xác suất thống kê,nguyễn thị hồng nhung,dhkhtnhcm Trên 2 mẫu phụ thuộc Trên 1 mẫu Trên 2 mẫu độc lập 1 Ước lượng
Trang 1Trên 2 mẫu phụ thuộc Trên 1 mẫu
Trên 2 mẫu độc lập
1/ Ước lượng 𝝁:
2/ Ước lượng p:
3/ Điều kiện bác bỏ H 0 :
2
𝑇 < −𝑇𝛼𝑛−1 (1 mẫu)
𝑇 < −𝑇𝛼𝑛1+𝑛2−2 (2 mẫu, 𝜎1 = 𝜎2)
𝑇 < −𝑇𝛼𝑑𝑓 (2 mẫu, 𝜎1 ≠ 𝜎2)
𝑇 > 𝑇𝛼𝑛−1 (1 mẫu)
𝑇 > 𝑇𝛼𝑛1+𝑛2−2 (2 mẫu, 𝜎1 = 𝜎2)
𝑇 > 𝑇𝛼𝑑𝑓 (2 mẫu, 𝜎1 ≠ 𝜎2)
|𝑇| > 𝑇𝛼 2 𝑛−1 (1 mẫu)
|𝑇| > 𝑇𝛼 2 𝑛1+𝑛2−2 (2 mẫu, 𝜎1 = 𝜎2)
|𝑇| > 𝑇𝛼 2
𝑑𝑓
(2 mẫu, 𝜎1 ≠ 𝜎2)
*Chương 1,2: Xác suất*
1/ Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) 2/ X/s có điều kiện (CT Nhân): P(A∩B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) 3/ A, B độc lập: P(A|B) = P(A) ; P(B|A) = P(B) ; P(AB) = P(A).P(B) 4/ Bayes Rule: P(A|X) = P(AX)
P(X) = P(X|A).P(A)P(X)
5/ + Công thức đầy đủ: P(A) = P(A|B1).P(B1) + P(A|B2).P(B2) + … + Total Probability: P(A) = P(A|B).P(B) + P(A|B̅).P(B̅)
6/ Bayes Rule for 2 events: Ghép Bayes Rule và Total Probability
*Chương 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc & phân phối*
1/ Yêu cầu phân phối x/s: 0 ≤ p(x) ≤ 1 AND ∑p(x) = 1 2/ Hàm phân phối tích lũy: F(x) = P(X ≤ x)
3/ Giá trị kì vọng: E(X) =∑∞ x
i=1 ipi
4/ Phương sai: σ2= ∑∞i=1xi2p(xi) − μ2
5/ Độ lệch chuẩn: 𝜎 = √𝜎2
6/ Phân phối Bernoulli: 𝑓𝑝(𝑘) = 𝑝𝑘(1 − 𝑝)1−𝑘
E(X) = p ; V(X) = p(1 – p) 7/ Phân phối x/s nhị thức (Binomial Probability Distribution):
P(X = k) = Cnkpk(1 − p)(n−k) ; X~B(n,p)
8/ Trung bình và độ lệch chuẩn cho Biến nhị thức ngẫu nhiên:
µ = np ; σ = √np(1 − p) 9/ Geometic (Hình học): P(k) = (p1 − p)(k−1) ; p ∈ (0,1)
Kì vọng: 1/p ; Phương sai: (1-p)/p2
10/ Negative Binomial (Nhị thức phủ định):
P(X = m) = Cm−1k−1pk(1 − p)(m−k)
Kì vọng: k/p ; Phương sai: k(1-p)/p2
*Chương 4: Phân phối liên tục*
E(X) = ∫ xf(x)dx ; V(X) = ∫(x − μ)2f(x)dx = E(X2) – [E(X)]2
>>Phân phối xác suất đều (Uniform)<<
f(x): Hàm mật độ (Probability density function)
1/ P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dxab 2/ E(X) = (a+b)/2
3/ V(X) = (b-a)2/12 4/ 𝜎 = √𝑉(𝑋)
>>Phân phối xác suất thường (Normal)<<
1/ Hàm mật độ xác suất: f(x) = 1
σ√2πe−(x−µ) 2 /(2σ) 2
; -∞ < x < ∞
X ~ N(μ, 𝜎2) ; E(X) = μ ; V(X) = 𝜎2
2/ Phân phối chuẩn: Z ~ N(0,1) ; Dò bảng Chuẩn Hóa
3/ Tính x/s bằng cdf: P(X>a)=1–F(a) ; P(a ≤ X ≤ b)=F(b)–F(a) ; (b>a)
𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
−∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Trang 24/ Kiểm định 𝝁:
5/ Kiểm định p:
Trên 2 mẫu độc lập
Trên 1 mẫu:
Trên 2 mẫu:
