Đề tài Phép biến đổi Z và ứng dụng nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép biến đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải phương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi.
Trang 1
DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM
PHAM HUONG LAN
PHEP BIEN DOI Z
Trang 2DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
PHAM HƯƠNG LAN
PHÉP BIẾN ĐỔI Z
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 84.60.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS Phan Đức Tuấn
Đà Nẵng - Năm 2019
Trang 3LOI CAM DOAN
Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi
Các số liệu, quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kì công trình nào khác
Trang 4
INFORMATION OF MASTER THESIS
Name of thesis: The Z - transform and Their Application
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: Pham Huong Lan
Supervisor: Dr Phan Due Tuan
Training institution: The University of Da Nang - University of Education
Present the application of Z-transform in solving linear difference equations, Volterra difference equations and summing strings through specific examples
2 The new contributions of the thesis:
The topic has a theoretical and applied value The thesis can be used as a reference for math students and non-mathematicians who need math results to apply to their practical problems
in practice and subsequent research of the thesis:
Application of Z transformations to solve many real problems ý
of Z-transform , application of the
Trang 5‘Tén dé tai: Phép bién di Z va tmg dung
Ngành: Toán giải tích
Họ và tên học viên: Phạm Hương Lan
Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm — Đại học Đà Nẵng
Tom tắt:
1, Những kết quả chít
Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết chuỗi hình học, hàm biến phức, tích phân phức,
chuỗi lũy thừa và lý thuyết thặng dư
Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Z: định nghĩa, mối liên hệ của phép biến đổi Z với phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Z và ví dụ minh họa Giới thiệu về phép biến đổi Z một phía và phương pháp tìm phép biến đổi Z ngược
Trinh bay img dụng của phép biến đổi Z trong việc giải các bài toán về phương trình sai phân tuyến tính, phương trình sai phân Volterra và tính tổng chuỗi qua các ví dụ cụ thể
2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những người không chuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng
cho các bài toán thực tiến của mình
3 Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề
Ứng dụng phép biến đổi Z để tuyết nhiều bài toán thực tế
'Từ khóa: Phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, tinh chất phép biến đổi Z, ứng dụng phép biến đổi Z
Xác nhận của người hướng dẫn Người thực hiện đề tài
„ TS Phan Đức Tuấn - Phạm Hương Lan
Trang 6LOI CAM GN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phan Đức Tuấn, người đã định hướng chọn đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn của mình
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy, cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
Đồng thời, cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học trong lớp Toán Giải tích K34 - Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu tại lớp
Phạm Hương Lan
Trang 71.2.2 Hàm chỉnh hình .- 6
1.3 TÍCH PHÂN TRONG MIỄN PHÚC .-. : 6
144 CHUỒI LŨY THỪA c cà cà cà eee es 8
1.5 LÝ THUYET THANG DU
1.5.1 Dinh nghia thing dư 9
1.5.2 Phương pháp tính thặng dư 10
1.5.8 Định lý cơ bản của lý thuyết thăng dư "1
1.6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN cà 12
1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 15
phép biến đổi Fourier 17
¡ phép biến đổi Laplaee 17
Trang 8
2.3.1,
2.3.2 Dịch chuyỂn .à 22v nhe 19 2.3.3 Phép nhân theo cấp số nhân - 20 3.3.4 Dão thời gian à con nhe 20 3.3.5
2.3.6
2.3.7 Phép chia 0 cccccccccseecseeeesseeesseeeereseees 2 2.3.8 Tich chập vn nhe 2 2.3.9 Dinh ly Parseval
2.3.10 Phép biến đổi Z của tích
