Phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức : • Dựa vào định nghĩa xét hiệu hai vế • Dùng phương pháp biến đổi tương đương • Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết … hoặc phối hợp

1 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC

3.6 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : an > bn

3.7 Nếu a > b > 0 và n là số nguyên dương thì : n a > n b

Ghi chú :

Các tính chất nêu trên vẫn được sử dụng đối với các bất đẳng thức suy rộng

4 Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức :

• Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế)

• Dùng phương pháp biến đổi tương đương

• Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết

… hoặc phối hợp các phương pháp này

B PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA

Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0

Lưu ý :

A2 ≥ 0 A2 + B2 ≥ 0 Và các hằng bất đẳng thức :

(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥ 0

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥ 0 1.1

Chứng minh các bất đẳng thức :

Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + 4 ≥ 2(x + y) + xy

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng

Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn :

A2 > B2 ⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0

m > n ⇔ Am > An trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương

Cho hai số dương a và b và x y≤

a b Chứng minh rằng : ≤ + ≤

+

x x y y

a a b b1.10

1 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng :

< <

a b c b c a b c

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≥ b Chứng minh rằng :

a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2) 1.12

Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1 Chứng minh rằng :

Trong điều kiện x > 0, y > 0 và x + y = 1 ta có :

(x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + 1 ≥ 9xy

⇔ 2 ≥ 8xy ⇔ 1 ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥ 0

Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x3 + y3 + z3 = 1

1 Chứng minh bất đẳng thức : ≥

−

2

3 2

Trong điều kiện xy ≥ 1

Bất đẳng thức tương đương với :

Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức :

D PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP

Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh

Ta thường dùng các bổ đề sau :

Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 ≤ x + y ≤ 2

1 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0

ab + bc + ca ≥ - 1

2 (1)

Chứng minh bất đẳng thức :

Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1

Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz

Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : 1 1 2+ =

x y zChứng minh bất đẳng thức : + + +

Cho ba số dương x, y, z

1 Chứng minh bất đẳng thức : ≤ +

≤ +x y4

2 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi

1.35

Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện :

x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn 0;4

xy (do xy > 0) Nên : ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥ ( + ) =

2 2

2

Cho hai số nguyên m và n với m > n Chứng minh rằng :

1.41

1 Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + 1 > 0

2 Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| + 1

thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 1

Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1

Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c

Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc

Hướng dẫn :

Do a ≤ b nên : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2

Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc

Xét hiệu hai vế : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c)

Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0

Do a ≤ b nên :

4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Mà a + b – c > 0 nên :

4b – c ≥ 2b + (a + b – c) > 0 Bất đẳng thức được chứng minh

Vận dụng hằng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

2 VÀI BẤT ĐẲNG THỨC

+ ≥Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2 Hệ quả :

• Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn

nhất khi và chỉ khi a = b :

max(ab) = k2

4 ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có diện tích lớn nhất

• Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b

min(a + b) = 2 k ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

1 Chứng minh rằng, nếu x > 1 thì : x 2

x 1− ≥

2 Cho x > 1 và y > 1, chứng minh bất đẳng thức : x2 y2

y 1 x 1− + − ≥ 8 2.4

1 Chứng minh bất đẳng thức : 2

2

a 5

a 1

++ ≥ 4

2 Cho a ≥ 1 và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b 1 b a 1− + − ≤ ab

2.6

Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z

Chứng minh bất đẳng thức : z(x z)− + z(y z)− ≤ xy

Gọi R, r và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích một tam giác vuông Chứng minh rằng :

R + r = b c

2

+ ≥ bc 2S= (do S = 1 bc

2 ) 2.9

1 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức :

1 Cho x ≥ 0 và y ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức : 3x2 + 7y2 > 9xy2

2 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức :

a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc b ca c ab+ 2 + 2

Gợi ý :

1 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :

3x3 + 7y3 = 3x3+3y3 + 4y3 ≥ 33x 3y 4y =3 3 3 3xy 3 4 >3xy2 3 2 2 33 = 9xy3 2

2 a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + b3 + c3 + 3abc

= (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)

a3 + abc ≥ 2 a abc 2a bc3 = 2

b3 + abc ≥ 2b2 ca c2 + abc ≥ 2c2 ab ……

a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc b ca c ab+ 2 + 2

Gợi ý :

