Tổng hợp đề thi toán cao cấp

Chứng minh rằng A là một không gian con của R4 b.. Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R3 b.. Tìm một cơ sở trực chuẩn của R3 sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có dạ

Câu 1 Cho số phức Z = 1 3

3

i i

a Tìm số chiếu và một cơ sở của Kerf Tìm diu (Imf)

b Xác định ma trận của f đối với hệ cơ sở sau:

{uur1 =(1,1, 0),uuur2 =(1,0,1),uuur3 =(0,1,1)}

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

f(x1x) = x12 + 2x22 + 2x1x2 + 4x2x3 Với x = (x1,x2,x3)∈R3

Câu 1 Cho số phức Z 3

3

i i

a Chứng minh rằng A là một không gian con của R4

b Tìm cơ sở và số chiều của A

Câu 4 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3  →R3 xác định bởi

1 ( , , )1 2 3

x x x x

∀ =ur ∈ R3 thì f(x) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z)

a Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R3

b Tìm một cơ sở trực chuẩn của R3 sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có dạng ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc :

f(x1x) = x12 + 4 x22 + x32 – 4x1x2 + 2x1x3

Câu 1 Cho số phức Z = 3 + 3i Tính căn bậc bốn của Z

Câu 2 Tìm ma trận X thỏa mãn: A.X = B

Câu 1 Tính biểu thức sau: A = ( )

10

2

1 3

4 31

i

i i

a Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của A

b Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao ?

Câu 5 Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.

f(x1x) = 2x12 + x22 – 3x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z10 + 2z5 + 1 = 0

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

2( 1) 1

a Chứng minh rằng A là không gian con của R3

b Tìm cơ sở và số chiều của A

Câu 4 Hãy chéo hóa thực giao của ma trận sau: A =

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z6 – 3z3 – 4 = 0

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

Câu 3 Trong R3, cho hệ A ={u u uur uur r1, ,2 3}, với: uur1=(1,1,0),uuur2 =(0, 0,1),uuur3 =(0,1,1)

a Hệ A có phải là cơ sở của R3 không ? vì sao?

b Tìm tọa độ của véctơ ur= (1,0, 1) − theo hệ số cơ sở đó

Câu 4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  →R3

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z4 + z2 +1 = 0

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

2 2

a Chứng minh hệ tọa độ A là cơ sở của P2(x)

b Tìm tọa độ của f(x) = 3x2 + x + 1 theo hệ A

b Tìm số chiều và cơ sở của Kerf

Câu 5 Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12- 3x22 – 6x1x2 + 2x1x2 – 4x2x3

a Chứng minh rằng A là không gian con của R4

b Tìm cơ sở và số chiều của A

a Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ thuộc hệ A

b Tính số a để véctơ ur=(7, 2, )− a là tổ hợp tuyến tính của hệ A

b Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của f

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12 + x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X→Y

A, B là hai tập con của X

Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A∩B) = f(A)∩f(B).

Câu 2 Giải phương trình :

Hãy chéo hóa trực giao ma trận A

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 5x12 + 6x22 + 4x32 – 4x1x2 – 4x1x3

Câu 1 Cho A, B là hai tập hợp con của tập X

b Phương trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?

Câu 3 Cho P2(x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc ≤2 trên R Xét hệ véctơ:

a Tìm vecto riêng và giá trị riêng A

b Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = x12 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3

Câu 1 Cho A,B là hai tập hợp Chứng minh rằng :

Câu 3 Các tập sau đây có là không gian con của R3 không? Vì sao?

Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó

a Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính trên R3

b f có là song ánh trên R3 không ? tại sao? Xác định không gian Kerf

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 3x12 + 5x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x3x2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN

Câu 1 Tính phần thực và phần ảo của số phức: z= − +( 1 ) (i − 3+i)

Câu 3 Các tập sau đây có là không gian con của R3 không? Vì sao?

Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó

a Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3

b Cho hệ cơ sở A = { uur1=(1,1, 0);uuur2 =(0,1,1);uuur3 =(0,0,1)}

Tìm ma trận của f đối với hệ số A theo hai cách

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12 – 6x22 + x32 + 6x1x2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN

Câu 2 Cho ma trận vuông cấp 4 sau đây:

1111

Câu 3 Trong R3 cho hệ số A = {uur1 = (2, 1, 4), − uuur2 = (4, 2,3),uuur3 = (2,7, 6) − }

a Hệ A có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?

b Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A

Câu 1 Tính định thức

2 2

2

111

Câu 3 Trong R4 cho hệ A = {uur1= − ( 1,1, 2,0), − uuur2 = (1,1, 2, 0);uuur3 = (3,0,0,1)}

Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A

a Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của A

b Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 5x12 + x22 + 3x32 + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3

