bài tập khảo sát hàm số luyện thi đại học

Tìm m để a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b Hàm số đồng biến trên khoảng0;+∞.. Tìm m để: a Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó... Xác định m để hàm số

I BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

a) y= −x3 3x2+1; b) y= −x3 3x2+ 2011x+ 5; c) y=x4−2x2+3;

d) y= +x 1−x2 ; e) y x 100

x

= + ; f) 3 1

4

x y x

+

=

2

2

y x

=

h) 2

y= x − x− ; i) y=2 sinx+cos 2 , xx ∈[ ]0;π ; j)

2

1

x y

x

=

y= x+ − +x x+ −x

Dạng 2: Tìm m để hàm số y= f x m( , ) đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I

1) Cho hàm số: 3 ( ) 2

y= x + m+ x +mx Tìm m để a) Hàm số đồng biến trên ℝ

b) Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+∞)

c) Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;

2 2

−

d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài l=1

y= mx − m− x + m− x+ đồng biến trên khoảng

[ 2; +∞ )

3) Tìm m để hàm số: 3 2 ( )

y=x + x + m+ x+ m nghịch biến trên khoảng ( − 1;1 )

3

m

y= − x +mx + m− x

đồng biến trên ℝ

3

y= mx + m− x + m− x+m đồng biến trên (−∞; 0)∪[2;+∞)

2

a) Hàm số nghịch biến trên (1;+∞)

b) Hàm số nghịch biến trên (−1; 0 , 2;3) ( )

7) Cho hàm số: y x 1

x m

−

=

− Tìm m để a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số đồng biến trên khoảng(0;+∞)

8) Cho hàm số

1

y

x

− +

=

− Tìm m để:

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( )0;1 , 2; 4

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình

1) Giải các phương trình sau:

a) x2+15=3x− +2 x2+8 ; b) 3x+ −1 6− +x 3x2−14x− =8 0 (B-2010)

2) Giải bất phương trình: 3 2

3) Giải hệ các hệ phương trình sau:

a)

cot cot

x y

π π







 < <



; b) ( 2 ) ( )





Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức

Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sinx< ∀x x > 0; b) sinx< ∀x x < 0; c) tanx> ∀x x > 0

d)

3

sin x > 0

6

x

3

sin x < 0

6

x

x< −x ∀ ; f) 2sinx+tanx>3x 0;

2

x  π 

  g) cos sin( x)>sin cos( x) x∀ ∈ℝ ; h) 3 x 0;

cot sin

x x x

π

 

  +

i) sin

π

< < với 0

2

a b π

< < < ; j)

-

II BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

4

y= −x ; b) 1 3 2 2 3 3

3

y= x − x + x− ; c) 4 2

y=x − x − d)

2

1

y

x

− +

=

4

x y x

= + ; f)

2

y=x − x + g) y= −x sin 2x+2; h) y= −3 2 cosx−cos 2x; i) 2 [ ]

sin 3 cos , x 0;

Dạng 2: Tìm m để hàm số y= f x m( , ) có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó)

1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số: 2 ( ) 3

y

x m

=

− luôn đạt cực đại

và cực tiểu

2) Tìm m để các hàm số sau có cực trị:

3

y= x −mx + m − m+ x+ ; b) y=sinx−mx

3) Tìm m để hàm số: 4 ( 2 ) 2

y=mx + m − x + có ba cực trị (B-2002)

4) Tìm m để hàm số: ( )3

3

y= −x m − x đạt cực tiểu tại điểm x=0 5) Tìm m để hàm số: 1 3 ( 2 ) (2 2 )

3

y= x + m − +m x + m + x+ −m đạt cực tiểu tại

= −

6) Tìm m để hàm số:

2

1

x mx y

x

+

=

− để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10

7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị ( )C m của hàm số 2 ( )

1

y

x

=

+ luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

(B-2005)

8) Tìm m để hàm số: 2 ( ) 2

2

y

x

=

+ có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(A-2007)

9) Cho hàm số: y=x4−2mx2+2m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập

thành: a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích

bằng 16

y= x + m− x + m − m x có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 4x+ =y 0

11) Tìm m để hàm số: 3 2

y= +x mx + x+ có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3x− − =y 7 0

y=x − m− x + m − m+ x−m m− có đường thẳng

đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng x+4y−20=0 một góc 0

45

13)Tìm m để hàm số: y=x3−3x2+m x2 +m có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua

đường thẳng x−2y− =5 0

3

y= x + c m− m x − +c m x+ a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Chứng minh: x12+x22 ≤18

3

y= x −mx − + +x m có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

16)Tìm m để hàm số: 3 3 2

2

m

y= −x x +m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng x− =y 0

17)Tìm m để hàm số: 1 4 2 3

y= x −mx + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

18)Tìm m để hàm số:

2

1

y

x

=

− có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox

19)Tìm m để hàm số: 2 ( )

2

y

x

=

+ có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả

2

CD CT

y +y >

20)Tìm m để hàm số: 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 )

y= +x m− x + m − m+ x− m + đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho ( 1 2)

2 x x

21)Tìm m để hàm số ( ) 1

:

m

x

= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến

tiệm cận xiên bằng 1

2 (A-2005).