Điều kiện đã cho tương đương với : 1 ≥ 2xyz + xy + yz + zx

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm

2.14

1 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1

Chứng minh rằng : 16xyz ≤ y + z

2 Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện :

1 x 1 y 1 z 1 t+ + + + + + + ≥Chứng minh rằng : xyzt ≤ 1

1 x 1 y 1 z 1 t+ ≥ + + + + + ≥ 33

yzt(1 y)(1 z)(1 t)+ + +Tương tự, rồi nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm được :

1(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + ≥ 81

xyzt(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + +xyzt ≤ 1

81

B BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ

4 Định lí :

• Nếu (a ; b) và (z ; y) là hai bộ hai số thì :

(ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) hay |ax + by| ≤ (a2+b )(x2 2+y )2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

a b= (với qui ước a = 0 thì x = 0, b = 0 thì y = 0)

5 Tổng quát :

Nếu (a1 , a2 , … , an) và (x1 , x2 , … , xn) là hai bộ n số thì :

(a1x1 + a2x2 + … + anxn)2 ≤ (a12 + a22 + … + an2)(x12 + x22 + … + xn2) hay |a1x1 + a2x2 + … + anxn| ≤ ( 2 2 2)( 2 2 2)

a +a a+ + x +x + + x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n

p2 + q2 = 40

2 0

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác , đặt p = a b c

2

+ + Chứng minh rằng :

p< p a− + p b− + p x− ≤ 3p

Hướng dẫn :

- Dùng biến đổi tương đương để có : p < p a− + p b− + p c−

- Dùng bất đẳng thức Schwartz để có : p a− + p b− + p c− ≤ 3p 2.24

Cho ba số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức :

C BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cho hai số thực a, b Chứng minh các bất đẳng thức :

1 |a + b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ra khi nào ?

2 |a – b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây :

3 VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC

A PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI

Dựa vào các tính chât của bất đẳng thức để biến đổi một vế của bất đẳng thức thành dạng tính được tổng hay tích hữu hạn Thường thì :

• Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng hiệu

hai số hạng liên tiếp :

Cho ba số x, y, z đều không nhỏ hơn - 1

4 và thỏa điều kiện x + y + z = 1 Chứng minh rằng : 4x 1+ + 4y 1+ + 4z 1 5+ <

Hướng dẫn :

24x 1+ ≤ 4x +4x 1+ = |2x + 1| = 2x + 1 (do x ≥ - 1

4) 4x 1+ + 4y 1+ + 4z 1+ ≤ 2(x + y + z) + 3 = 5

Lưu ý : loại trừ trường hợp xảy ra đẳng thức

−

B PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

Ta giả sử bất đẳng thức phải chứng minh sai, rồi kết hợp với giả thiết suy ra điều đó vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, có thể là điều trái với điều đúng, có thể là hai điều mâu thuẫn nhau … Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh là đúng

Cho bốn số x, y, z, t thỏa điều kiện : x + y = 2zt Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng :

z2 ≥ x t2 ≥ y 3.11

Cho ba số x, y, z thỏa ba điều kiện :

|b – c| > |a| ⇔ (b – c)2 > a2 ⇔ - (a + b – c)(c + a – b) > 0 (1) Tương tự :

- (b + c – a)(a + b – c) > 0 (2) - (c + a – b)(b + c – a) > 0 (3)

Tư (1) (2) (3) suy ra :

- [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 > 0

Vô lí, vậy không có ba số a, b, c nào đồng thời thỏa ba bất đẳng thức nêu trên

C PHƯƠNG PHÁP TRUY CHỨNG (QUY NẠP TOÁN HỌC)

Cho một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n ≥ n0 , ta thực hiện như sau :

1 Kiểm nghiệm bất đẳng thức đúng với n = n0

2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (ta có giả thiết quy nạp)

3 Từ đó chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 (thay n = k + 1 rồi biến đổi để áp dụng giả thiết quy nạp)

Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ n0

• Với n = 1 thì bất đẳng thức đúng

• Với n = 2, 3, 4 thì bất đẳng thức không đúng

• Với n = 5 thì bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ∈ Z và k ≥ 5)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của a

a + a + + a ≤ |a| + 1 Vế trái có n dấu

1 < 2 1 (bất đẳng thức đúng)

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, nghĩa là :

Ek < 2 k

- Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là :

Ek + 1 < 2 k 1+ Thật vậy :

Ek + 1 < 2 k + 1

k 1+ = 2 k k 1 1

k 1

+ ++Mà theo bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm thì :

4 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

Coi hàm số f(x) có tập xác định D :

1 k là giá trị lớn nhất của f(x) nếu thỏa được hai điều kiện :

a) f(x) ≤ k (k là hằng số)

b) Có lúc f(x) = k (nghĩa là có giá trị x0 của x để có đẳng thức)

Kí hiệu : maxf(x) = k (tại x = x0)

2 k là giá trị nhỏ nhất của f(x) nếu thỏa được hai điều kiện :

a) f(x) ≥ k (k là hằng số)

b) Có lúc f(x) = k (nghĩa là có giá trị x0 của x để có đẳng thức)

Kí hiệu : min f(x) = k (tại x = x0)

Như vậy muốn tìm cực trị (giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất) của một hàm số f(x) trên tập xác định D, ta phải thực hiện hai bước :

• Chứng minh một bất đẳng thức

• Tìm một điểm của D sao cho ứng với điểm đó bất đẳng thức trở thành một đẳng thức

4 ≥ 34 minA = 34 (tại x = 54 hoặc x = - 14)

2 B = -(|x – 1| - 1)2 + 3 ≤ 3 maxB = 3 (tại x = 2 hoặc x = 0)

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x – 3| + |x – 5|

2 Tìm số nguyên x để biểu thức :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

E = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36

Cho phương trình có hai ẩn số x, y :

x2 + 3y2 + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0 Tìm x, y để tổng x + y lớn nhất ? Nhỏ nhất ?

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức :

E = 4(x2 x 1)2

(x 1)

− +

− (với x ≠ 1)

2 (x 1)

3 3 x x 1

++

− + ≥ 2

3

2 A 2

3 ≤ ≤Cách 2 :

4.14

1 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x + y = xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + y

2 Cho a ≥ 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = a 4

Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

xy ≥ 4 min E = 9 (tại x = y = 1

2) 4.16

1 Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của : A = 8x2 2

E = 6x + 4y 4.18

Tìm giá trị của x để biểu thức :

A = (x2 2x 3)(x2 2 2x 9)

x 2x 1

+ + (với x ≠ -1) đạt giá trị nhỏ nhất

= 2

2

16(x 1) 10

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : E = |x| 1 x− 2 (với –1 ≤ x ≤ 1)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Gợi ý :

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z :

E = xyz = x + y + z ≥ 33 xyz = 3 E 3

E3 ≥ 27E ⇔ E2 ≥ 27 ⇔ E ≥ 3 3 4.22

Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : 2x + xy + z + yzt = 1 Tìm giá trị lớn nhất của :

E = x2y2z2t

Gợi ý :

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương : 2x, xy, z, yzt

2x + xy + z + yzt ≥ 44 2x.xy.z.yzt hay 1 ≥ 4 2x y z t ⇔ 2x4 2 2 2 2y2z2t ≤ 14 1

4 =256

E = x2y2z2t ≤ 1

5124.23

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x100 – 10x10 + 10

9 số 1

x 1.1 1 10

Nên :

P ≥ 10x10 – 10x10 + 1 = 1 min P = 1 (tại |x| = 1) 4.24

Cho xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

4.25

Cho biểu thức : E = x 12 + + 2x2− +4 21 3x− 2

1 Tìm điều kiện của biến số x để E có nghĩa

2 Tìm giá trị lớn nhất của E và giá trị tương ứng của x

max E = 54 (tại x = ± 5 ) 4.26

Cho bốn số x, y, z, t thỏa điều kiện :

