Giáo án, bài giảng toán kinh tế. bản word

Giáo án toán kinh tế được soạn chi tiết, định dạng .doc, bạn đọc có thể tải về và chỉnh sửa dễ dàng. bao gồm các bài giảng theo chương trình toán kinh tế của các trường kinh tế. giáo án ngắn gọn đầy đủ.

Tuần 1: CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ

I Mục tiêu bài dạy

* Về kiến thức: Giúp sinh viên hiểu được các khái niệm cơ bản về đại số

tuyến tính như: không gian véc tơ; không gian véc tơ con; tổ hợp tuyến tính; hệvéc tơ độc lập (phụ thuôc) tuyến tính; hệ sinh; cơ sở, số chiều của không gianvéc tơ; hạng của họ véc tơ và một số tính chất cơ bản

* Về kỹ năng: Giúp sinh viên có khả năng chứng minh một tập hợp tạo

thành một không gian véc tơ; kỹ năng tìm cơ sở, số chiều và tìm hạng của khônggian véc tơ, tìm tọa độ của véc tơ với cơ sở cho trước

* Về tư duy, thái độ: Cẩn thận trong tư duy và tính toán, giúp sinh viên

biết được toán học có ý nghĩa trong thực tiễn

II Phương tiện dạy học

Máy chiếu; bảng viết; giáo trình bài giảng

III Nội dung chi tiết

1.1 Khái niệm về không gian véc tơ

1.1.1 Định nghĩa 1 Nếu V là một tập hợp khác rỗng, V được gọi là Không gian

vec tơ nếu trên V ta định nghĩa hai phép toán: cộng hai vec tơ và phép nhân vec

tơ với một số như sau:

Tổng hai vec tơ v và u, ký hiệu v + u Tích của vec tơ v với một số λ, ký hiệu là: λv

Hai phép toán đó thỏa mãn các tiên đề sau:

5,  u  V,  -u u  V sao cho u + (-u u) = θ; (vec tơ -u u được gọi là vec tơ

đối của vec tơ u).

6, Nếu u  V, λ  R thì λu u  V.

7, λu (u +v) = λu u + λu v,  u, v  V; λu  R.

8, (λu + μ)u = λu u + μu, λu , μ  R, u  V.

10, 1.u = u.1 = u,  u  V

Như vậy để chứng minh một tập hợp là một không gian vec tơ ta phảichứng minh tập hợp đó khác rỗng và hai phép toán cộng hai vec tơ và phép nhânvéctơ với một số phải thỏa mãn 10 tính chất trên

1.1.2 Các ví dụ

a Ví dụ 1 Chứng minh rằng tập hợp R là tập hợp các bộ số thực có thứ tự

(x1, x2, …, xn) với hai phép toán được xác định nếu x = (x1, x2, …, xn),

y = (y1, y2, …, yn)  R và λ  R thì:

x + y = (x1 + x2, …., xn + yn)

λu x = (λu x1,λu x2, …, λu xn)

Là không gian véctơ

Chứng minh: Kiểm tra 8 tiên đề còn lại của định nghĩa với θ = (0, 0,

…,0) và véctơ đối của véc tơ x là -u x = (-x 1, -u x2,…, -u xn)

b Ví dụ 2 Trong R với hai phép toán cộng và nhân được xác định như sau

 x = (x 1, x2), y = (y1, y2)  R và λ  R thì:

x + y = (x1 + y2, x2 + y1)

λx = (λx1, λx2)

R có phải là không gian véctơ?

1.2 Không gian con

1.2.1 Định nghĩa 2 Giả sử V là không gian véc tơ với hai phép toán: Cộng hai véc

tơ và nhân véc tơ với một số thực W là một tập hợp con của V Nếu với hai phép toán trên W cũng là một không gian véc tơ thì W gọi là không gian con của V.