22)Tìm m để hàm số: 1 3 ( ) 2 ( ) 1

y= mx − m− x + m− x+ đạt cực trị tại x1, x2 thoả

x + x =

23)Tìm m để hàm số: 2 3 ( ) 2 ( 2 ) 5

y= x + m+ x + m + m+ x+ đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho A= x x1 2−2(x1+x2) đạt giá trị lớn nhất

24)Tìm m để hàm số: 1 3 5 2 4 4

y x mx mx đạt cực trị tại x x sao cho biểu thức 1, 2

2 2

m A

-

III BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) 3 2

y=x + x − x+ , x∈ −[ 4; 4] ; b) 4 2 [ ]

y=x − x + x∈ − c) , ( 2; 4]

2

x

x

1

x

− ; e) y= x+ 2−x f) y=cos3x−6 cos2x+9 cosx+5; g) y=sin3x−cos 2x+sinx+2

h)

2

2

2 10

y

=

, 1; 2 1

x

x

+

y=x + −x x∈ − k)

y

=

+ + ; l )

5

n) y= 2− +x 2− −x 4−x2 ; o)

2

cos

, 0;

x

π

 

p)y= 5sin3x−9 sin2x+4 ; q)

4 2 2

1 1

+

= +

x y

x

; r) y=(x x+ 4−x)( 5− −x 4−x)

8 2 2

1 256

1 4

+

= +

x y

x

4

2

y

y) 11 1cos 4 4 tan2

+

x

x ; z)

2

2

Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương

trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số:

1) Tìm m để phương trình: x− +1 8− −x (x−1 8)( −x)=m có nghiệm thực

3 x− +1 m x+ =1 2 x−1 có nghiệm thực (A-2007) 3) Tìm m để phương trình: ( 4 4 )

2 sin x+cos x +cos 4x+2sin 2x+ =m 0 có ít nhất một

nghiệm thuộc đoạn 0;

2

π

 

 

 .

4) Tìm m để phương trình : 2 ( )

2x −2 m+4 x+5m+10+ − =3 x 0 có nghiệm thực

5) Tìm m để hệ phương trình:

5

 + + + =







có nghiệm thực

( D-2007)

10x + + =8x 4 m 2x+1 x +1 có hai nghiệm thực phân

biệt

m x − x+ + +x − ≤x có nghiệm trên 0;1 + 3

8) Với giá trị nào của m thì hệ

2 2

0

x mx m

 − + ≤









2





11)Tìm m để phương trình: 4 4

2x+ 2x+2 6− +x 2 6− =x m có đúng hai nghiệm phân biệt (A-2008)

m +x − −x + = −x + +x − −x có nghiệm thực (B-2004)

-

IV BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ

Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ

y= +x x + −x C

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương

trình y′′ =0

b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI



và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C)

2) Cho hàm số: 2 1

2

y

x

= −

+ và điểm I(−2; 2) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong

phép tịnh tiến theo vectơ OI



và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C)

Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị

1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau:

y= −x x + x− ; b) 4 3

10 6

x y x

+

=

− ; c)

2

y

x

=

2) Cho hàm số: y=x4+4mx3−2x2−12mx Xác định m để hàm số có trục đối xứng

song song với Oy

-

V BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 1

x

y

x

+

=

2

1

x x y

x

+

=

3 1

x y x

+

=

2

2x x 1

y

x

− +

= e) y= x2− +x 1 ; f) y= +x x2+2x ; g)

2

2 1

x x y

x

−

=

1

x y x

=

− i) 2

4

x y

x

=

− ; j)

2 2

y

= + + ; k)

2

1

y= x − + −x x; l)

2

1 4

x y x

+

=

Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số

1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:

2

2

y

x

=

2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: 2 2

4

x y

+

=

3) Tìm m để đồ thị hàm số: 2 3

2

x y

−

= + + chỉ có đúng một tiệm cận đứng

4) Tìm m để đồ thị hàm số: 2 1

1

x y

x mx

+

= + + có hai tiệm cận đứng là x=x x1, =x2 sao cho

7

x +x >

5) Cho hàm số:

2

y

x m

− + +

= + Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A( )2; 0

6) Cho họ đồ thị ( ) 2 1

:

1

m

x mx

x

=

− Tìm m để tiệm cận xiên của ( )C m tạo với hai trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8

7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số:

3

y

=

0

45 (A-2008)

m

x m

Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn

hơn 2

-

VI BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức

Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 1 3 2 2 3

3

y= x − x + x

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 2

y=x − x +

Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số

m

C y= −x m+ x + m + m+ − m m+ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

