(Skkn 2023) hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6

Thực tiễn cho thấy học sinh thường học toán không chú ý nhiều đến phương pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phương pháp tương tự gặp nhiều lúng túng.. Xuất phát từ lý do trê

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội” Do đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế

Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống

xã hội loài người nói chung, con người nói riêng Nó có lí luận thực tiễn lớn lao

và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”

Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng Trong nhà trường các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống hàng ngày thì toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ,

đo đạc, ước lượng, từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với chương trình THCS nên còn nhiều bỡ ngỡ gặp không ít khó khăn Đặc biệt với phân môn số học, mặc dù đã được học ở tiểu học, nhưng với những đòi hỏi ở cấp THCS buộc các em trình bày bài toán phải lôgíc, có cơ sở nên đã khó khăn lại càng khó khăn hơn Việc giải toán được coi như là nghệ thuật thực hành giống như các môn thể thao, võ thuật… Vì vậy để có kĩ năng giải bài tập phải trải qua quá trình luyện tập Tuy nhiên không phải là cứ giải bài tập là có kĩ năng Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó Thực tiễn cho thấy học sinh thường học toán không chú ý nhiều đến phương pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phương pháp tương tự gặp nhiều lúng túng

Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với nghề, tình yêu thương các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này

2 Đối tượng nghiên cứu:

+ Lớp áp dụng đề tài: Học sinh lớp 6A trường THCS Tản Hồng – Ba Vì – Hà Nội + Lớp đối chứng (không áp dụng đề tài): Học sinh lớp 6C trường THCS Tản

Hồng – Ba Vì – Hà Nội

3 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 6 nói riêng và toán THCS nói chung

4 Phạm vi nghiên cứu:

- Trong năm học 2019 – 2020 chương trình số học 6

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải Toán

+ Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải Toán cho học sinh + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài

6 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

PHẦN II – NỘI DUNG

A CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:

Địa phương tôi đời sống còn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác

Do đó việc mua sắm tài liệu tham khảo rất ít đặc biệt là những học sinh thuộc diện hộ nghèo và cận nghèo Vì vậy, khả năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS tôi nhận thấy

đa số học sinh chưa phát huy hết năng lực giải toán của mình, nhất là học sinh đầu cấp THCS Đặc biệt là đối với môn số học 6 là bước khởi đầu quan trọng nhất để hình thành khả năng phát triển tư duy giải toán cho học sinh trong những năm học tiếp theo

Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cấn thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu kém gặp nhiều lúng túng Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập Việc luyện tập sẽ có nhiều hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự nhằm vận dung linh hoạt một dạng toán, một tính

chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó Do

đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải

Trước khi thực hiện đề tài tôi cho học sinh 2 lớp 6A và lớp 6C của trường THCS Tản Hồng làm bài kiểm tra có nội dung liên quan đến dãy số theo quy luật và kết quả cụ thể như sau:

* Lớp 6A:

* Lớp 6C:

Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn

Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài vào học sinh lớp 6A của trường THCS Tản Hồng

mà tôi đang trực tiếp giảng dạy

B GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN:

XÉT BÀI TẬP 9.3 TRANG 24 SÁCH BÀI TẬP TOÁN 6 – TẬP 2

a Chứng tỏ rằng với n ∈ N, n ≠ 0 thì: n(n 1)1  n1 n 11

b Áp dụng kết quả ở câu a) để tính nhanh: A 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 9.10

Hướng dẫn:

a Với n ∈ N, n ≠ 0 Biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách quy đồng mẫu

1 1 n 1 n 1

n n 1 n(n 1) n(n 1)

 

b Xét đặc điểm đẳng thức câu a: Ta thấy VT có mẫu là một tích 2 biểu thức

cách nhau một đơn vị, 1 chính là tử thì ta có 1 1 1

n(n 1)  n n 1 Tương tự với đặc điểm ở câu a ta có:

1 1 1

1.2   2;

2.3 2 3  ;

3.4 3 4  ; ;

9.10 9 10 

Vậy A 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 9.10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9

I KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG TÍNH TOÁN, TRONG TOÁN RÚT GỌN.

Ví dụ 1: (Bài 327/T76 – Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6)

Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất:

1.2 2.3 3.4 4.5 49.50

3.5 5.7 7.9 37.39

4.7 7.10 10.13 73.76

Hướng dẫn: Các hạng tử trong tổng trên có mẫu là một tích của 2 thừa số cách

đều nhau một đơn vị, hai đơn vị, ba đơn vị chính bằng tử ta áp dụng bài mẫu trên biến đổi mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số để dùng phép khử liên tiếp ta có:

a A 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 4.5 49.50

     

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

50 50

b B 2 2 2 2

3.5 5.7 7.9 37.39

1 1 1 1 1 1 1 1

3 39 39 13

c C 3 3 3 3

4.7 7.10 10.13 73.76

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 18 9

Từ đó ta có bài toán tổng quát:

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)

  với n N *

Hướng dẫn: Nhận xét:

(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1

1 2n 1 2n 1

*Nhận xét: Với một số bài toán để tính được tổng mà đi quy đồng mẫu thì rất phức

tạp ta biến đổi một bước qui lạ về quen để áp dụng được bài mẫu (1) chẳng hạn:

Ví dụ 3: (Ví dụ 46/T83 – Sách toán nâng cao và các chuyên đề toán 6)

20 30 42 56 72 90 110

Hướng dẫn:

Để tính được tổng sau mà đi quy đồng mẫu thì rất phức tạp ta nhận thấy

20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; ; 110 = 10.11 nên ta biến đổi mỗi mẫu thành tích của 2 số để áp dụng bài mẫu (1)

B

20 30 42 56 72 90 110

4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11

4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11

4 11 44

*Nhận xét: Với một số bài toán có tử các phân số không giống nhau, khoảng

cách của từng mẫu không cách đều nhau ta biến đổi như thế nào để vận dụng được bài mẫu (1) chẳng hạn:

Ví dụ 4: (Bài 76/T79 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6)

Tính: A 3 11 12 70 99

5.8 8.19 19.31 31.101 101.200

Hướng dẫn: Khi quan sát học sinh lúng túng gặp khó khăn vì tử các phân thức

không giống nhau, khoảng cách của từng mẫu không cách đều nhau nhưng quan sát kĩ ta nhận thấy mỗi mẫu hơn kém nhau đúng bằng tử, áp dụng bài mẫu (1) ta làm như sau:

A 3 11 12 70 99

5.8 8.19 19.31 31.101 101.200

8 5 19 8 31 19 101 31 200 101

5.8 8.19 19.31 31.101 101.200

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 8 8 19 19 31 31 101 101 200

1 1 39

5 200 200

* Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác,

các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng: Mẫu là một tích 2 nhân tử cách nhau 1 hay 2 hay 3 đơn vị chính bằng tử Vậy mẫu là tích hai nhân

tử cách nhau 2 hay 3 hay 4 đơn vị thì giải bài toán như thế nào?

Chẳng hạn:

Ví dụ 5: (Bài 8/T153 – Sách các dạng toán điển hình 6)

Tính tổng sau: 1 1 1 1

2.5 5.8 8.11   97.100

Hướng dẫn: Mỗi hạng tử có mẫu là tích của hai số cách đều ba đơn vị mà tử lại

là 1 đơn vị để đưa về dạng bài toán mẫu (1) đã biết cách giải ta nhân cả tử và mẫu với 3 đối với mỗi số hạng trong tổng:

Ta có: 1 1 1 1( )

2.5 3 2 5  ;

5.8 3 5 8  ;

8.11 3 8 11  ; ;

1 1 1( 1 )

97.100 3 97 100 

2.5 5.8 8.11   97.100

1 1 1 1 1 1( 1 1 1 )

3 2 100 300

Ta xét bài tổng quát sau:

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau:

1.4 4.7 7.10 n(n 3)

 với n N *

Hướng dẫn:

 



+ Tương tự như vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phương pháp.

* Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân số ta có bài toán tổng quát hơn, tử là

một số bất kì, mẫu là tích của hai số cách đều nhau thì giải quyết bài toán như thế nào? Chẳng hạn:

Ví dụ 7: (Bài 8/T105 – Sách tuyển tập các bài toán hay và khó lớp 6)

Tính tổng: 3 3 3 3

1.3 3.5 5.7    49.51

Hướng dẫn:

Quan sát các mẫu là tích của hai số cách đều nhau 2 đơn vị, tử lại là 5 nên ta viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu như sau:

Ta có: 3 3(1 1)

1.3 2  3 ;

3.5 2 3 5  ;

5.7 2 5 7 ; ;

3 3 1( 1 )

49.51 2 49 51 

1.3 3.5 5.7    49.51

3(1 1 1 1 1 1 1 1 )

* Nhận xét: Nếu mẫu là tích của 3 hay 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?

Từ đó ta có bài toán khó hơn.

Ví dụ 8: (Bài 450/T22 – Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2)

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

b) D 1 1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30

Hướng dẫn:

a) Nhận xét: 1 1 2

1.2 2.3 1.2.3  ;

2.3 3.4 2.3.4;

3.4 4.5 3.4.5  ; .;

98.99 99.100 98.99.100  .

Do đó ta có:

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100

1 1( 1 ) 1 4949 4949

2 1.2 99.100 2 9900 19800

b Nhận xét: 1 1 3

1.2.3 2.3.4 1.2.3.4  ;

2.3.4 3.4.5 2.3.4.5  ;

3.4.5 4.5.6 3.4.5.6  ; ;

27.28.29 28.29.30 27.28.29.30.

Do đó ta có:

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 27.28.29 28.29.30

3 1.2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120

Qua bài tập trên ta có các bài tổng quát sau:

Ví dụ 9: (Bài 15/T69 – Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6)

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)

Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài trên.