Như vậy theo định nghĩa muốn kiểm tra W V là không gian con của V,

ta chứng minh hai phép toán đã định nghĩa trong V cũng thỏa mãn 10 tiên đề của không gian véc tơ đối với W Ta có định lý sau giúp cho việc kiểm tra dễ dàng

thì W là không gian con của V

Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau:

Như vậy: Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian véc tơ thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa các tiên đề của không gian vectơ; hoặc chứng minh rằng tập hợp

đó là không gian vecto con của một không gian vecto khác.

Ví dụ: R3 là một không gian véc tơ, xét W = {(x 1, x2, x3) R 3

Khi đó W là một không gian con của R3

(việc chứng minh xem như bài tập về nhà)

Chú ý: Hai tập V, {θ} là hai không gian con tầm thường của V.

1.3.2 Định nghĩa 5 Giả sử S = {x1, x2, …, xn} là một họ véc tơ của không gian

véc tơ V Tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của họ S gọi là bao tuyến tính của họ S Ký hiệu là Span(S).

1.3.3 Định lý 2 Nếu S là một họ véc tơ của không gian véc tơ V thì

W = span(S) là một không gian con của V.

1.3.4 Định nghĩa 6 Nếu span(S) = W, tức là mọi véc tơ x V đều có thể biểu

diễn được dưới dạng: c 1x1 + c2x2 + … + cnxn ta nói rằng họ S sinh ra V hay S là một hệ sinh của V.

Ví dụ 5 Trong không gian véc tơ R2 xét hai véc tơ i = (1, 0); j = (0 1) Mọi véc

tơ trong R2 đều có dạng: x(x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1) = x1i + x2j

nên họ S = {i, j} là một hệ sinh của R2

1.4 Họ véc tơ độc lập tuyến tính Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ 1.4.1 Họ véc tơ độc lập tuyến tính

Định nghĩa 7 Ta nói hệ véc tơ S = {x1, x2, …, xn } của không gian véc tơ V là

độc lập tuyến tính, nếu

c1x1 + c2x2 + … + cnxn = θ  c1 = c2 = … = cn = 0 (1.1.1)

trong đó c 1, c2, …, cn là các số thực.

Nếu tồn tại số ci 0 (i = 1, 2, …, n) sao cho c 1x1 + c2x2 + … + cnxn = θ, ta

nói hệ S phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ: Trong R4

cho hệ vectơ  1  (1,0,1,1);  2  (0,1, 2,3);  3  (1, 2,3, 4) Hệ trên

độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

1.4.2 Cơ sở Số chiều của không gian véc tơ

Định lý 3 Cho V là không gian véc tơ sinh bởi n véc tơ Nếu S là một họ n véc

tơ độc lập tuyến tính trong V thì m  n.

Định nghĩa 8 Họ các véc tơ S = {e1, e2, … , en} được gọi là cơ sở của không

gian véc tơ V nếu thỏa mãn các điều kiện

(i) Họ S độc lập tuyến tính

(ii) Họ S là hệ sinh của V.

Định lý 4 Nếu {e1, e2, … , en} và {f1, f2, …, fn} là hai cơ sở của V thì n = m.

Định nghĩa 9 Nếu {e1, e2, … , en} là cơ sở của không gian véc tơ V, ta nói V là

không gian véc tơ n chiều, n gọi là số chiều của V và ký hiệu là dim(V) = n Quy ước: dim(θ) = 0.

Nhận xét: Trong không gian n chiều, mọi hệ véc tơ S gồm n véc tơ độc lập

tuyến tính đều là một cơ sở

Ví dụ: Trong không gian Rn, họ véc tơ {e1, e2, … , en} trong đó

ei = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)

Định lý 5 Nếu S = {e1, e2, … , en} là một cơ sở của không gian véc tơ n chiều V

thì mọi véc tơ x  V đều có thể diễn một cách duy nhất dưới dạng

x = c1e1 + c2e2 + … + cnen

trong đó c1, c2, …, cn  R Và khi đó bộ số (c1, c2, …, cn) được gọi là tọa độ của

véc tơ x đối với cơ sở S.

