Microsoft Word Chuong3note Slide 1 Ch¬ng III Phonon vµ dao ®éng m¹ng Slide 2 1 Dao ®éng trong m¹ng chøa c¸c nguyªn tö cïng lo¹i )u2uu(C dt udM s1s1s2 S 2 tiiSKa S e e Uu 2 Kasin M C4 2/1 [.]
Trang 1Slide 1
Chương III
Phonon và dao động mạng
Slide 2
1 Dao động trong mạng chứa các nguyên tử cùng loại
) u u u ( C dt
u d
2
t i iSKa
S U e e
2
Ka sin M
C
4 1/2
1 Dao động mạng
us-1 us us+1 us+2
a
t i iSKa 2 2 S 2
e e U dt
u
) 2 e
e ( C
2
Slide 3
Trang 2iKa i iSKa i Ka ) 1 (
S
e Ue e Ue u u
t t
Vùng có các giá trị K không phụ thuộc được xác định bởi:
- Ka hay -/a K /a
Vùng giá trị K này được gọi là vùng Brillouin thứ nhất của mạng tuyến tính
K max =/a
Chỉ cần xem xét vùng Brillouin thứ nhất: Các giá trị K nằm ở ngoài vùng Brillouin thứ nhất chỉ lặp lại chuyển động của mạng
đã mô tả trong vùng từ -/a đến +/a
a n K '
KtrongB1 ngoàiB1
2n/a là giá trị véctơ mạng nghịch N/x: K trừ đi véctơ mạng đảo tương ứng ta thu được véctơ sóng tương đương ở vùng Brillouin thứ nhất
Slide 5
a iK 2 Ka ( 2 iKa p 1
e e e e u
u
Tỷ lệ dịch chuyển
Như vậy sự dịch chuyển luôn được mô tả bởi giá trị véctơ sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất.
ở biên vùng Brillouin thứ nhất K max =/a và nghiệm mô tả sóng chạy u S =Ue ±SKa e -it có dạng:
uS=UeiSe-it=U(-1)Se-it
Đó là phương trình sóng đứng ( vận tốc nhóm = 0 ) Các nguyên tử cạnh nhau chuyển động ngược pha nhau do cos(s )= 1 phụ thuộc vào số nguyên s chẵn hoặc lẻ Sóng không truyền về bên trái cũng không truyền về bên phải
Tại biên của vùng Brillouin sóng bị phản xạ như phản xạ Bragg :
2dsin=n ; Nếu =/2, d=a, K=2/, n=1 suy ra =2a
Vận tốc nhóm: vận tốc bó sóng
) K ( grad dK
d v
K g
hay vg
Slide 6
2
Ka cos M
Ca v
2 / 1 2
Đối với sóng có bước sóng dài
( >>a ), có thể coi tinh thể là môi trường đàn hồi và liên tục: pKa<<1 cospKa 1-1/2(pKa) 2
Định luật tán sắc có dạng:
2 2
M C 4
Thừa số đứng trong ngoặc chứa đại lượng về
hệ số đàn hồi của tinh thể.
(36)
(35)
cỡ a
Vận tốc nhóm là vận tốc truyền nang lượng trong môi trường
Từ hệ thức tán sắc:
Trang 3Slide 7
Thực nghiệm cho thấy:
CV->0 khi T->0K
Va đập photon với dao động mạng
Lượng tử hoá dao động mạng tương tư
K P
Trong mạng tinh thể các nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân bằng coi như các dao động tử điều hoà
Nghiên cứu tính chất tinh thể gặp khó khăn do phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau Cần thiết có phương pháp gần
đúng: phương pháp chuẩn hạt.
Phương pháp chuẩn hạt: coi trạng thái kích thích của
tinh thể như trạng thái của một khối khí phonon gồm các kích thích sơ cấp không tương tác với nhau Các kích thích sơ cấp chuyển động trong tinh thể như những chuẩn hạt có năng lượng và động lượng xác định.
Trong phép gần đúng điều hoà có thể coi trạng thái
kích thích yếu của tinh thể như là tập hợp các chuẩn hạt – phonon
Slide 9 Lượng tử năng lượng dao động mạng hay năng lượng
sóng đàn hồi gọi là phonon
• Trường hợp photon bị tán xạ không đàn hồi và sinh ra phonon
• Trường hợp photon bị tán xạ không đàn hồi và hấp thụ phonon
động lượng của phonon:
G k K
k'
G K k
K
p
Năng lượng của phonon
• ở trạng thái cân bằng nhiệt số phonon
trung bình có năng lượng
được xác định bởi biểu thức phân bố Planck:
1 e
1 n
T k p
B
Trang 4 Xét photon có tần số =/2
lan truyền trong tinh thể
n
c n
ck
= hay
k
Photon có thể bị tán xạ bởi sóng âm: sóng âm biến điệu tính chất quang của môi trường, và ngược lại điện trường của sóng ánh sáng làm biến điệu tính chất đàn hồi của môi trường
động lượng của photon -Gỉa sử photon tác dụng với chùm phonon hay sóng âm thanh trong tinh thể
Slide 11
K k
k '
Quy tắc chọn đối với véctơ sóng:
Nếu tán xạ photon có sinh phonon
Slide 12
.