Câu 1 Cho số phức Z = 1 3

3

i i

c Chứng minh rằng A là không gian con của R3

d Tìm cơ sở và số chiều của A

d Tìm số chiều và cơ sở của Kerf

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12 + x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Cho số phức Z 3

3

i i

Câu 3 Trong R3, cho hệ A ={u u uur uur r1, ,2 3}, với: uur1=(1,1,0),uuur2 =(0, 0,1),uuur3 =(0,1,1)

c Hệ A có phải là cơ sở của R3 không ? vì sao?

d Tìm tọa độ của véctơ ur= (1,0, 1) − theo hệ số cơ sở đó

Câu 1 Cho số phức Z = 3 + 3i Tính căn bậc bốn của Z

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

2( 1) 1

2 2

c Chứng minh hệ tọa độ A là cơ sở của P2(x)

d Tìm tọa độ của f(x) = 3x2 + x + 1 theo hệ A

b Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của f

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = x12 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3

Câu 1 Tính biểu thức sau: A = ( )

10

2

1 3

4 31

i

i i

a Chứng minh rằng A là không gian con của R4

b Tìm cơ sở và số chiều của A

Hãy chéo hóa trực giao ma trận A

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 3x12 + 5x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x3x2

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z10 + 2z5 + 1 = 0

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

c Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ thuộc hệ A

d Tính số a để véctơ ur=(7, 2, )− a là tổ hợp tuyến tính của hệ A

c Tìm vecto riêng và giá trị riêng A

d Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12 – 6x22 + x32 + 6x1x2

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z6 – 3z3 – 4 = 0

Câu 2 Tính f(A) biết f(x) = 3x2 – 2x + 5 và A =

c Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính trên R3

d f có là song ánh trên R3 không ? tại sao? Xác định không gian Kerf

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 2x12 + x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Giải phương trình trên tập số phức: z4 + z2 +1 = 0

Câu 2 Tính định thức :

0 0 0 0

c Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3

d Cho hệ cơ sở A = { uur1=(1,1, 0);uuur2 =(0,1,1);uuur3 =(0,0,1)}

Tìm ma trận của f đối với hệ số A theo hai cách

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 5x12 + x22 + 3x32 + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3

Câu 3 Các tập sau đây có là không gian con của R3 không? Vì sao?

Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó

Câu 1 Cho tập A = (0;+∞) và ánh xạ f: R→A

Thỏa mãn: ∀ ∈x R;f(x) = 3|x| +1

Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Tòan ánh? Song ánh?

Câu 2 Cho phương trình ma trận:

d Phương trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?

Câu 3 Các tập sau đây có là không gian con của R3 không? Vì sao?

Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó

c Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của A

d Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.

f(x1x) = 2x12 + x22 – 3x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X→Y

A, B là hai tập con của X

Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A∩B) = f(A)∩f(B)

Câu 2 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =

Câu 3 Trong R3 cho hệ số A = {uur1 = (2, 1, 4), − uuur2 = (4, 2,3),uuur3 = (2,7, 6) − }

c Hệ A có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?

d Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A

Câu 4 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3  →R3 xác định bởi

1 ( , , )1 2 3

x x x x

∀ =ur ∈ R3 thì f(x) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z)

c Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R3

d Tìm một cơ sở trực chuẩn của R3 sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có dạng ma trận chéo

Câu 5 Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.

f(x1x) = 2x12 + x22 – 3x22 – 4x1x2 – 4x2x3

Câu 1 Cho A, B là hai tập hợp con của tập X

Câu 3 Trong R4 cho hệ A = {uur1= − ( 1,1, 2,0), − uuur2 = (1,1, 2, 0);uuur3 = (3,0,0,1)}

Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A

Câu 4 Hãy chéo hóa thực giao của ma trận sau: A =

Câu 1 Cho A,B là hai tập hợp Chứng minh rằng :

( )

B∪ A B = ∪A B

Câu 2 Cho ma trận vuông cấp 4 sau đây:

1111

c Chứng minh rằng A là một không gian con của R4

d Tìm cơ sở và số chiều của A

c Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của A

d Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao ?

Câu 5 Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.

f(x1x) = x12– 2x22 + x32– 4x1x2 – 2x2x3

Câu 1 Tính phần thực và phần ảo của số phức: z= − +( 1 ) (i 10 − 3+i)15

Câu 2 Cho hệ phương trình:

Câu 3 Với giá trị nào của x thì hệ{u u uur uur uur1, ,2 3} lập thành một cơ sở của R3

Câu 1 Tìm tất cả số phức z thỏa mãn phương trình: z6(1-i) = 1+ 3i

Câu 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

a Chứng minh rằng A là không gian con của R4

b Tìm cơ sở và số chiều của A

Hãy chéo hóa trực giao ma trận A

Câu 5 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x1x) = 3x12 + 5x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x3x2

Câu 1 Tính định thức

2 2

2

111