1.5 Hạng của một họ véc tơ

1.5.1 Định nghĩa 10 S = {x1, x2, … , xn} là một họ véc tơ trong không gian véc

tơ V Số lớn nhất các véc tơ độc lập tuyến tính lấy ra từ họ S gọi là hạng của họ véc tơ S, ký hiệu là r(S).

1.5.2 Định lý 6 Hạng của họ S bằng số chiều của không gian con sinh bởi họ S.

r(S) = dim(span(S)).

1.5.3 Tính hạng của một họ véc tơ bằng các phép biến đổi sơ cấp

Phương pháp này được tính giống tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơcấp trên ma trận Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: tính hạng của họ véc tơ S = {x1, x2, x3, x4, x5) R 3 với

Nhận xét: Hạng của họ véc tơ S bằng hạng của ma trận thành lập bởi các hàng

của ma trận là các véc tơ của họ S.

1.6 Tọa độ của véc tơ Chuyển cơ sở

Cho không gian véc tơ V, dimV = n, n N* Giả sử S = {e1, e2, …, en} là một cơ

n

i i i

(vì {e1, e2, …, en} độc lập tuyến tính).

Do vậy ta gọi bộ số (x1, x2, …, xn) là tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở S.

Ký hiệu: ( )n1

s i i

x  x  hoặc

1 2

s

n

x x x x

là ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở S’

(cột thứ j là tọa độ của e’j đối với cơ sở S) Và ma trận chuyển từ cơ sở S’ sang

cơ sở S là A-1

Ví dụ 11 Trong không gian véc tơ R2, cho S = {e1(1, 0); e2(0, 1)} và

S’ = {e’1(2, 4); e’2(3, -1)} là hai cơ sở Khi đó ta có 1 1 2

' 2 4 ' 3

1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

a Nội dung bài toán: Một cơ sở sản xuất có thể sản xuất được hai loại sản xuất

A và B, từ các nguyên liệu I, II, III Chi phí từng loại nguyên liệu và tiền lãi củamột đơn vị sản phẩm, cũng như dự trữ nguyên liệu được cho bảng sau đây:

b Mô hình toán học của bài toán:

Gọi x1, x2 tương ứng là số sản phẩm A, B được sản xuất Khi đó:

- Tổng số lãi là: 3x1 + 5x2

Nguyên liệu Sản phẩm

- Tổng số nguyên liệu II cần sử dụng là: x2

- Tổng số nguyên liệu III cần sử dụng là: x1

Theo bài ra ta có mô hình toán học sau đây:

Tìm X(x1, x2) sao cho: max{f(X) = 3x1 + 5x2}

Với điều kiện:

j

x x x

2 Bài toán phân công lao động

a Nội dung bài toán: Một phân xưởng có 4 dây chuyền sản xuất khác nhau có

thể sản xuất 3 loại sản phẩm Lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất ra được khi sửdụng một dây chuyền sản xuất trong một giờ và chi phí sản xuất ở dây chuyền

đó sau một giờ hoạt động cùng với nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm được chobởi bảng sau:

Sản phẩm (SP) Dây chuyền sản xuất Nhu cầu tối thiểu

b Mô hình toán học của bài toán:

Gọi xj là thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j  j 1,4 khi đó:

với điều kiện:

3 Bài toán vận tải

a Nội dung bài toán: Một đơn vị vận tải cần vận chuyển xi măng từ 3 kho K1,K2, K3 tới 4 công trường xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lượng xi măng có ởmỗi kho, ngjn xi măng cần ở mỗi công trường và giá cước vận chuyển (nghìnđồng) 1 tấn xi măng từ mỗi kho tới mỗi công trường như sau:

đủ lượng xi măng cần và tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất?

b Mô hình toán học của bài toán:

Gọi x ij là lượng xi măng cần vận chuyển từ kho i (i = 1, 2, 3) tới công trường j (j = 1, 2, 3, 4) Khi đó:

Kho K1 phát hết lượng xi măng có: x11 + x12 + x13 + x14 = 170

Kho K2 phát hết lượng xi măng có: x21 + x22 + x23 + x24 = 200

Kho K3 phát hết lượng xi măng có: x31 + x32 + x33 + x34 = 180

Công trường T1 nhận đủ số xi măng cần: x11 + x21 + x31 = 130 (1.1.1)Công trường T2 nhận đủ số xi măng cần: x12 + x22 + x32 = 160

Công trường T3 nhận đủ số xi măng cần: x13 + x23 + x33 = 120

Công trường T4 nhận đủ số xi măng cần: x14 + x24 + x34 = 140

Lượng hàng vận chuyển không âm: x ij 0, i 1,3, j 1, 4

Tổng chi phí vận chuyển: f(X) = 20x11 + 18x12 + 22x13 + 25x14 + 15x21 + 25x22 + 30x23 + 15x24 + 30x31 + 40x32 + x33 + 35x34

Vậy mô hình toán học của bài toán là: Tìm X = [x ij]3x4 sao cho f(X) minvới X thỏa mãn điều kiện (1.1.1)

Tổng quát: Gọi m là số kho chứa hàng (điểm phát), n là nơi tiêu thụ hàng

(điểm thu)

ai là lượng hàng có (cung) ở điểm phát thứ i ( i 1,m)

bj là lượng hàng cần (cầu) ở điểm phát thứ j ( j 1,n)

cij là chi vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j

xij là lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j

Mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng

ij 1

ij

, 1, , 1,

n

i j

m

j i

§2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa 1 Từ các bài toán thực tế đã nêu cùng rất nhiều bài toán khác, ta có

thể thấy bài toán QHTT tổng quát có dạng sau:

Tìm véc tơ X(x1, x2, …, xn) sao cho hàm số

f(X) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  min (hoặc max) (1.2.1)

với các điều kiện:

ij j 1

ij j 1

ij j 1

, 1, (1.2.2) , 1, (1.2.3) , 1, (1.2.4)

0, 1, ; 0,

n

i j

n

i j

n

i j

c x



 được gọi là hàm mục tiêu

* Các bất phương trình (1.2.2) – (1.2.5) được gọi là hệ ràng buộc của bài toán Các ràng buộc (1.2.2) – (1.2.4) được gọi là các ràng buộc chính (hay ràng

buộc cưỡng bức) Các ràng buộc (1.2.5) được gọi là ràng buộc về dấu (hay ràng buộc tự nhiên) của bài toán.

Định nghĩa 2 Véc tơ X(x1, x2, …, xn) thỏa mãn hệ ràng buộc (1.2.2) – (1.2.5)

được gọi là phương án của bài toán.

- Bài toán (1.2.2) – (1.2.5) có vô số phương án, tức là tập  có vô sốphần tử.

- Bài toán (1.2.2) – (1.2.5) chỉ có một phương án, tức là tập  chỉ có mộtphần tử

- Bài toán (1.2.2) – (1.2.5) không có phương án nào, tức là tập  

Định nghĩa 3 Phương án X*(x1*, x2*, …, xn*) của bài toán (1.2.2) – (1.2.5) được

gọi là phương án tối ưu (PATƯ) của bài toán nếu:

f(X*)  f(X),    X (đối với bài toán f(X)  min)

f(X*)  f(X),    X (đối với bài toán f(X)  max)

Chú ý: tập PATƯ của bài toán QHTT hoặc một điểm, hoặc vô số điểm

hoặc không có điểm nào

Định nghĩa 4 Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là

giải được (hay bài toán có lời giải) và phương án tối ưu của bài toán còn gọi là lời giải của bài toán.

Nếu bài toán QHTT không có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là

không giải được (hay không có lời giải).