2.3.11 Phép biến đổi Z của đạo hàm
2.3.12 Phép biến đổi Z của tích phân
2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn
2.4 MOT SO Vi DỤ VỀ TINH CHAT CUA PHÉP BIẾN DỒI Z
3.5 DỊNH NGHĨA VA TINH CHAT CUA PHÉP BIEN DOI Z MOT PHIA
2.5.1 Dinh ly gia tri ban dau
2.5.2 Dịnh lý giá trị cuối cùng,
3.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.6.1 Phương pháp tích hợp
2.6.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa
2.6.3 Phương pháp khai triển thành các phân thức
CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 43
3.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CAC HE SO KHONG DOI
43
3.2 PHUONG TRINH SAI PHAN VOLTERRA LOAI TICH CHAP .46
3.3 TINH TONG CHUOL 0 000000 000eccc eee eeeeeeeeeeseeeeeee eee 48
Trang 9PHU LUC
TAI LIEU THAM KHAO
Trang 10MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của đề tài
Phép biến đổi là một công cụ toán học rất quan trọng được sử dụng
xử lý các vấn đề toán học cũng như trong nhiều úng dụng
Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730 [5] khi De
Moivre đưa ra khái niệm về chức năng tạo ra cơ sở dữ liệu xác suất, sau
đó được Laplace mở rộng năm 1912 Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu
phép biến đổi Z trong việc phương trình sai phân tuyến tính hệ số
không đổi Ten gọi “phép biến đổi Z' được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh
trong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫu tại Đại học Columbia năm 1952 Sau
này phép biến đổi Z được phát triển và phổ biến bởi E.I.Jury [6]
Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực
ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển, kinh
tế và một số lĩnh vực khác Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đối
với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phép
biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng”
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việc
giải quyết một số bài toán
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo
bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép
Trang 11đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải
phương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi
4 Phương pháp nghiên cứu
'Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách
vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết
quả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học
điểm và cực điểm, thặng dư và cách tính
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận
văn làm tài liệu tham khảo dành cho s
h viên ngành Toán và những người
không chuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán
thực tiễn của mình.
Trang 126 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày các các khái niệm về chuỗi hình học, hàm biến phức,
tích phân trong mặt phẳng phức, chuỗi lũy thừa, tích chập, lý thuyết thang
dư
Chương 2 trình bày về định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Z, phép biến đổi Z một phía, phép biến đổi Z ngược, mối liên hệ với phép biến đổi
Laplace va phép biến đổi Fourier
Chương 3 trình bày về ứng dụng của phép bién déi Z
Trang 13KIEN THUC CHUAN BI
1.1 CHUOI HINH HOC
Định nghĩa 1.1.1 ({5]) Chuỗi phức a¿ được gọi là chuỗi hình học
nếu tồn tại hằng số a, s € C sao cho
Định nghĩa 1.2.1 ((1]) Cho hàm ƒ(2) xác định trên tập mở D C C
Ham ƒ(z) được gọi là liên tục (hay C - liên tục) tại điểm zo € D nếu
ƒ(Œo) # < và lin ƒ() = ƒ(2o), z € D (12)
Nếu hàm f(z) liên tục tại mọi điểm 2 € D thi ham f(z) duge goi là liên
tục trên tập hợp D.
Trang 14Nhận xét 1.2.3 Từ tính liên tục đều của ƒ(z) suy ra rằng ƒ liên
tục Điều khẳng định ngược lại, nói chung là không đúng Điều đó chứng
tổ bởi ví dụ sau đây
Ví dụ 1.2.4 Giả sử /(z) = : và D={2€C:0<|2| <1}
Ham ƒ(2) liên tục trong D nhưng không liên tục đều trong đó
That y, giả sử ngược lại: hàm f(z) lien tue déu trong D
Khi đó với e = 1, phải tồn tại sé 6 = 61 > 0 sao cho moi cap diém z' và
Đó là điều mâu thuẫn
Điều đó, chứng tỏ rằng ƒ(z) không liên tục đều trên D.