4/ Phân phối thường không chuẩn (Nonstandard normal distribution): P(a ≤ X ≤ b) = P (a − μ
σ ≤ Z ≤
b − μ
σ ) = ɸ (
𝑏 − μ
𝜎 ) − ɸ (
𝑎 − μ
𝜎 ) 5/ Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn:
µ = np ; σ = √np(1 − p) ; P(X ≤ x) ≈ɸ( 𝑥−𝑛𝑝
√np(1−p)) (x = 0,1, ,n)
(Điều kiện: µ và 𝛔 ≥ 10)
Bino(n,p) => N( μ, 𝜎2):
P(X = a) => P(a - 0,5 ≤ X ≤ a + 0,5) P(X ≥ a) => P(X > a - 0,5)
P(X ≤ a) => P(X < a + 0,5) P(X > a) => P(X > a + 0,5) P(X < a) => P(X < a - 0,5) 6/ Phân vị: P(X ≤ n(p)) = p = F(n(p)) => n(p) = ? //Kết hợp với cdf
*Chương 5: Phân phối x/s đồng thời*
1/ Phân phối đồng thời: ∬ f(x, y)dxdy = 1−∞∞ 2/ Mật độ lề/Phân phối lề (Marginal Density):
𝑓𝑋(𝑥) = ∫−∞+∞𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ; 𝑓𝑦(𝑦) = ∫−∞+∞𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
(Với rời rạc: Thể hiện phân phối dưới dạng bảng Liên tục: Hàm mật độ)
2/ Độc lập: p(x,y) = p(x)p(y) => f(x,y)=f(x).f(y)
3/ Covenient: Cov(X,Y) = E[XY] - µx µy(µ: Kì vọng)
Cov(X,Y) = 0 khi X,Y độc lập
4/ E[XY] = ∬ xyf(x, y)dxdy 5/ V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) 6/ Correlations (Sự tương quan): Corr(X,Y) or px,yor p = Cov(X,Y)
σXσY
*Lưu ý & Chú thích*
1/ t∝/2n−1: Giá trị tới hạn
2/ ∝: Độ khác biệt/Độ sai lệch/
Mức ý nghĩa
3/ 1-∝: Độ tin cậy
4/ Z∝/2√𝑝̂(1−𝑝̂)
𝑛 : Lỗi biên
6/ Thống kê mô tả:
+ Mean: Trung bình (cộng) + Median: Trung vị //Vị trí ở giữa các số + Mode: Yếu vị //Số có số lần x/hiện nhiều nhất + Tứ phân vị thứ nhất, hai, ba: Q1= n.25%/100 = * (Tương
tự Q2 là 50%, Q3 là 75%) (Nếu * lẻ thì làm tròn, lấy số ở vị trí làm trònq Nếu * chẵn thì lấy số ở vị trí chẵn đó + số ở vị trí kế tiếp rồi chia 2)
+ IQR = Q3 – Q1
+ s = √s2= √∑ ni (xi−x̅)
n−1
(ni: Số lần xuất hiện của 1 giá trị) + Vẽ Histogram và Stem-Leaf
+ Lower Fence = Q1 – 1,5(IQR) //Kiếm outliners + Upper Fence = Q3 + 1,5(IQR) //Kiếm outliners + BoxPlot:
7/ Lưu ý về kiểm định:
+ Cái gì có dấu = đẩy vào Ho. (=; ≥, ≤)
+ H1 thì ngược lại (≠, >, <)
+ p̂: Tương đương f
+ x̅ ≈ N(μ;σn2) ; 𝑍 =𝜎/√𝑛𝑥̅−𝜇
+ Pvalue= P(Z>Ztest) = *
Nếu *≥ ∝ => Don’t reject Ho
Nếu P < ∝ => Reject Ho
Nếu đề là kiểm định 2 phía (Two tails) thì
Pvalue = 2P(Z>Ztest)
//Có thể đổi Ztest thành Ttest tương ứng đề
5/ Hợp Lý Cực Đại (max):
+ Kỹ thuật 1: Đạo hàm [g(x)]’ = 0 + Kỹ thuật 2: Cần phải thuộc công thức đạo hàm ln và log Gán ln/log/… 2 bên rồi đạo hàm 2 bên theo biên * (* Là yêu cầu đề) + Kỹ thuật 3: Nhìn & xử lý (Khó)
REJECTION HO
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt