Công thức quy net và một vài ứng dụng

Igas - Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO121—] TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lâm Hữu Phước CÔNG THỨC QUY NET , VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Luận văn này được hoàn tất

Igas - Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

121—] TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lâm Hữu Phước

CÔNG THỨC QUY NET

, VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Luận văn này được hoàn tất là nhờ sự tổng hợp khá nhiều kiến thức

từ các môn trong suốt các khóa học, mà trong đó, cũng nhờ quý thầy

đã tận tình hướng dẫn em nắm bắt được Nhân đây em xin gửi lời cảm

ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học

Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp

Xin chân thành cảm ơn

MỤC LỤC

trang

Trang phụ bìa 2

Lời cảm ơn 3

Mục lục 4

Mỏ đầu 6

Chương 1- KIẾN THỨC CHUAN BỊ 8 1.1 Phức và đồng điều 8

1.1.1 Các định nghĩa 8

1.1.2 Một số mệnh đề thường dùng 9

1.1.3 Phép giải 10

1.2 Phức kì dị và đồng điều kì dị 11

1.2.1 Các định nghĩa 11

1.2.2 Một số mệnh đề 12

1.3 Tích tenxơ giữa các môđun 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.4.2 Tích xoắn các nhóm aben 17

Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG - ZILBER 19 2.1 Tích tenxơ giữa các phức 19

2.1.1 Định nghĩa 19

2.1.2 Một số mệnh đề 22

2.1.3 Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích xoắn 26

2.2 Định lý Eilenberg - Zilber 29

2.2.1 Các model acyclic 29

2.2.2 Định lý Eilenberg - Zilber 36

Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 38 3.1 Công thức Qny net 38

3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ 39

3.1.2 Công thức Quy net 47

3.1.3 Trường hợp đặc biệt đối với nhóm aben 51

3.2 Một vài ứng dụng của công thức Quy net 55

3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng 55

3.2.2 Luật kết hợp của hàm tử Tor 56

3.2.2 Tính đồng điều kì dị của không gian tích 62

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

Việc tính các đồng điều kì dị có những ứng dụng cụ the trong TôpôĐại Số, chẳng hạn việc xác định tính đúng sai của sự đồng phôi hoặcđồng luân giữa các không gian Tôpô hay làm rõ một kết quả nào đó,

Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân giữa tích tenxơ củahai phức kì dị của hai không gian tôpô và phức kì dị của không giantôpô tích (định lý Eilengberg - Zilber), ta có được sự đẳng cấu đồng

Mục đích

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu trên phạm trù các phức, tích tenxơ các phức, các phức kì

dị và những vấn đề có liên quan

Kerớn D Imôn+1 Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu:

-trong đó, tích hai đồng cấu hên tiếp bằng 0

• Chu trình n chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn(K) =

• Nếu K và K' là các phức thì một biến đổi dây chuyền / : K —*■ K'

là họ các đồng cấu môđun {/n : Kn —*■ K'n, n e Z } sao cho &nfn = ỉn- A với mọi n.

f* = H n ( f ) : H n ( K ) — Hn{K')

c + ỜKn+1 ^ f (c) + dK'n+1

được cảm sinh từ / là một đồng cấu

• Đồng luân dây chuyền s giữa hai biến đổi dây chuyền /, g : K —*■ K'

là họ các đồng cấu môđun {sn : Kn —y K'n+lì n G z}, hơn nữa

^n+l^n T sn—ịdn fn gn Khi đó, ta viết s : / ~ g.

• Ta nói rằng biến đổi dây chuyền / : K —> K' là tương đương dây chuyền nếu tồn tại một biến đổi dây chuyền h : K' —> K và các đồng luân s : hf ~ 1K: t : fh ~ 1^/.

H n ( f ) = H n ( g ) : V n e Z

thì f ~ g

Hệ quả 1.2 Cho K, K' là các phức trong phạm trù các nhóm aben, cấc Kn là các nhóm aben tự do và dn = 0 : Kn —► Kn-\ Khi đó, nếu có

f : K —> K' là biến đổi dây chuyền sao cho H n ( f ) là đẳng cấu với mọi

n E z thì hai phức K và K' là tương đương đồng luân.

Mệnh đề 1.2 Nếu s : / ~ g : K —> K' và sf: f ~ g' : K' —► K" là các đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:

fs + s'g : /7 ~ g ' g : K —> K".

Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp) Đối với mỗi d ẫ y khớp ngắn các phức

E : 0 — — - 0 (ỵ, ơ là các biến đổi dây chuyền, và dẫy khớp theo nghĩa khớp tại mọi n), dẫy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:

■ ■ ■ Hn+1(M)ĩm H n ( K ) - ĩ u H n ( L ) - ĩ v H n ( M )

H ^ ( K ) trong đó, En : H n ( M ) — > H n _ i ( K ) gọi là đồng cấu nối và được xấc định như sau:

1.1.3 Phép giải

Định nghĩa 1.1 Một phép giải của môđun c là dãy khớp dạng:

( X , e ) với các nhóm đồng điều H n ( X ) = 0 khi n > 0 và

H 0 ( X ) — c Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh.

Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh) Nếu 7 : c —> c' là đồng cấu, £ : X —> c

là phức xạ ảnh trên c và s' : X' —► c' là phép giải của c', thế thì tồn tại biến đổi dây chuyền f : X —> X', hơn thế £r o fo = 7 o £ và bất kỳ hai biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân.

• Phức kì dị sx, là phức dây chuyền các nhóm aben có hạng tử thứ

n là SnX và đồng cấu bờ được xác định như sau:

ánh xạ tenxơ).

• Tích tenxơ của hai đồng cấu: Cho / : XR —> X'R là đồng cấu các R—môđun phải, g : RỴ —> ỵỴ' là đồng cấu các R—môđun trái Ta định nghĩa tích tenxơ của hai đồng cấu / và g, kí hiệu: / 0 g là đồng cấu nhóm aben từ X (g> X' vào Y 0 Y' sao cho ta có:

được xác định một cách tương tự Các môđun dẹt phải, dẹt trái, để

1.3.2.Một vài tính chất

Mệnh đề 1.7 Cho zlũ ĩihoĩĩi abcn cap TTi vớỉ phan tu Sỉnh c Khỉ

đó, với bất kỳ nhóm aben A ta luôn có:

trong đó, mA = {ma|a G A}.

Định lý 1.3 Cho họ { X ị } i E Ị là họ R—môđun phải và { Y j } j e j là họ các R—môđun trái Khi đó, ta có đẳng cấu:

= 0

Định lý 1.4 Cho X, Y, M là các môđun trên vành giao hoán R Khi

đó, chúng ta có các đẳng cấu:

X ® Y = Y ® X và {X (g> y) 0 M = X O (Y <8> M) Định lý 1.5 Tổng trực tiếp một họ môđun A = ® A ị là môđun dẹt khi

iei

và chỉ khi mỗi môđun thành phần A ị là môđun dẹt.

Hệ quả 1.3 Mỗi môđun tự do là môđun dẹt.

1.4. Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ

1.4.1 Tích xoắn các môđun

Định nghĩa 1.2 Cho GR là R—môđun phải và RC là R—môđun trái,

ta xác định Tor^(ơ, c) là tập tất cả các bộ ba: t = (/i, L, v\ Trong đó,

L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, ỊJL : L —» ơ, ỉ/ :

ư —*■ ơ là các biến đổi dây chuyền (xem ơ, c là phức tầm thuờng, L* = Hom#(L, R ) )

Nếu L' là một phức khác, và p : L —> L' là biến đổi dây chuyền thì ánh xạ liên hợp p* : L'* —> ư cũng là biến đổi dây chuyền Đối với các biến đổi ụ! : L' —» G và V : ư —>■ ơ, ta xem

(/x'p, v ) = OA

và quan hệ bằng nhau trong Tor^ là quan hệ tuơng đuơng bé nhất bảo

toàn hệ thức trên

(01,02) 1—> 91 + 92 (ci,c2) I—> C1+C2

= E(/1,L,Ỉ/).

