Bất đẳng thức Cô sy

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

2

a b

ab

+

≥

Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: Cho a, b ≥ 0 Khi đó:

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b

3

a b c

abc

Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho a, b, c ≥ 0 Khi đó:

3

+ + ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: Cho a1, a2, …, an ≥0 Khi đó: 1 2

1 2

n n

n

a a a n

Đẳng thức xảy ra ⇔ a1=a2 = = a n

1 1+ ≥ 4

Hệ quả 1: Với a, b >0 thì

a b a b+ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b

Hệ quả 2: Với a, b, c >0 thì 1 1 1 9

a+ + ≥b c a b c Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

+ +

Hệ quả 3: Cho n số thực dương a1, a2, …, an Khi đó 1 2

n

n

n

n

a a a

≥ + + + Đẳng thức xảy ra ⇔ a1=a2 = = a n

Hệ quả 4: Cho a b, ≥ 0và m n, ∈` Khi đó m n m n m n n m Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b

a + +b + ≥a b +a b

MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH

Kĩ thuật cơ bản :

Ví dụ 1 : Tìm GTLN của : y= x2(1− x ) ,x∈(0,1)

Lời giải

Do x,1− >x 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

3

2 (1 2 ) (1 2 )

y= x − x =x x − x ≤⎛ + + − ⎞ =

1 54

y

⇒ ≤

Dấu ‘=’ xảy ra 1 2 1

3

27

Max y = khi 1

3

x =

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của : 1 ,

1

x

423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668

Do x− >1 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

( 1)

y= x− + + ≥1

Dấu ‘=’ xảy ra 1 1 2

1

x

− 2

= Vậy Min y=3 khi x

Ap dụng :

Bài 1: Tìm GTLN của :

1)y=x(2−x) , x∈ ,2)(0 2) y= +(x 1)(1 2 )− x , ( 1, )1

2

x∈ − 3) y=x3(2−x) , x∈(0,2) 4) y=x(1−x2) , x∈(0,1)

Bài 2: Tìm GTNN của :

1) y x 22

x

2 2 2

1

x x

+

⎝ ⎠ x≠ −1

Ví dụ 3 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :

a) a2+b2+ ≥4 2a+2b + b a b) a(1+ +b) b(1+ +c) c(1+a) 3≥ 3abc(1+3abc) c)a b− +1 b a− ≤1 ab với a b, ≥1

Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

2

2

4 4

4 4 2

+ ≥ + ≥ + ≥ b Cộng lại ta được :

2a +2b + ≥8 4a+4b+2a b ⇒( đpcm )

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b 2

b)

Ta có :

a +b +b +c +c +a = a+ +b c + ab+bc+ca

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

3

2 2 2 3

3 3

+ + ≥

Cộng lại ta được đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = c a b

c)

Ta có : a b− =1 a a

b− ≤a + − =

Tương tự : 1

2

− ≤

2

ab

b a

Cộng lại ta đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b

Áp dụng :

Cho a b c, , >0.Chứng minh :

+ + ≥ + b)a2(1+b2)+b2(1+c2)+c (1

c)(a b b c c a+ )( + )( + ) 8≥ abc d) ab bc ac a b c

b

c + a + ≥ + +

Ví dụ 4 : Cho a b, ,c>0.Chứng minh :

a +b +c ≥a bc+b ac+c ab

Lời giải :

Áp dụng Cauchy 6 số :

6

4a +b +c ≥6 a b c =6a bc

Tương tự :

6

4b +a +c ≥6 b a c =6b ac

6

4c +a +b ≥6 c a b =6c ab

Cộng các vế lại ta được đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c

Ví dụ 5 : Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =1 Chứng minh rằng :

a− b− + b− c− + c− a− ≥

Lời giải :

Ta có :

2 4

b

Tương tự :

2 4

1 1 2 a

c

2 4

1 1 2 b

c

423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668

6

VT

a b=c

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ =

Ví dụ 6 : Cho a b, ,c>0.Chứng minh :

c a b +a b c +b c a ≥ a

1 1 1 1

b c

⎛ + + ⎞

Lời giải :

Ta có

2

2

2

2

a b c

+ +

Áp dung bất đẳng thức Cauchy ta có :

2

4b b a b( + ) b

a b

+

Tương tự :

2

+ +

+

3

4

2

+ +

+

3

4 Cộng các vế lại vá áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được đpcm

Ví dụ 7 : Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =3 Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

1 1 1

c b a c b

Lời giải :

Ta có :

a +b +c ≥ ab+bc+c

a

Ta chứng minh tiếp :

Đặt x ab bc ca= + +

Do ( +bc+ca)2 ≥3abc a b c( + + ) suy ra 2

9

x abc≤

Ta lại có : a2+b2+c2 =(a b c+ + )2 −2(ab bc ca+ + ) 9 2= − x

Suy ra :

a2+b2 +c2 − ≤ − x − =− − + ≤

abc

Vậy ta có đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c

Ap dụng :

Bài 1: Cho a b c, , >0 Chứng minh :

a b c

Bài 2 : Cho a b c, , >0thỏa abc=1 Chứng minh :

1

Bài 3: Cho a b, ,c>0và abc=1.Chứng minh :

3 3

≥

Bài 4 : Cho a, b, c >0 thỏa a b c+ + =abc Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1

b +c +a ≥

Bài 5: Cho a b c, , >0 Chứng minh :

2

b c + a c + a b

Bài 6 : Cho a b c, , là ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng :

a)( )( )( )

8

abc

a b c + b c a + c a b ≥

Kĩ thuật cộng thêm :

Ví dụ 8: Cho a b c, , >0.Chứng minh :

a) a2 b2 c2 1 1 1

b +c + a ≥ + +a b

+ +

Lời giải :

a)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

2

1 2

a

b + ≥

423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668

2

1 2

b

c + ≥

2

1 2

c

a + ≥

Cộng các vế lại ta được đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c

b)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

3

2b c+ 9 ≥

+

c a

+

b

2

2a b+ 9 ≥3

+

a b=c

2

Cộng các vế lại ta được đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ =

Lưu ý : Trong ví dụ 2 do dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = nên muốn Cauchy để mất mẩu của a b c 2

2

a

b c+ thì 2b c+ phải chia cho 9 đễ dấu ‘=’ xảy ra

Áp dụng :

Bài 1 : Cho a b c, , >0và a2+ + =b2 c2 3.Chứng minh :

2

b c+a c+a b≥

Bài 2: Cho a b c, , >0 thỏa abc=1 Chứng minh rằng :

Bài 3 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :

1 1 1

+ + + + + ≥ + +

c

Bài 4 : Cho a b c, , >0.Chứng minh :

1 1 1 1

Kĩ thuật hạ bậc :

Ví dụ 9: Cho a b c, , là 3 số dương thỏa ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng: a3+ + ≥b3 c3 3

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

b

2(a + +b ( ca) 9=

3 3 1 3

a +b + ≥ a

3 3 1 3

b +c + ≥ c b

3 3 1 3

c +a + ≥ ac

Cộng các vế lại ta có :

3) 3 3

c + ≥ ab bc+ +

⇔ = = Dấu ‘=’ xảy ra

Ví dụ 10: Cho a b, ,c>0và abc=1.Chứng minh :

Lời giải :

Ap dụng hệ quả ta có :

3 3

+ ≥

1

abc=

Do nên 3 13 2 2

1

a b c

a b ≤ a b b a abc =

+ +

Tương tự :

1

1

a

1

1

b

Cộng các vế lại ta được đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = =a b c 1

Ap dụng :

Bài 1: Cho a, b, c > 0 thỏa a3+ + =b3 c3 3 Chứng minh rằng: a5+ + ≥b5 c5 3

Bài 2 : Cho a, b, c > 0 thỏa a b3 3+b c3 3+c a3 3 =3 Chứng minh rằng a7+ + ≥b7 c7 3

