17 hsg9 đắk nông 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Đắk Nông Câu 1 Cho biểu thức 3 6 4 11 1 x x[.]

Tỉnh Đắk Nông

1

A

x





a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của tham số m để A xm có nghiệm

Câu 2 a) Giải phương trình 2x2 x 9 2x2  x 1 x4

b) Cho m , n là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh mn m n   1 192

Câu 3 Một xe tải có chiều rộng là 2,4m chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol Biết

khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua

độ dày của cổng)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi Parabol   2

:

P yx với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a  1

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

Câu 4 Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn: ab bc ca   Chứng minh rằng 3

1a bc 1b ca 1c ab  abc

Câu 5 Một cái tháp được xây dựng bên bờ một con sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia

người ta nhìn thấy đình tháp với góc nâng 60 Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20m người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30 Tính chiều cao của tháp và bề rộng của con sông

9 Học sinh giỏi

Câu 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC , cắt cạnh AB và AC lần lượt tại điểm F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF

a) Chứng minh AF AB AE AC

b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( )K (với M , N là hai tiếp điểm; N thuộc cung

EC) Chứng minh ba điểm M, H , N thẳng hàng

-Hết -

HƯỚNG DẪN GIẢI

 Giáo viên góp đề: Nguyễn Ngọc Duy + 036 391 2472

 Giáo viên góp đề: Võ Thị Liễu + 094 147 2411

 Sản phẩm do nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực hiện

1

A

x





a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của tham số m để A xm có nghiệm

Lời giải

a) Điều kiện xác định: x0;x 1

1

A

x









2

1

x





1 1

x x







b) Ta có: A xm 1

1

x

x



  x 1  xm x1 x  1 x xm xm

1 0

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình: t2mtm  có nghiệm không âm và khác 1 1 0 Nếu phương trình có nghiệm bằng 1 thì 2

1 m.1m 1 02m20m  1 Thay ngược lại vào phương trình ta được: 2 0

0

1

t

t





    

 (thỏa ycbt) Nhận m  1

Nếu m  1 thì để phương trình có nghiệm không âm ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 1m10m 1

Trường hợp 2:





 1

Ta có: m24m 4 0 m228 m22 2

2 2 2

m

   hoặc m   2 2 2

2 2 2

m

   hoặc m  2 2 2  2

Từ  1 và  2 ta được: 1

2 2 2

m m

 





 



Do đó: Để phương trình có nghiệm không âm thì m  2 2 2 và m  1

Vậy, để A xm có nghiệm thì m  2 2 2

Câu 2 a) Giải phương trình 2 2

2x  x 9 2x   x 1 x4

b) Cho m , n là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh mn m n   1 192

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

2 2

x

x



  





(luôn đúng)

2 2

a b









Khi đó ta có: 2 2  

2

ab a b ab a b ab ab (vì ,a b  ) 0

Khi đó: 2x2  x 9 2x2  x 1 2 2 2

2x x 9 2x x 1 2

2x x 9 2x x 1 4 4 2x x 1

2x 4 4 2x x 1

2

x

 



 

0 2

8

7

x x

x





 

 





Vậy phương trình có nghiệm là x 0 và 8

7

b) Vì m , n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên  

2 2

k











Khi đó: mn m n  12k1 2 2k322k122k32124k k 1 2 k2

Ta thấy:  

k k









nên 6 4   2 

2 | 2 k k1 k2

Mặt khác: 3 |k k 1k2

1922 3 |mn m n   (đpcm) 1

Câu 3 Một xe tải có chiều rộng là 2,4m chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol Biết

khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua

độ dày của cổng)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi Parabol  P :yx2 với   là hình biểu diễn cổng mà xe tải 0 muốn đi qua Chứng minh   1

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

Lời giải

a) Theo yêu cầu bài toán, ta gắn hệ trục tọa độ như sau:

Trong đó: A2;m B, 2;m O, 0; 0 với m 0

Vì khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m nên

Do đó: B2; 4  Suy ra:  4  2 2  (đpcm) 1

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng

Ta có: 4 2, 5 3

2

a) Từ giác BCEF nội tiếp  O nên AEF ABC

Xét AEF và ABC có:



BAC chung









nên AEFABC g g

Suy ra: AE AF AF AB AE AC

b) Xét ABC có BE CF là đường cao suy ra , H là trực tâm của ABC

Câu 5 Một cái tháp được xây dựng bên bờ một con sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia

người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60 Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20m người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30 Tính chiều cao của tháp và bề rộng của con sông

Lời giải

Xét ABC vuông tại B có: tan

tan 60 3

BC

tan 30

BD

AB

10 3

10 tan 60 3

AB

Vậy, chiều cao của tháp là 10 3 m và bề rộng của con sông là 10m

Câu 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Vẽ đường tròn tâm K đường kính BC , cắt cạnh AB và AC lần lượt tại điểm F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF

a) Chứng minh AF AB AE AC

b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( )K (với M , N là hai tiếp điểm; N thuộc cung

EC) Chứng minh ba điểm M, H , N thẳng hàng

Lời giải

a) Từ giác BCEF nội tiếp  O nên AEF ABC

Xét AEF và ABC có:



BAC chung









nên AEFABC g g

Suy ra: AE AF AF AB AE AC

b) Xét ABC có BE CF là đường cao suy ra , H là trực tâm của ABC

Kẻ đường cao AP P BC của ABC Khi đó M N P cùng thuộc đường tròn đường kính AK , ,

AMN APN

  (góc nội tiếp chắc cung AN )

Mà AMNANM (AMN cân tại A theo tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Nên: ANM  APN  1

Mặt khác: AN là tia phân giác của  K nên AN2 AE AC

ANH APN

   2

Từ  1 và  2 suy ra ANH ANMM N H, , thẳng hàng (đpcm)