Ta cũng có một kết quả tương tự như sau:

Định lý 1.9 Giả sử TJ : Y —> A là phép giải xạ ảnh của môđun RA Khi

đó, với môđun GR, ta có đẳng cấu:

Tor n ( G , A ) ^ H n ( G ® Y )

1.4.2 Tích xoắn các nhóm aben

Các nhóm aben được xem là Z—môđun, do đó, nó cũng có định nghĩa

về hàm tử Tor tương tự như môđưn Tuy nhiên, ở đây, phức L có thể

chọn là phức (Z) (các hạng tử đều là Z) Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1 Cho G là nhóm aben và f : A —)• B là đơn cấu nhóm aben Khi đó,

/* : Tori(ơ,i4) —► Tori (<?,£)

□

Như vậy, khi kết hợp với định lý 1.7 ở trên, ta được:

Định lý 1.10 Nếu E = (x, ơ ) : A -B —c là dãy khớp các nhóm

aben thì với mỗi nhóm aben G, ta có dãy khớp:

0 —► Ton (G, A) Ton (G, B) Ton (G, c )

Đối với các nhóm aben, hầu hết chỉ làm việc với Tori nên người ta kí

hiệu Tor thay cho Tori Đặc biệt, đối với các nhóm aben G, Ả thì nhóm aben Tor(ơ, Á) còn có một cách biểu diễn khác Đó là nhóm aben có các phần tử sinh là tất cả các bộ ba (g m, a), trong đó, ra E z, gm = 0 trong G và ma = 0 trong A, thỏa các hệ thức cộng tính và trượt với các nhân tử ra, n sau:

(gi + g2,m,a) - (#1, ra, a) + (#2, m, a), gịm =0 = ma (i =1,2)

(#,ra,ai + a2) = {g, ra, ai) + {g, ra, a2), gm = 0 = mai ụ =1,2)= 0 = n a

Nếu K và L là các phức dương thì K 0 L cũng vậy và tổng trực tiếp

ở (2.1) là hữu hạn với p đi từ 0 tới n.

2.1.2 Một số mệnh đề

Mệnh đề 2.1 Nếu f : KR —* K'R và g : RL —» RƯ là các biến đổi dây chuyền, thì (/0 g)(k<s>l) = fk<s>gl xấc định một biến đổi dẫy chuyền

f 0 g : K <s> L —> K' 0 L' Hơn nữa, ta có các tính chất sau:

(i) Nếu lx : KR —» KR và 1L RL —* RL lần lượt là cấc biến đổi dây chuyền đồng nhất của cấc phức K và L thì 1K 0 1L = 1 K®L- (ii) Nếu KR—^K'R-^K'R và RL RƯ —^ỵư là các biến đổi dây chuyền, thì

Trong mệnh đề trên, đồng cấu thứ n trong biến đổi dây chuyền

/ ® 9 : (/ ® sOn thực chất là tổng trực tiếp các đồng cấu fp 0 gn_p với

p G (—00, Too).

Ta xét biểu đồ:

<7 là biến đổi dây chuyền từ K 0 T vào K r 0 L'

Tiếp theo ta chứng minh các tính chất

Từ mệnh đề 3.2, đặc biệt là hai tính chất (i) và (ii), ta dễ thấy

(K 0 _) và (_ 0 L ) là những hàm tử hiệp biến Hơn nữa, (K 0 _ ) ( L ) =

K 0 L = ( _ <g) L ) ( K ) Từ tính chất (ii) của mệnh đề 3.2, nếu ta có

f : K —> K', g : L' thì

(/ 0 0 9) = (/ 0 g ) = (1*7 ® ỡ)(/ ® U).

Từ đó, suy ra tích tenxơ giữa hai phức xác định một song hàm tử hai

lần hiệp biến từ tích 2 phạm trù phức các môđun vào phạm trù phứccác nhóm aben

Mệnh đề 2.2 Nếu s : f i ~ /2 : K —> K' và t : gi ~ g2 : L —> L' thì /1 ® 91 ^ /2 ® 92-

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

: /1 ~ /2 : K —► K\ t : gi ~ g2 : L —i► z/ Khi đó,

f i ® \ L ~ f 2 ® l L \ K ® L ^ K ' ® L

I R ® 9\ — Ì-K ® 92 '• K ® L ^ K ® L' Chứng minh bổ đề Ta có

Từ đó, ta dễ thấy

0 — Fỵ®Y c c FÌÍ®Y C c X <g> y Mệnh đề 2.3 ơ/iỡ hai phức dương XR và Ị Ị Y Khi đó phức thương

Xét phức )YỊ'pk-1 , ta có hạng tử ở chiều thứ n là

-Xn-j ®Yj Ị'X _ 0 y\ và đồng cấu bờ là d* cảm sinh từ đồng

cấu bờ d trong Fỵ0Y- Ta dễ dàng thấy rằng:

• Phức đang xét có các hạng tử ở chiều m < k đều bằng 0.

j ~ ° ' 3=0

27

Với mỗi chiều thứ 72, ta có tương ứng

là đồng cấu chiếu và từ (*), ta suy ra

Định lý 2.1 A/eií £ \ X ^ G và ĩ] \ Y —> A là cấc phép giải xạ ảnh của cấc R—môđun GR và RA Khi đó, £®1 \ X ®Y —*■ G <S>Y cảm sinh một đẳng cấu đồng điều H n [ X ® R Y ) — Hn(G <S>R Y) và do đó ta có đẳng

Theo mệnh đề (2.3) thì: Fk / pk -1 đẳng cấu với phức

K k - X 0 ® Y k í Z ^ X 1 ® Y k ~

-Ỉ M k~1 đẳng cấu với phức chỉ c ố G ® Y k ồ chiều thứ k , các hạng

tử trong những chiều còn lại đều bằng 0

Từ biểu đồ ta có: H n ( F k ) — H n ( M k ) Thật vậy, với k < 0 và mọi n thì

H n ( F k ) = 0 và H n ( M k ) = 0, nên đương nhiên H n ( F k ) — H n ( M k )

Tiếp

theo, ta giả sử đẳng cấu trên luôn xảy ra với m < k và mọi n Khi đó,

kết hợp với biểu đồ giao hoán trên, ta có bốn ánh xạ dọc hai bên là cácđẳng cấu Áp dụng bổ đề về 5 đồng cấu, ta suy ra ánh xạ dọc ở giữacũng là đẳng cấu

ơ chiều thứ n, mọi chu trình và biên của X < s > y đều xuất hiện trong

F n + 1 Do đó, từ H n ( F k ) — H n ( M k ) } với k lớn (cụ thể là k > n + 1) sẽ dẫn đến H n ( X <8> Y ) = H n ( G <8> Y ) Từ đây, do H n ( G <g> Y ) = Torf

có cơ sở trong A4 hay F tự do với các model trong Ai.

phải là phạm trù con đầy đủ của /c

Ví dụ 2.1

JC = Top (phạm trù các không gian tôpô), F : Top —► AỢ, FX =

Snx và với / : X —> Yy thì ( F ( f ) ) ( ơ ) = f ơ , trong đó, cr £ 5npf) là phần tử sinh của S n X Ta đã biết S n x là tự do sinh bởi các ánh xạ liên tục ơ : An — > V, tuy nhiên, ta có thể xem S n X là tự do sinh bởi (.F ơ ) ( t n ) với tn = id £ *Sn(An) Do đó, trong trường hợp này, phần tử tn

là cơ sở của F và F có cơ sở trong {An}.

Ví dụ 2.2

Top Ta quan tâm hai hàm tử sau đây:

• F : Top X Top —» AỢ với F ( X Ì Y ) = Sn(X X y) và với cấu xạ

f : ( X , Y ) ^ ( X ' , Y ' ) , thì

• F : To p X To p —> A Q với

F ( x , Y ) = ( S X ® S Y 0 0 s,y)

p+ợ=n

và nếu ( / , # ) £ .Mỡr((X, y), (X', y')) thì ( F ( f 1 g ) ) ( ơ x ® ơ Y ) =

f .ơX 0 g-ơY với ơXì ƠỴ lần lượt là các phần tử sinh trong S p X

và 5ọF Rõ ràng S p X 0 được sinh bởi các phần tử <7x 0 ơy nên ta dễ dàng suy ra F có cơ sở trong M = {(Ap, Aq)}p+q=n là