Trang 15gọi là chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền
ấy Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là ?(D)
(ii) Nếu f € H(D) và ƒ(z) # 0,Ýz € D thi 7 € H(D);
(iii) Néu f € H(D) va f chỉ nhận giá trị thực thi f là hằng số
Định lý 1.2.2 (Vé hàm hợp) Nếu f(w) la ham chỉnh hành trong
DẺ tà nếu g : D —š D* là hàm chỉnh hình trong D thà hàm hợp ƒ[g(2)} chỉnh hình trong D
1.3 TICH PHAN TRONG MIEN PHUC
cho tuyến trơn + = +(/) : I > C,I = [a,b] C R va gid sit cho
Trang 16[tou = lim f(e)de (1.4)
Có thể chứng mình rằng giá trị của về phải (1.4) không phụ thuộc vào việc
chọn phép phân hoạch và trong trường hợp khi + là tuyến trơn thì định
nghĩa này của tích phan [ ƒf(z)dz trùng với định nghĩa (1.3.1)
Trang 17(i) Tinh chất tuyến tính
Nếu ƒ¿(2),k = 1,3, là những hàm liên tục được cho trên + và œ¿(k = 1,2, ,n) là những hằng số cho trước thì:
[ (Sane) dz Soe [ lees
(ii) Tính chất cộng tính
Giả sử cho hai tuyến trơn
mult): Ja,e] — C, ^s(f) : [e,b] —> C
(iii) Tính bắt biến đổi uới phép biến đổi tham số
Định lý 1.3.1 Tích phân (1.3) là một bắt biến đối uới phép thay tham số Nói cách khác nếu + +* thì
trong d6 29, ax, k = 0, 1,2, là những số phức cho trước, được gọi là chuỗi
thừa Số zo được gọi là tâm của chuỗi, œ¿, = 0,1,2, được gọi là
những hệ số của chuỗi lũy thừa.
Trang 189
Nếu đặt z = £ — 2 thì có thể viết chuỗi (1.8) dưới dang
(1.9)
Dinh ly 1.4.1 Néu chuỗi liy thita (1.8) hoi tu tai diém 2» £0 thi
nó hội tụ tuyệt đối trong hành tròn {|z| < |za|}
Định lý 1.4.2 Nếu chuỗi (1.8)phân kỳ tại điểm z = z\ thì nó cũng
phân kỳ tại mọi điểm z mà |z| > |z\|
Định lý 1.4.3 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.8) là hành tròn
8={zeC:|z|< R}
sới bán kính R xác định, phụ thuộc uào các hệ số của chuỗi Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi
Định lý 1.4.4, (Cauchy - Hadamard) Bán kính hội tụ lì của
chuỗi lũy thừa (1.8) được tính theo công thức
tim, sup|an|*
trong đó ta đặt lì = 0 nếu p = +ee tà l= +œ nếu p = 0
1.5.LY THUYET THANG DU
1.5.1 Dinh nghia thang du
[II
Định nghĩa 1.5.1 Điểm bất thường cô lập zọ được gọi là
(0) điểm bắt thường bỏ được nếu lim ƒ(z) # se;
(ii) cực điểm nếu tim f(2) = 00;
(iii) diém bét thutmg eft yến nếu hàm ƒ(z) không có giới hạn khi z+ 29
Định nghĩa 1.5.2 Giả sử hàm ƒ(z) chỉnh hình tại điểm a hoặc có
bắt thường cô lập đặc tính đơn trị a Giả sử + là đường cong đóng Jordan bao điểm z = ø và được định hướng ngược chiều kim đồng hồ Khi đó tích phân = J ƒ(z)dz được gọi là thing di của hàm ƒ(z) đối với diém a va
Trang 19được gọi là thặng dư của hàm ƒ tại điểm se trong đó +" (0, f) là đường,
tròn +~(0, R) = {|z| = R} với bán kính đủ lớn được định hướng sao cho
lân cận điểm se luôn luôn nằm bên trái
Định lý 1.5.1 /1/ Nếu ƒ(z) có một cực điểm tại zạ € D, thà trong
một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hành h(z) không triệt tiêu tà
số nguyên dương k lớn nhất sao cho "
z
ƒ(z) = Gea
Số nguyên dương k trong Dinh lý (1.5.1) được gọi là bậc (hoặc bội)
của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới zạ Nếu
cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn
Định lý 1.5.2 /1/ Nếu ƒ có cực điểm bậc k tại zạ thì
f=
6 dé G(z) la ham chinh hinh trong mét lan céin ctia diém 2
1.5.2 Phương pháp tính thặng dư
(i) Thang dur tai vo cing
Dinh ly 1.5.3 Gid sit vdi0 < |
dưới dang | <p ham f(z) có thể biểu diễn
f= }) a(z—a)", (1.12)
—s<n<%
Khi đó
(113)
Trang 20res =~ lim 2[f(2) — ai} (1.15)
Hệ qua 1.5.5 Nếu co la không - điểm cấp m > 1 của f(z) thi
Q = A) = = Any =0 va do dé res = —a_; =0
Néu m = 1, tite la lim f(z) = ap = 0 thi 2-400
= lim 2.f(z) —
(ii) Thang du tai cue điểm
Dinh ly 1.5.6 Néu a la cuc diém don ctia ham f(z) thi thang dư
của f tai a được tính theo công thức
1.5.3 Định lý cơ bản của lý thuyết thang dư
Định lý 1.5.9 (Cauehy) Giả sử D là tập hợp mở của mặt phẳng phức va f la ham chinh hinh trong D {a;}, trong dé a; là tập hợp những điểm bắt thường cô lập của hàm ƒ(z) Giả sử T là biên có hướng của miền
BCD va gid thiét ring ` không đi qua một điểm bắt thường nào của Ƒ
Khi đó:
(i) S6 điểm bắt thường của ƒ ở trong B là hữu hạn.
