Phép biến đổi z và ứng dụng

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z.. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA.. Tính cấp thiết của đề tài Phép biến đổi là một công cụ toán học rất quan trọng được

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2019

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phan ĐứcTuấn, người đã định hướng chọn đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành luận văn của mình.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy, côgiáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm ĐàNẵng đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Đồng thời, cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học trong lớp ToánGiải tích K34 - Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình học tập,nghiên cứu tại lớp

Phạm Hương Lan

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 CHUỖI HÌNH HỌC 4

1.2 HÀM BIẾN PHỨC 4

1.2.1 Hàm liên tục 4

1.2.2 Hàm chỉnh hình 6

1.3 TÍCH PHÂN TRONG MIỀN PHỨC 6

1.4 CHUỖI LŨY THỪA 8

1.5 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 9

1.5.1 Định nghĩa thặng dư 9

1.5.2 Phương pháp tính thặng dư 10

1.5.3 Định lý cơ bản của lý thuyết thặng dư 11

1.6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 12

1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 12

1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 13

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z .15

2.1 ĐỊNH NGHĨA 15

2.2 MỐI LIÊN HỆ VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 17 2.2.1 Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier 17

2.2.2 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace 17

2.3.1 Tuyến tính 18

2.3.2 Dịch chuyển 19

2.3.3 Phép nhân theo cấp số nhân 20

2.3.4 Đảo thời gian 20

2.3.5 Liên hợp 21

2.3.6 Phép nhân với n 21

2.3.7 Phép chia 22

2.3.8 Tích chập 22

2.3.9 Định lý Parseval 23

2.3.10 Phép biến đổi Z của tích 23

2.3.11 Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng 24

2.3.12 Phép biến đổi Z của tích phân 24

2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn 24

2.4 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 25

2.5 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA 29

2.5.1 Định lý giá trị ban đầu 32

2.5.2 Định lý giá trị cuối cùng 33

2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 34

2.6.1 Phương pháp tích hợp 34

2.6.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa 37

2.6.3 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp 38 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 43

3.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CÁC HỆ SỐ KHÔNG ĐỔI 43 3.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA LOẠI TÍCH CHẬP 46

3.3 TÍNH TỔNG CHUỖI 48

PHỤ LỤC 52TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Phép biến đổi là một công cụ toán học rất quan trọng được sử dụng

xử lý các vấn đề toán học cũng như trong nhiều úng dụng

Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730 [5] khi DeMoivre đưa ra khái niệm về chức năng tạo ra cơ sở dữ liệu xác suất, sau

đó được Laplace mở rộng năm 1912 Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệuphép biến đổi Z trong việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ sốkhông đổi Tên gọi “phép biến đổi Z” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadehtrong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫu tại Đại học Columbia năm 1952 Saunày phép biến đổi Z được phát triển và phổ biến bởi E.I.Jury [6]

Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vựcứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển, kinh

tế và một số lĩnh vực khác Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đốivới việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phépbiến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân

Với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việcgiải quyết một số bài toán

Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo

bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép

biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép biếnđổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giảiphương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi.

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách

vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kếtquả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa họcvới các chứng minh chi tiết

Trình bày các các khái niệm về hàm biến phức: hàm liên tục và hàmchỉnh hình, tích phân phức, chuỗi lũy thừa, lý thuyết thặng dư: khôngđiểm và cực điểm, thặng dư và cách tính

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luậnvăn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những ngườikhông chuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toánthực tiễn của mình

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trìnhbày trong ba chương:

Chương 1 trình bày các các khái niệm về chuỗi hình học, hàm biến phức,tích phân trong mặt phẳng phức, chuỗi lũy thừa, tích chập, lý thuyết thặngdư

Chương 2 trình bày về định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Z, phépbiến đổi Z một phía, phép biến đổi Z ngược, mối liên hệ với phép biến đổiLaplace và phép biến đổi Fourier

Chương 3 trình bày về ứng dụng của phép biến đổi Z

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa (1.2.1) còn có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sauđây.

Hàm f (z) được gọi là liên tục tại điểm z0 ∈ D nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε, z0) > 0:

tỏ bởi ví dụ sau đây

Ví dụ 1.2.4 Giả sử f (z) = 1

z và D = {z ∈ C : 0 < |z| < 1}.Hàm f (z) liên tục trong D nhưng không liên tục đều trong đó

Thật vậy, giả sử ngược lại: hàm f (z) liên tục đều trong D

Khi đó với ε = 1, phải tồn tại số δ = δ1 > 0 sao cho mọi cặp điểm z0 và

z00 ta có

1

z0 − 1

z00

< ε, 0 < |z0 − z00| < δ1

Từ dãy số n = 2, 3, ta sẽ chọn số n0 sao cho

> |v|

Với ROC của Z[x(n).y(n)] ta được

|v| > 2 và

z3

> |v|

Vì vậy

z3

> |v| > 2ROC của Z[x(n).y(n)] là |z| > 6

Do đó, cực

... hệ với phép biến đổi Fourier

Đặt x(n) chuỗi phép biến đổi Fourier rời rạc x(n)

và phép biến đổi Z trở thành phép biến đổi Fourier rời rạc, nghĩa

X (z) |z= ejω... data-page="24">

CHƯƠNG2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z< /h3>

đó (ROC) miền phép biến đổi Z

Vì vậy, X (z) tìm thấy, (ROC) cần đượcxác định

Ví dụ 2.1.3 Xác định phép biến đổi Z chuỗi sau

x(n)... data-page="33">

2.3.11 Phép biến đổi Z đạo hàm riêng

Giả sử Z {x(n, a)} = X (z, a) Khi

2.3.12 Phép biến đổi Z tích phân

Giả sử Z {x(n, a)} = X (z, a) Khi

=

a 1Z

a0