BỘ ĐỀ THI TOÁN - GIẢI TÍCH 2

BỘ ĐỀ THI TOÁN-GIẢI TÍCH 2

Câu 1 Tìm khai triển Taylor của f x y( , ) 2x y

x y





 tại điểm (2,1) đến cấp 3

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z  x2  y2  xy  12 x  3 y

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 



1

n

v

u

với un=

n

n 









 12

2 2 1

n

n











Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 2

1

( 1)

4 (3 1)

n n

x n













Câu 5 Tính tích phân kép

1

D

 



, trong đó D là miền phẳng giới

hạn bởi 2 x  x2 y2 6 , x y  x,

cos

x C

I   e  xy dx  y y  x dy với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tính   (  ) 

C

I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2

1

x y và z  , chiều kim đồng y 1

hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 8 Tính tích phân mặt loại một    2 2

S

I x y dS, trong đó S là phần mặt nón z2 x2y2, nằm giữa hai mặt phẳng z0,z 1

Câu 1 Cho hàm

2

f x y  xe Tính d f2 (2,1)

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y( , )(y2x e2) 1x2y2trên miền D{( , ) | x y x2y2 4}

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/

) 2 (

















n

1

3 ) 2 .(

6 4 2

) 1 2 .(

5 3





n

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

3 1

( 1) ( 3)

2 ln

n n

n

x









Câu 5 Tính tích phân kép

2 2

x y D

I   e  dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1  x2 y2 4, y  0, y  x 3,

C

I   x  y dx  x  y dy, với C là phần đường cong y   x sin x, từ

(0,0)

A đến B ( , )  

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt cầu z R2x2y2 nằm trong hình trụ x2y2 Rx

Câu 8 Tính tích phân mặt loại hai  3  3  3

S

I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi

4,

x y z z x y , phía trong

Câu 1 Cho hàm f x y ( , ) (2 x y ) ln x

y

  Tính d f2 (1,1)

Câu 2 Tìm cực trị của hàm số z = xy +

x

3

+

y

9 với x > 0, y > 0

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

n

n n











Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

1

!( 4)n

n n

n x n









Câu 5 Tính tích phân kép ( 2)

D

I   x  dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi

2 2

1, 0

y

Câu 6 Tính tích phân  2   3 2 

C

I   x  y dx  x  y dy, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi y   2 x y2,   x, chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt z x2y2 nằm trong hình cầu x2y2z2 2z

Câu 8 Tính 2

S

I xdS , với S là phần mặt trụ x2y2 4nằm giữa hai mặt phẳng z1,z 4

Câu 1 Cho hàm f x y ( , )  4 y2 sin (2 x  y ) Tính d f2 (0,0)

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z  x y3  12 x2  8 y

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

n

n n











Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3

1

n n

x







Câu 5 Tính tích phân x2 y2.ln(x2 y2)

D





 dxdy với D là miền 1  x2+y2 e2

Câu 6 Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích

L

dy y x Q y h dx y x P

y

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2)

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt z x 2y2 2nằm trong hình paraboloid zx2y2

Câu 8 Tính  2  2  2

S

I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x2 y2z2 2z , phía trên

Câu 1 Tính

2f

x y



  , với

3

2





u xy e

Câu 2 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , )2x212xyy2; x24y2 25

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

3 3

1

2 2

1

n

n

n n

n









Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

) 1 ln(

) 1 (

) 5 ( 2 ) 1









n n

n n

n

Câu 5 Tính tích phân arctg x y dxdy

D

 2  2 với D là hình tròn: x2+y2  3

Câu 6 Chứng tỏ tích phân x y (1 ) (1 ) 

C

I   e    x y dx    x y dy không phụ thuộc đường đi

Tính tích phân I với C là phần ellipse

1

  từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y 2 x y2, 1,z0,z3x, lấy phần z 0

S

I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng x  y z 4nằm trong hình trụ x2y2 2y, phía trên

Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x2y3 Tính dz(1,1) và (1,1)

2

y x

z







Câu 2 Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2

1

1 4 9 (4 3)!!