'
-Nếu vận tốc âm vgkhông đổi
= vgK=vg2/
/2=vg
-Do vận tốc ánh sáng lớn hơn vận tốc âm rất nhiều
c >>vg ck>>vgK hay >>
do đó ’ và k’ k
- Nếu k’ k ta có K 2ksin(/2) mà k=n/c Suy ra
) 2 / sin(
2
c
n v K
vg g
Điều kiện bảo toàn năng lượng:
Trang 5Slide 13
Điện tử Vi hạt địên tích Photon Sóng điện từ Phonon Sóng đàn hồi Plasmon Sóng của hệ điện tử Magnon Sóng từ hoá
Slide 14 Dao động trong mạng chứa các nguyên tử cùng
loại (Xét nhiều lớp nguyên tử)
Xét sóng đàn hồi của các nguyên tử trong tinh thể có bước sóng
cỡ hằng số mạng
-Sự truyền sóng đàn hồi theo phương mà sóng đàn hồi chỉ là sóng ngang hoặc sóng dọc : như [100], [111], [110].
- Giả sử sự dịch chuyển của các mặt s vuông góc hoặc song song với véctơ sóng K
H.3.2 Sơ đồ dao động dọc (a) và dao động ngang (b) của các nguyên tử.
Slide 15 - Tổng lực tác dụng lên mặt s :
p
s p s p
s C (u u) F
F S là hàm tuyến tính của độ dịch chuyển ở dạng định luật Hooke,
C P là hằng số lực
-Xét lực FStác dụng lên một nguyên tử ở mặt s Gọi u(R 0 ) là thế năng của hệ gồm 1 loại nguyên tử nằm cách nhau khoảng cách cân bằng R 0 Nếu khoảng cách giữa các nguyên tử tăng lên đoạn R thì giá trị mới của thế năng:
n Ro n n 2 Ro 2 2
Ro
R d u
! n 1
) R ( R d u 2 1 R R d du ) R ( u ) R (
Lực do thay đổi khoảng cách giữa 2 nguyên tử đi đoạn R :
1 Ro n n
Ro 2 2
Ro
) R ( R d u )!
1 n ( 1
R R d u R d du ) R ( d du
R d u C
Ro 2 2
(17) (16) (15) (14)
Trang 6
P
S P p 2 2
) u u ( C dt
u M
M là khối lượng nguyên tử
Trường hợp nghiệm của phương trình là hàm sóng ở dạng sóng ngang
a là khoảng cách giữa các mặt, K- véctơ sóng
t Ka ) P ( i
P U e e
t i iSKa 2 2
2
e e U dt
u
2
P ipKa
p(e 1) C M
Phương trỡnh chuyển động cú dạng
Nếu trong cơ sở nguyên thuỷ có 1 loại nguyên tử thì từ tính chất đối xứng tịnh tiến ta có C P =C -P
0
ipKa ipKa p 2
) 2 e e ( C
(21) (20) (19) (18)
e e pKa cos
0 P p 2
) pKa cos 1 ( C M 2
Do
Định luật tán sắc
0 p 2
0 pKa sin paC M 2 dK ) ( d
N/x: giá trị véctơ sóng cuả phonon nằm trên biên giới vùng Brillouin là giá trị
đặc thù giống như đối với véctơ sóng của photon
Xét tương tác của các mặt gần nhất
2 = (2C1/M)(1-cosKa)
2
Ka sin M C
4 1 2
2
2
Ka sin M C
4 1/2
Sự phụ thuộc vào K là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2/a
(28) (26)
(25) (24) (23)
(27)
Slide 18 4 Mạng với 2 loại nguyên tử trong ô nguyên thuỷ
Xét tinh thể lập phương trong đó các nguyên tử khối lượng M1 tạo
ra một mặt mạng tinh thể và khối lượng M2 tạo ra một hệ khác
) v u u ( C dt v d M
) u v v ( C dt u d M
S S 1 2 2
2
S 1 S 2 2
1
Xét sóng truyền theo các phương đối xứng, mỗi một mặt của phương này chỉ chứa 1 loại nguyên tử
Gia thiết là mỗi mặt chỉ tương tác với các mặt bên gần nhất , hệ số lực là như
nhau đối với tất C đối với các cặp mặt gần nhau nhất.