Trang 21(ii) Ham f théa man hé thite
[fea = 2ni D> res f, (1.19)
=1)
trong đó tổng ở uề phải của (1.19) được lầu theo mọi điểm bắt thường của
hàm ƒ(z) nằm trong B
1.6 PHUGNG TRINH SAI PHAN
1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa 1.6.1 (/2Ì) Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có
dạng
AXn+1 + btn = fn, a ~ 0,6 £0, (1.20) hoặc
#mèi — đu = fn, 4 #0, (1.21) trong đó ƒ„ là một hàm theo ø gọi là về phải của phương trình, z„ là ẩn
i) Néu a,b, q là các hằng số, thì ta nói là phương trình sai phân tuyến tính
hằng
ii) Nếu ø,b, 4 phụ thuộc vao n thi ta nói phương trình sai phân tuyến tính
cấp 1 với hệ
cấp 1 với hệ số biến thiên
ii) Nếu ƒ„ = 0, ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, nếu ƒ„ # 0 ta nói phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Định nghĩa 1.6.2 ((2Ì) Nghiệm của phương trình (1.20)
i) Hàm số z„ = z(n), biến n thỏa mãn (1.20) được gọi là nghiệm của phương trình (1.20)
ii) Ham số #,
với mọi Œ, được gọi là nghiệm tổng quát của (1.20), nếu với mọi giá tri
= 2(n,C) bién œ, phụ thuộc tham số Œ thỏa mãn (1.20)
ban dau 2 — a, ta đều xác định được duy nhất tham số Cụ thỏa mãn
Trang 2213
1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Định nghĩa 1.6.3 (Í2]) Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có
dang:
#n+a — PEn+i — đRn = fay (122)
trong đó #„ là hàm theo đối số nguyên m gọi là ẩn, ƒ„ là hàm số của m gọi
là về phải
i) Nếu p,q là các hằng số thì phương trình (1.22) gọi là phương trình
sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Định nghĩa 1.6.4 ({2]) Nghiêm của phương trình (1.22):
i) Ham 2, = z(n) biến n thỏa mãn phương trình (1.22) gọi là nghiệm của
phương trình (1.22)
ii) Ham #„ = z(n,C\,Cs) phụ thuộc vào 2 tham số Œ¡,C; thỏa mãn
phương trình (1.22)với mọi C\,C» được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.22) nếu với mỗi điều kiện ban dau ry = a, 2) = B
ta đều xác định được duy nhất cặp (Cỹ, C9) thỏa mãn
iii) Néu #„ — z(n, Ơ, C) là nghiệm tổng quát của phương trình(1.2) thì x3, = a(n, C2, C9) gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.22)
Phương trình (1.22)có phương trình thuần nhất tương ứng là
Tn42 — Play — Gin = 0 (1.23) Định lý 1.6.1 Nếu #, là nghiệm tổng quát của (1.23) tà z„ là
nghiệm riêng của phương trình(1.22) thì z„ = Zn +23, la nghiém tong quát
Trang 23của phương trình (1.22)
Trang 24CHƯƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI Z
2.1.ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 2.1.1 (5)) Với một chuỗi phức vô hạn z(n), phép biến
đổi Z của nó được xác định bởi công thức
X()=Zlz(n)]= 3) z(n)z~" (2.1)
trong đó z là biến phức Phép biến đổi Z này được gọi là biến đổi Z hai
phía hoặc biến đổi Z song phương
Phép biến đổi Z chỉ tồn tại đối với các giá trị của z mà chuỗi trong (2.1)
