UBND huyÖn VÜnh B¶o H¶i phßng ®Ò kiÓm tra häc sinh giái n¨m häc 2010 2011 M«n To¸n 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm) a, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x4 + 2011x2 +2010x+ 2011 b, Cho ®a thøc[.]
Trang 1đề kiểm tra học sinh giỏi
năm học 2010- 2011
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(2 điểm)
a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 2011x2 +2010x+ 2011
b, Cho đa thức f(x)= ax3+ bx2+ cx+ d Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lợt cho các nhị thức (x-1); (x-2); (x-3) đều có số
d là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị -18
Câu 2 (2 điểm).
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
Bài 3 (2 điểm).
a, Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chớnh phương
b, Chứng minh rằng với mọi n N thì n5 và n luôn có chũ số tận cùng giống nhau
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác cân ABC đỉnh A, O là trung điểm của đờng cao
AH Đờng thẳng BO gặp AC ở E, đờng thẳng CO gặp AB ở F Biết diện tích tứ giác AEOF là S
a, Tính diện tích của tam giác ABC theo S
b, Đờng thẳng song song với BC kẻ qua O cắt AB ở M và cắt AC ở
N Tính diện tích của hình ENMF
Bài 5(1,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M, hai đờng
thẳng DM và CB cắt nhau tại K, CM cắt AK tại N Chứng minh rằng BN DK
Trang 2BiÓu ®iÓm kiÓm tra häc sinh giái
n¨m häc 2010- 2011
M«n: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi1
(2
®iÓ
m)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a, x4 + 2011x2 +2010x+ 2011
= x4 +x2+ 1+2010x2 +2010x+ 2010
=[(x2+1)2-x2] + 2010(x2 +x+ 1)
=(x2+ x+1) ( x2-x+2011)
1
Ta cã f(x) -6 chia hÕt cho x-1; x-2; x-3
V× ®a thøc bËc 3 nªn cã d¹ng f(x)-6= m(x-1)(x-2)(x-3)
m lµ h»ng sè
L¹i cã f(-1) =-18=> -18-6=m(-2)(-3)(-4)<=> m=1
VËy f(x)-6= (x-2)(x-3)(x-4)=> f(x)= x3-6x2+11x
1
§Æt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2
=> min A = 2 => y = 1 => x = 2
VËy min A = 2 khi x = 2
(1/2
®iÓ m)
(1/2
b, A=
*
*
VËy A= 3
Trang 3Bài 3 Gọi là số phải tỡm a, b, c, d N,
Với k, m N, 31<k<m<100
Ta cú:
Do đú: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 hoặc m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k=56
k=4
(loại)
Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 ( vỡ n(n – 1)
là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)
- Chứng minh: n5 – n 5
n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau
Bài 4
Bài 5
(1,5
điể
m)
a, Kẻ HD//BO Ta thấy OE,HD là đờng trung bình của các tam giác AHD, CBE Suy ra AE=ED=DC
Từ đó suy ra AE/AC=1/3 nên SAOE=1/3 SAOC=1/3 SCOH
Do đó SAOE=1/6 SAHC=> SABC=6S
b, EN=1/2 AE=> SOEN=1/2SOAE;
SOEK=1/3 SOEA => SONEK=(
SMNEF =2SONEK= (SOEA+SOEA)= S
Trên tia đối tia AB lấy điểm E sao cho AE= BK CE cắt
KA kéo dài tại H, Nối CH, DE, EK
Ta có BCE= CDK=> CE DK (1)
ABCD là hình vuông => CK EB (2)
Ta có ADE= BAK=> DE AK (3)
=> M là trực tâm tam giác CEK=> CM EK
Trang 4Tõ 1 vµ 3 => H lµ trùc t©m ADE => DH EK
Tõ 2 vµ 4 => CM//DH=> NK/HK=MK/DK
AB//CD=> MK/DK=BK/CK
=> NK/HK=BK/CK=> CE//BN kÕt hîp víi 1 cã BN DK