n

n n





 







Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n

n n

x

n 1( 1)

4

3 ) 1 (

1













Câu 5 Tính tích phân kép 4 2 2

D

I    x  y dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

2 2 1,

x  y  y  x

C

I   x y   x y dx  y   x xy dy, với C là nửa bên phải của đường tròn x2 y2  4 , y chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tính tích phân đường loại một  2 2

C

I x y dl, với C là nửa trên đường tròn x2y2 2y

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính  (  ) (2  ) 

C

I x y dx x z dy ydz , với C là giao của

4

x y z và x y z   , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 0

Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1)và 2

2

x

z



 ( 2,1)

Câu 2 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , ) 1 4x8 ; y x28y2 8

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2n !

n n

n n







Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   









1 2

n

n

x n

Câu 5 Tính tích phân 



 0

2 2

dxdy

với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2=

1(x, y  0), x2+y2=33 (x, y 0), y=x, y = x 3

Câu 6 Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e xcosy, Q(x,y)= 2xexy- e xsiny trong đó  là hằng số Tìm  để

biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với  vừa tìm được, tính tích phân

đường [(x,y)y3]dx[Q(x,y)x3]dy



trong đó ( ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ)

Câu 7 Tính tích phân mặt loại một   2

S

I x dS , với S là nửa trên mặt x2 y2z2 4

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính  (3  2) (3  2) (3  2)

C

I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của

z x y và z 2 2y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 1 Tìm z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 'x, 'y x3 y2 yz  ln z

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y( , )x2y2x y2 4 trên miền D{( , ) | | | 1,|x y x  y| 1}

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/

) 1 (













n n

n

1

2

5

! ) 1 2 .(

5 3 1

9 4





n

Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

1 3 4 2 1

( 1) ( 2)

n n

x









Câu 5 Tính tích phân kép   

D

y

x2 2

9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x2 + y2 = 9, y0và các đường thẳng y = x, y = -x

Câu 6 Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q x y ( , )  (1   x y e ) y Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(x) vừa tìm, tính tích

L

dy y x Q x h dx y x P

x

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3)

Câu 7 Tính  2

V

I zdxdydz, với V giới hạn bởi x2y2z2 2z và z x2y2 1

Câu 8 Tính tích phân mặt ( 2 )  2   2 

S

I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt

paraboloid 2 2

z x y , bị cắt bởi z 2 2x, phía dưới

Câu 1 Tìm miền xác định và miền giá trị của

2 2

1 , if ( , ) (0, 0) ( , )

3, if ( , ) (0, 0)

x y

f x y

x y







 



Câu 2 Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của   





1

n

n

) 1 4 (

1 4

1



















n n n

n

n

! )

1 3 .(

10 7 4

)

2 .(

6 4 2

n n

n n v

n n





Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 





04 2.4 3 1

) 3 (

n

n x

Câu 5 Tính J= 

D

dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0

Câu 6 Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi

I= h x y x x y dy y x y dx

AB

) (

) (

)









Câu 7 Tính ( )

V

I  xyz dxdydz, với V giới hạn bởi zx2y2 và zx2y2 2

Câu 8 Tính tích phân mặt 2 3   2 4 

S

I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt

paraboloid 2 2 2

2

x y z x , phần z 0, phía dưới

Câu 1 Tính f//xy(0, 0) ( , ) 2 2, if ( , ) (0, 0)

0, if ( , ) (0, 0)







 



xy

x y

f x y x y

x y

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z  x4  y4  x2 y2  2 xy x ,  0.

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2

1

1

n

n

n n









Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

1

( 4)

2

n

n

x

n n











Câu 5 Tính tích phân kép ( | |)

D

I   x  y dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi x2 y2 4, x  0

Câu 6 Tính tích phân

(2,3)

2

(1,1)

1

không qua gốc O và không cắt trục tung

V

x y z

 

  , với V được giới hạn bởi

2 2 2

4

x y z và z x2y 2

S

I  xz dydz yx dxdz zy dxdy, với S là phần mặt paraboloid zx2y2nằm dưới mặt x z 2, phía trên