{tp 0 Mệnh đề 2.4 Cho F : /c —» ^46 /ồ hàm tử tự do với cơ sở { r r i j £ FM,} vồ VL : K —> Ab là một hàm tử bất kỳ Nếu { w j £ W M j } j E j

tq\p+q=n-là một họ bất kỳ thì có duy nhất một phép biến đổi tự nhiên: 4> : F —> w

sao cho <t> ịrrij) = W j với mọi j £ J

Ta xác định 4> như sau:

£ /c bất kỳ Do F là tự do, nên ta có thể xác định $ x : F X — >

wx thông qua các phần tử sinh (F ơ ) m j , với ơ : M j —> X Ta đặt

4>x ( ( F ơ ) m j ) = (W ơ ) w j

Hệ quả 2.2 Cho M c JC là một phạm trù con đầy đủ và giả sử F :

/c — ► Ab có một cơ sở { m j E F M j } j E j sao cho rrij E Ái với mọi j (F

có cơ sở trong A4) Khi đó, mọi phép biến đổi tự nhiên F\M —> W \ M có một mở rộng duy nhất F —► w (với w : JC —> Ab là một hàm tử bất kỳ) Mệnh đề 2.5 Cho Fị—^F0—^G—^-0 là một dẫy khớp các phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử JC —*■ Ab (khớp theo nghĩa: khớp với mọi X E K) Giả sử F0 có cơ sở trong M -0 c /c và Fị có cơ sở trong M\ c JC Gọi w : /c —»• Ab là một hàm tử mà với bất kỳ w' E wM'

khác không, M' E M- 1, có một cấu xạ g : M' —y M với M E M-0 và

(Wg)w' Ỷ 0 (khả năng này luôn xảy ra nếu A41 c Al o ) - Khi đó, mọi phép biến đổi tự nhiên ĩỊỉ : G\M —*■ W\M đưa tới một mở rộng duy nhất đến phạm trù JC là ^ : G —► w

Trước hết ta chứng minh sự duy nhất:

G —> w trùng nhau trên M.0 thì Ti7T, T27T cũng trùng nhau

trên M.O, do đó tyịĩr = T27r theo hệ quả 2.2, do vậy, tyị = T2 do 7T là

toàn cấu

E /c bất kỳ, mỗi phần tử X E GX có tạo ảnh 7T 1 X E F0V (do 7T

cấu thì mỗi phần tử nằm trong Ker7T cũng phải nằm trong Kerí>, có

nghĩa là 4>p = 0 (do dòng trong biểu đồ trên là khớp), và điều đó đượcchứng minh như sau:

và dòng thứ hai là khớp trên M (nghĩa là: W [ M —> W ' 0 M —*■Wr_ịM khớp với mọi M £ A4J Khi đó, (2.3) sẽ được hoàn tất bởi sự xác định của phép biến đổi tự nhiên if.

Với mọi m £ FM, ta có: Tr0((p0Ti(m)) - ip-iT0Ti(m) - 0

thì tồn tại w £ WịM sao cho ụ>oTi(m) = T [ ( W ) VÌ dòng thứ hai khớp Nói riêng, có các phần tử { w j £ W [ M j } j < E j sao cho r [ ( w j ) =

ra có một phép biến đổi tự nhiên (f : F —*■ w[ sao cho ip{rrij) = Wj Khi

đó, r[(f và ip0Ti trùng nhau tại các {rrij}y do đó chúng trùng nhau do

Mệnh đề 2.6 (Định lý Acyclic Model) Cho F,v : JC —> dAQ là hàm

tử hiệp biến từ phạm trù JC vào phạm trù các phức sao cho Fị =

Theo bổ đề 2.2, ta có thể từng bước xác định được tất cả các ánh xạ

dọc từ if Tuy nhiên, để áp dụng được bổ đề 2.2, ở đây ta còn phải lưu

ý tính khớp như trong yêu cầu của bổ đề

2, Vì thế ta có thể xác định được tất cả các ánh xạ dọctheo bổ đề 2.2

Bây giờ, giả sử f : F ^ V là biến đổi dây chuyền tự nhiên với Fk^Fk®Fk ->0