a
a
M1 M2
K
us+1
us+2
vs-1
vs
vs+1 vs+2
Phương trình cơ
bản:
Trang 7Slide 19
Nghiệm của các phương trình này có dạng sóng chạy
CV 2 ) e 1 ( CU V M
CU 2 ) e 1 ( CV U M
iKa 2
2
iKa 1
2
Hệ phương trình tuyến tính đồng nhất đối với U và V có nghiệm
đồng nhất nếu định thức đối với các ẩn U,V bằng 0
0 M C 2 ) e 1 ( C
) e 1 ( C M
C 2
2 2 iKa
iKa 2
1
0 ) cos 1 ( 2 4 ) (
2
2 1 4 2
1M C M M C C Ka
Trường hợp Ka<<1:
cosKa 1-1/2(Ka)2+
0 V ) M C 2 ( U ) e 1 ( C
0 V ) e 1 ( C U ) M C 2 (
2 2 iKa
iKa 1
2
uS=UeiSKae-it
vS=VeiSKae-it
S 2 2 S 2
S 2 2 S
v dt
v d
u dt
u d
Thay vào
hệ f/t được
Slide 20 Phương trỡnh cú dạng
0 ) ( ) ( 2
2 1 4 2
Hai nghiệm:
2 1 2 1 2 1 2
M 1 M 1 C 2 M M ) M M ( C 2
) M M ( 2 a CK
2 1
2 2
nhánh quang
nhánh âm
Trường hợp tại biên vùng Brillouin thứ nhất
K max =/a ; cosKa=-1
0 4 ) (
2 1 4 2
2 2 1 2
M C 2 M C 2
Hai nghiệm:
Slide 21
Trang 8- 2 M 1 U=2CV-2CU
2 M
M V
U
Các nguyên tử trong dao động quang chuyển động ngược chiều nhau Nếu các ion mang điện trái dấu thì chuyển động như vậy là do điện trường của sóng
ánh sáng gây ra, vì vậy nhánh trên được gọi là
nhánh quang .
=>U=V
1 2
M M V U
0=2CV-2CU 0=2CU-2CV
Slide 23
sóng là đại lượng phức, bất
cứ sóng nào có tần số trong vùng cấm đều bị hấp thụ rất mạnh
1
M / C
Không có nghiệm của phương trình đối với sóng lan truyền trong mạng 2 nguyên tử khi tần số nằm giữa và
Ngoài ra còn có nghiệm khi K rất nhỏ, trường hợp này có U=V, tâm khối của hai loại ion chuyển
(3.14b) do đó gọi là nhánh âm
Slide 24
Phonon âm và phonon quang Lượng tử của dao động âm là phonon âm Lượng tử của dao động quang là phonon quang
Nếu mạng có p loại nguyên tử/ ion thì
có 3 nhánh âm và 3p-3 nhánh quang
2 / 1
1
M C 2
2 / 1
2
M C 2
2 / 1
2
C 2 M C 2
Trang 9Slide 25
III.5 Các tính chất quang trong vùng phổ hồng ngoại Xét tác động của sóng điện từ ở phổ hồng ngoại lên tinh thể gồm 2 loại ion với điện tích ±e
ở các giá trị bước sóng dài hay K=0 và tính đến tác dụng của
điện trường lên ion
eE M 1 ) V U ( C M 2 V
eE M 1 ) U V ( C M 2 U
eE ) V U ( C 2 V M
eE ) U V ( C 2 U M
2 2
2
1 1
2 2 2 1 2
2 1
M cho chia M cho chia
2 2 T
/ eE V U
(51)
(52)
(53)
Slide 26
2
1 M 1 1
Trong đó
T2 2C
là khối lượng hiệu dụng của đôi ion, T là tần số ứng với K0 đối với nhánh quang Như vậy khi = T có cộng hưởng
Tác động của điện trường E làm các ion khác dấu dịch chuyển về 2 phía khác nhau làm phân cực tinh thể
Mô men phân cực điện môi P của phân cực do xê dịch trên
E / Ne ) V U ( Ne
T 2
N : số ion dương / ion âm trong 1 đơn vị thể tích
)]
( ) 0 ( )
(
2 2 T
2
( )
(0): Hằng số điện môi tĩnh
(): Hằng số điện môi tần số cao (quang) gây bởi xê dịch các mây điện tử
(54)
(55)
(56)
(57)
Slide 27
Nx: sóng điện từ không lan truyền trong một vùng cấm tần số
2 2 L2 T2 0 T
( )
2 2 2
2 L
Đối với các tần số trong khoảng từ T đến hàm điện môi âm Như vậy có khoảng tần số cấm, trong vùng đó sóng điện từ không đi qua tinh thể, nó bị phản xạ (phản xạ hồng ngoại ).
(58)
(59)