Viết các hạng tử dưới dạng hiệu

n(n 1)(n 2)  2 n(n 1) (n 1)(n 2)   

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n(n 1) (n 1)(n 2)

1 1( 1 )

2 1.2 (n 1)(n 2)

Ví dụ 10: (Bài 168/T59 – Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 6)

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n 1)(n 2)(n 3)

Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài trên.

n(n 1)(n 2)(n 3) 3 n(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3)         

Do đó ta có:

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6

) n(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3)



3 1.2.3 (n 1)(n 2)(n 3)

*Nhận xét: Nếu mẫu không là tích của 3 hay 4 số tự nhiên cách đều nhau mà là

tổng của các số tự nhiên liên tiếp thì sao? Ta xét bài toán sau:

Ví dụ 11: Thực hiện phép tính:

2.2012 D



Hướng dẫn:

Nhận xét: 1 2 3 n 1(1 n)n

2

      ( Với n là số tự nhiên khác 0)

1 2 3 n    n(1 n)  n  n 1

Suy ra: 1 2 2(1 1)

1 2 2.3 2 3 ; 1 2 2(1 1)

1 2 3 3.4    3 4 ; .;

1 2 3 2012    2012.2013 2012 2013

1 2(1 1 1 1 1 1 )

Vậy

2.2012 D



2.2012 2.2012.2013

2013

2 2013

II KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.

Ví dụ 12: (Ví dụ 15.12/T96 – Sách tài liệu chuyên toán THCS toán 6 tập 1 số học)

2 2.3 3.4 4.5     n(n 1) n 1 với n N *

 

Ta biến đổi VT = 1 1 1 1 1

2 2.3 3.4 4.5    n(n 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1



1

n 1 n 1

  = VP (đpcm)

* Nhận xét: Với ví dụ 12 ta quan sát thấy các hạng tử mỗi mẫu là tích của 2 số

tự nhiên khác 0 liên tiếp cách nhau đúng bằng tử ta áp dụng luôn bài mẫu (1) chứng minh được bài toán Còn mẫu là 2 số tự nhiên cách nhau không bằng tử ta

biến đổi như thế nào? Chẳng hạn:

Ví dụ 13: (Bài 3.167/T60 – Sách các chuyên đề chọn lọc toán 6 tập 2)

Chứng tỏ rẳng với mọi n N ta luôn có:

1 1 1 1 n 1

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 3) 2n 3



2n 1 2n 3 (2n 1)(2n 3)     

Do đó ta biến đổi VT = 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7   (2n 1)(2n 3) 

1 2( 2 2 2 )

2 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)

1(1 1 1 1 1 1 1 1 )

1(1 1 ) n 1



Ví dụ 14: Chứng minh:

1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) 4n(n 1)

(n 1)n(n 1)  (n 1)n  n(n 1)

Do đó ta có:

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)n n(n 1)

2

2 2 n(n 1) 2 2n(n 1) 4n(n 1)

III KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

Ví dụ 15: (Bài 329/T76 sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6)

Chứng minh với mọi n N *: S 3 3 3 3 1

1.4 4.7 7.10 n(n 3)



Hướng dẫn:

Áp dụng bài mẫu (1) ta có: S 3 3 3 3

1.4 4.7 7.10 n(n 3)



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 1



* Nhận xét: Mẫu là tích của các số tự nhiên khác 0 cách nhau đúng bằng tử ta

áp dụng ngay bài mẫu (1) để chứng minh, còn mẫu là tích của các số tự nhiên khác 0 cách nhau 1; 2; 3 đơn vị không bằng tử ta thêm một bước biến đổi đưa

về dạng áp dụng bài mẫu (1) như sau:

1.3 3.5 5.7 2011.2013 2

Hướng dẫn: Tương tự như ví dụ 5 ta nhân cả tử và mẫu với 2 đối với mỗi số

hạng trong tổng:

1.3 3.5 5.7 2011.2013

    

* Nhận xét: Có một số bài toán chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội để

áp dụng bài mẫu (1) chẳng hạn như ví dụ sau:

Ví dụ 17: (Bài 3.169/T60 - Sách các chuyên đề chọn lọc toán 6 tập 2)

Chứng tỏ rằng: 12 12 12 12 1

2 3  4   n  với n N;n 2 

Hướng dẫn:

Nhận xét: Với k = 2; 3; 4; ; n ta có: 12 1 hay 12 1 1

k (k 1)k k  k 1 k  (2)

Do đó 12 1

2 1.2; 2

3 2.3; 2

4 3.4; .; 2

n (n 1)n Cộng vế với vế ta có: 12 12 12 12 1 1 1 1

2 3  4   n 1.2 2.3 3.4 (n 1).n   

Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 3

A 13 13 13 13 1

Hướng dẫn: Để áp dụng bài mẫu (1) ta sử dụng phương pháp làm trội, cách vận

dụng nó như thế nào? Có giống ví dụ mẫu là luỹ thừa bậc 2 của các số tự nhiên không ta có nhận xét sau:

n n n (n 1)n(n 1) 2 (n 1)n(n 1) 2 (n 1)n n(n 1)

2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)n n(n 1) 2 6 12