2) Biện luận theo m số giao điểm của Ox với đường cong

m

C y=x − x + −m x+ + m

C y= −x mx + m m− x+ m −m cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng

m

C y= x + mx − m− x− cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập

thành cấp số nhân

m

C y=x − m+ x + m+ Tìm m để ( )C m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng

6) Tìm m để đồ thị hàm số: 3 2 ( )

y= −x x + −m x+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, , x2 x3 thoả mãn điều kiện: 2 2 2

x + +x x < (A-2010)

7) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị (C):y=x4−2x2−3 tại bốn điểm phân

biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN,

NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ

m

C y= m+ x − m+ x − m+ x+ +m có 3 điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó

m

C y= +x m+ m x − x− m+ m

10)Tìm m để ( ) 3 ( ) 2 ( 2 ) ( )

m

C y= −x m− x + m − m+ x m m− − tiếp xúc với

Ox

11)Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau:

C y=mx + − m x + mx C y= mx + − m x+ m−

12)Cho hàm số: 1 3 2 2 1

3

y= x − x + −x , có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến

với ( )C

a) Tạo với chiều dương Ox góc 0

60 b) Tạo với chiều dương Ox góc 0

15 c) Tạo với trục hoành Ox góc 75 0 d) Có hệ số góc k = −2

e) Song song với đường thẳng y= − +x 2 f) Vuông góc với đường thẳng y=2x−3 g) Tạo với đường thẳng y=3x+7 góc 0

45 h) Tạo với đường thẳng 1 3

2

y= − x+ góc 0

30

13)Cho hàm số: y= − +x3 3x+2 (C) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp

tuyến đến đồ thị ( )C

14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

( ) 3 2

C y= +x x trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

15)Tìm trên đường thẳng y=2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

C y= −x x

16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 4 2

C y=x − +x

17) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C : y=4x3−3x

b)Tìm m để 4x3−3x − =m 0 có 4 nghiệm phân biệt

c) Chứng minh rằng phương trình: 4x3−3x= 1−x2 có ba nghiệm

18) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 3 2

y= x − x + x− b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3−9x2+12 x =m

(A-2006)

19) Cho hàm số: y=2x4−4x2 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Với giá trị nào của m, phương trình x x2 2− =2 m có đúng 6 nghiệm thực

phân biệt (B-2009)

20) Cho hàm số: 3 ( ) 2

y= x − m+ x + mx− a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x sao cho tiếp tuyến với đồ thị 0

tại đó song song nhau với mọi m

c) Chứng minh rằng trên Parabol ( ) 2

:

P y=x có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m

Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ

Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số

1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 1

1

x y x

+

=

− b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau:

2 1 ; 2 1

x x

+ +

2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2

1

y x

=

− b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:

2

1

y

x

=

−

3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2

1 1

x x y

x

− − +

= + b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị:

2

1 1

x x y

x

− − +

=

Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức

1) Cho hàm số: 2 1

1

x y x

−

=

− (C) và điểm M bất kỳ thuộc ( )C Gọi I là giao điểm hai

tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

a) Chứng minh: M là trung điểm AB

b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến

:

1

x

C y

x

+

=

−

3) Cho hàm số:

2

y

x

− +

=

− (C) và điểm M bất kỳ thuộc ( )C Gọi I là giao

điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

a) Chứng minh: M là trung điểm AB

b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi

c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi

d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

4) Tìm các điểm trên đồ thị ( ) 10 4

:

x

C y

x

−

= + có toạ độ là số nguyên

5) Tìm các điểm trên đồ thị ( ) 2 5 15

:

3

C y

x

=

+ có toạ độ là số nguyên

6) Cho ( ) 3 5

:

2

x

C y

x

−

=

− Tìm M thuộc ( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm

cận là nhỏ nhất

:

1

x

C y

x

−

= + Tìm M thuộc ( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ

độ là nhỏ nhất

8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2

x y x

+

= + , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB

cân tại O ( A-2009)

9) Tìm toạ độ điểm M thuộc ( ) 2

:

1

x

C y

x

= + , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4 (D-2007)

10)Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( ) 4 9

:

3

x

C y

x

−

=

− các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất

11)Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( ) 2 2 5

:

1

C y

x

=

− các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất

11) Cho hàm số: 2 3

2

x y x

−

=

− (C)

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) Biết tiếp tuyến của (C)

tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK

có diện tích nhỏ nhất

12) Cho hàm số: 2 1

1

x y x

+

=

− và điểm A(−2;5) Xác định đường thẳng d cắt ( )C tại

hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều

13) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

2

y

x

=

b) Tìm m để phương trình: 2

2x −4x− +3 2m x− =1 0 có hai nghiệm phân biệt

14) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số:

2

y

x

=

− tại hai điểm A,

B sao cho AB=1 (A-2004)

15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

2

1

y x

= +

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân

x + x+ = m + m+ x+

16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

2

2

y x

= + (C)