hội tụ Các giá trị này của z xác định vùng hội tụ (ROC) của X(z) Do
đó (ROC) la mién cita phép biến đổi Z
Vì bất cứ khi nào X(z) được tìm thấy, (RC) của nó cũng cần được
Trang 262.2 MỐI LIÊN HỆ VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP
BIEN DOI FOURIER
2.2.1 Méi liên hệ với phép biến đổi Fourier
Đặt z(n) là một chuỗi thì phép biến đổi Fourier rời rạc của z(n) là
(24)
trong đó œ là có thật Phép biến đi
(25) trong đó z là biến phức
Ở dạng cực z được viết dưới dạng
trong đó phép biến đổi Fourier rời rac cho (z(n)r—"] Nếu r = 1 thì z = e?°
và phép biến đổi Z trở thành phép biến đổi Fourier rời rạc, nghĩa là
X(2)[:-0 = X(e*)
Vay phép bién déi Z là tổng quát hóa phép biến đổi Fourier rời rac
2.2.2 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace
Cho f(t) 1a mot hàm liên tục, khi đó ta có thể lấy một mẫu rời rạc
f,(t) được viết như sau
%@= 3) ƒ0)ð(w=9= Д ƒ(n)ð(n =1) (238)
Trang 27Phép biến đổi Laplace cita ham f,(t) 1a
Đặt X(z) là phép biến đổi Z của z(n) với ROC : rz < |z| < Re
và đặt Y(z) là phép biến đổi Z của y(n) với ROC : rụ < |z| < Ry Dat
r= maz(r,,r,) va R = maz(R,, Ry), trong 46 r <0 va R > oo
Trang 28z€ ROC(X(z))(ROC(Y(2))
Khi đó
{rz < |2| < Ro} {ty < lel < Ry}
maz(re,ry) < |z| < min(Rz, Ry)
n
2.3.2 Dịch chuyển
Nếu È là số nguyên bất kỳ thì
Z[#(n +k)] = z*X(z), r; < |z| < R: (214) Chứng mình
Trang 29ROC cita X(z) va Z[x(n +k)] giéng nhau, có thể ngoại trừ z = 0 hoặc
khi r„ < |a"!z| < Ñ„ hoặc |
2.3.4 Dao thời gian
Trong tín hiệu thời gian rời rạc, biến n trong chuỗi z(n) đề cập đến
thời gian
Zlz(—n)]= Xœˆ'), „ <lz|< + (2.17)
Chứng minh
2Z|x(—n)] = > x(=n)z" (2.18) Thay m = —n khi đó phương trình (218) trở thành
SP zn)G)"= So xem" = XY)
ROC : r; < |z7!| < R, hoae KE <lz|< + Nghĩa là nến zạ thuộc ROC của X{(2) thi + nim trong ROC cia X(2~!) x
0
a
Trang 31Chiing minh Goi r(n) 1a tich chap cita x(n) va y(n), khi d6 r(n) được
định nghĩa như sau
r(n) = z(n) * y(n = rH )y(n — (2.23)
Lấy biến đổi Z hai về của (2.23) ta được
R(z) = Z[r(n)] = > r(njz™
Trang 322.3.10 Phép biến đổi Z của tích
Z(x(n)y(n)) = 5 mf x(wy (2) ta, (2.27)
véi ROC : rzry < |2| < RrRy
Trong đó Ở là một đường viền đóng ngược chiều kim đồng hồ bao quanh
gốc trong vùng hội tụ chung của X (0) và y().
Trang 332.3.11 Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng
Giả sử Z {z(n,a)} = X(z,a) Khi đó
Chitng minh Theo dinh nghĩa ta có
ũ
2.3.12 Phép biến đổi Z của tích phân
Giả sử Z {z(n,a)} = 4 X(z,a) Khi đó
2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn
Giả sử Z {z(n,a)} = X(z,a) Khi đó
{tim x(n, 5} = lim X(z,a) (2.30)
Trang 351 1| 1 Theo Vi dụ (2.1.4) với a = 5 ((a = h = 3) ta được
Trang 36#
EI>s v Khi đó
ROC của Z|z(n).y(n)] là |z| > 6
Do đó, cực |~| nằm ngoài đường viền của tích hợp trong ?
Sử dụng Định lý dư lượng Cauchy để đánh giá W/(z) ta được