+1, , λtn

Dễ thấy rằng trong thực hành ta không nhất thiết phải xem xét các sốđặc trưng liên hợp bởi lẽ chúng cùng sinh nghiệm trên cùng một hệ nghiệm

CHƯƠNG2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z

Nội dung chương này trình bày về các kiến thức cơ bản của phép biếnđổi Z, phần lý thuyết và các ví dụ chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [5],[6], [7]

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 Phép biến đổi Z của dãy x(n) được định nghĩa bởi:

˜x(z) = Z(x(n)) =

∞X

limn→∞

x(n + 1)x(n)

= R

Chuỗi (2.1) hội tụ nếu:

limn→∞

x(n + 1)z−n−1x(n)z−n