(x + y + z + t)2 ≤ 4(x2 + y2 + z2 + t2) (2) Từ (1) và (2) :

(x + y + z + t)2 ≤ (x + y + z + t) + 2 hay

E2 ≤ E + 2 ⇔ E2 – E – 2 ≤ 0 ⇔ (E + 1)(E – 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ E ≤ 2 a) maxE = 2 (tại x = y = z = t = 1

2) b) minE = -1 (tại x = y = z = t = - 1

4)

b) x = 5

2 khi a = b = c = 324.28

Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = 8(x4 + y4) + 1

12 = (x + y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) ⇔ 1

2 ≤ (x

2 + y2) 2

8(x4 + y4) + 1

xy ≥ 1 + 4 = 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

2

4.29

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) =

x2 và điểm A(3 ; 0) Gọi M là một điểm thuộc (P) có hoành độ x0 Tính

x0 để độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất

Gợi ý :

AM2 = |xA – xM|2 + |yA – yM|2 = x04 + x02 – 6x0 + 9

= (x2 – 1)2 + 3(x0 – 1)2 + 5 ≥ 5

min AM = 5 (tại x0 = 1 ; y0 = 1) 4.30

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số

y = f(x) = -x2

4 và điểm A(0 ; -2) Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N Tính k để độ dài đoạn MN nhỏ nhất

Gợi ý :

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

x2 + 4kx – 8 = 0 Δ’ = 4k2 + 8 ≥ 8 Mặt khác :

min MN = 4 2 (tại k = 0) 4.31

Cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = x2

4 và hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là –2 và 4

1 Víêt phương trình đường thẳng AB

2 Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng với x ∈ [-2 ; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Hướng dẫn :

1 Phương trình đường thẳng AB :

(P) và (d) : x2 – 2x – 4k = 0

Do (d) tiếp xúc với (P) nên Δ’ = 0

1 + 4k = 0 ⇔ k = - 1

4Phương trình của tiếp tuyến (d) : y = 1x 1

2 −4Tọa độ tiếp điểm M : (x0 = 1 ; y0 = 1

4) Mặt khác (P) ở phía trên (d), thực vậy :

2

x

4 ≥ 1

1x

2 −4 ⇔ x

2 – 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x – 1)2 ≥ 0 (Bất đẳng thức đúng) Suy ra khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất, do đó diện tích tam giác MAB lớn nhất; khi M có tọa độ :

M (x0 = 1 ; y0 = 1

4) 4.32

1 Cho ba số dương a, b, c có tổng là hằng số Tìm a, b, c sao cho ab + bc + ca d0ạt giá trị lớn nhất

2 Giả sử rằng giá bán của viên kim cương (hột xoàn) tỉ lệ với bình

phương khối lượng của nó Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sự sai biệt về giá là lớn nhất :

Hướng dẫn :

1 Ta có :

+ +Nên :

A – (x + y + z) = 2A S2 . 2 2A

S 3 = 3Giảm giá lớn nhất khi : a = b = c nghĩa là khi viên kim cương được cắt thành ba phần bằng nhau

• Có những phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi dùng tính chất của bất đẳng thức để chứng minh được ngoài nghiệm này ra phương trình không còn nghiệm nào khác nữa

• Đối với những phương trình có dạng f(x)= k (hằng) mà ta chứng minh được f(x) ≥ k hoặc f(x) ≤ k thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho có đẳng thức f(x) = k

• Đối với những phương trình có dạng f(x) = g(x) mà ta luôn có f(x) ≥ k (hằng) và g(x) ≤ k thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x đồng thời có các đẳng thức : f(x) = k và g(x) = k

• Ta cũng có thể vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy , Schwartz …) để giải phương trình

5 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

5.1

Giải phương trình : x+3+ x−1+2 (x+3)(x−1)=4−2x

Hướng dẫn :

– Điều kiện : x ≥ 1

– Do phép thử phương trình có nghiệm : x = 1

– Nếu x > 1 thì : Vế trái > 2 và vế phải < 2

Phương trình có nghiệm duy nhất x =1