Bài 3: Cho a b c, , >0thỏa a+ + =b c 1 Chứng minh rằng:

1 ab+1 bc+1 ca ≥

3

2 2)a+ + ≥2b c 4(1−a)(1−b)(1−c)

Bài 4: Cho a b c, , >0 thỏa ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a6+ + ≥b6 c6 3

Bài 5: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:

+ + ≥⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜

4

3 ⎞

⎟

⎠

Bài 6: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1

a b+b c+c a ≥a b c+b c a+c a b

423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668

Ví dụ 11: Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =3 Chứng minh rằng : 2 2 2 3

Lời giải

Ta có :

b

Tương tự :

2

2

b c

c a

≥ − +

≥ − +

c c

Cộng lại ta được :

2

ab bc ca

VT ≥ a b+ + −c + +

(1)

Mặt khác ta có : 3(ab bc ca+ + ) (≤ a b c+ + )2= ⇒9 ab bc ca+ + ≤3 (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =a b c

Áp dụng :

Bài 1 : Cho a b c, , >0 thỏa ab bc ca+ + =3 Chứng minh rằng :

Bài 2: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng : 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2

+ +

Bài 3: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng : 2 3 2 2 3 2 2 3 2

3

+ +

Kỹ thuật cân bằng hệ số:

Ví dụ 12: Cho a b, >0 thỏa a b+ ≤1 Chứng minh rằng S a b 1 1 5

a b

= + + + ≥ Lời giải

Ta có :

a+ ≥b a b

+ Suy ra :

( )

3

a b

+

1

a b

⇔ = = Dấu ‘=’ xảy ra

2

Ví dụ 13: Cho a b, ,c>0 thỏa ab+ +bc ca=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2 2

P 4= a +4b +c

Lời giải :

Áp dụng Cauchy ta có :

a +b ≥ ab

( 2) (a2 2)b2 2c2 2 (ab bc ca) 2

2 2

2 2

+ ≥ + ≥ Suy ra :

α α+ + α α+ + ≥ α + + = α

Ta chọn α là số dương thỏa :

8

2

α + = ⇒ =α α − +

Suy ra :

1 33 2

P≥− +

Dấu ‘=’ xảy ra

4

4

1 33

1 3

a b

a b

a c

b c

c

ab bc ca

α α

=

⎪ + + = ⎪⎩

⎩

3

Vậy GTNN P = − +1 2 33 4

4

1 33

1 3 33

a b

c

⎧ = =

⎪⎪

⇔ ⎨

− +

⎪ =

Ap dụng :

Cho a b c, , >0 Chứng minh :

a) a2 b2 4c2 a 3b

9

c a b

b c+c a+a b ≥ − −

Bài tập nâng cao:

423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: 08 7305 7668

Bài 1: Cho a b c, , >0 Chứng minh :

3

+ +

⎛ + ⎞⎛ + ⎞⎛ + ⎞≥ +

Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 1

c b a c

+

2 3

abc c b a c b

+ +

≥ + +

Bài 3: Cho a b c, , >0 thỏa abc=1 Chứng minh rằng :

a)

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 3

b)

1

Bài 4: Cho a b c, , >0 thỏa a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

a + − +b c b + − +c a c + − ≤ a b

Bài 5: Cho a b c, , >0 thỏa a+ + =b c 3 Chứng minh rằng : a+ b+ c ≥ab+bc+ac

Bài 6: Cho a b, ,c>0 thỏa abc=8 Chứng minh rằng :

4 3

Bài 7: Cho a b c, , >0 thỏa ab bc ca+ + =1 Chứng minh rằng : 3 1 3 1 3 1

abc

Bài 8: Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng :( 5 2 )( 5 2 )( 5 2 ) ( )3

a − +a b − +b c − + ≥c a b c+ +

Bài 9: Cho a b c, , >0.Chứng minh

3

2

a b c