Định nghĩa 5 Nếu phương án X(x1, x2, …, xn) của một bài toán QHTT làm thỏamãn ij j

1

n

i j

Nếu phương án X(x1, x2, …, xn) có xj = 0 thì phương án X được gọi là thỏa

mãn chặt ràng buộc về dấu tương ứng (nếu có ràng buộc loại xj  0 hoặc xj 

n n

x x X

1

m m

b b B





Nếu ký hiệu:

1 2

j j j

mj

a a A a

là véc tơ cột thứ j ( j 1,n) của ma trận A Khi đó bài

toán QHTT dạng chính tắc (1.2.6)-(1.2.8) viết được dưới dạng véc tơ như sau:

f(X) =

1

n

j j j

f(X) = CX  min

với điều kiện:

0

AX B X

Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc (1.2.9)-(1.2.11) viết được dưới dạng véc

tơ sau đây:

f(X) =

1

n

j j j

3 Chuyển đổi dạng bài toán QHTT

Bằng cách thực hiện các phép biến đổi nêu dưới đây, ta có thể chuyển bàitoán QHTT bất kỳ về dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc

a Nếu ràng buộc có dạng

1

n

ij j i j





c Nếu có ẩn xj nào đó không có ràng buộc về dấu thì ta thay xj bởi hai

biến phụ không âm xj+  0 và xj-  0 sao cho xj = xj+ - xj-

d Mỗi ràng buộc đẳng thức

1

n

ij j i j

Nhận xét: i) Khi đưa biến phụ xn+1 vào thì hệ số của nó trong hàm mục

Ta cũng có kết luận: bài toán ban đầu có PA khi và chỉ khi bài toán dạngchính tắc tương ứng có PA

Như vậy, ta chỉ cần tìm cách giải bài toán QHTT dạng chính tắc

Ví dụ 2: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc:

§3 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Nhận xét

Trong mặt phẳng R2 với hệ trục tọa độ vuông góc xOy ta có:

* Phương trình ax + by = c, biểu diễn một đường thẳng vuông góc với véc tơpháp tuyến n a b( , )

* Các điểm (x, y) thỏa mãn ax by c  , nằm trên nửa mặt phẳng giới hạn bởiđường thẳng ax + by = c

* Phương trình ax + by = f, khi f thay đổi sẽ cho ta họ đường song song với véc

tơ chỉ phương v b a( , )  Giá trị f càng lớn khi dịch chuyển các đường của họ theophương n a b( , )

§4 TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT

Không mất tính tổng quát ta giả thiết:

* m < n (vì trong trường hợp m m n thì tập phương án có nhiều nhất một điểm,

do vậy việc xét phương án tối ưu là bình thường)

Ký hiệu:

 là tập các phương án của bài toán (1.4.1)-(1.4.3)

Với bài toán đã cho, để tiện cho việc chứng minh sau này chúng ta nhớ rằng:Phương án X* là phương án tối ưu khi và chỉ khi f(X*)

Ta có AZ = (AX) + (1 - )(AY) = B  Z thỏa mãn điều kiện (1.4.2)

Mặt khác, vì  0,1 , X  0,Y  0nên Z  0 Z thỏa mãn điều kiện (1.4.3) Vậy

Z  hay  là tập lồi

Định nghĩa 1:

* Điểm cực biên của tập lồi các phương án gọi là phương án cực biên (PACB)

* Phương án X(xj) được gọi là bị chặn nếu tồn tại số thực L sao cho

I, Số n trong định nghĩa là số biến số của bài toán

II, nếu phương án X làm thỏa mãn ít hơn n ràng buộc chặt (hoặc nếu có làm thỏamãn không ít hơn n ràng buộc chặt nhưng không có hệ n ràng buộc nào độc lậptuyến tính) thì phương án X không phải là phương án cực biên (hay gọi làphương án không cực biên)

Định nghĩa 2 Nếu một phương án của bài toán QHTT vừa là PACB vừa làPATƯ thì phương án đó gọi là phương án cực biên tối ưu

Ví dụ 1: Cho bài toàn QHTT

Suy ra hệ 4 ràng buộc chặt là hệ ràng buộc chặt phụ thuộc tuyến tính, do

đó phương án X0 không phải là phương án cực biên

4 0 0 0

x x x

Định lý 3 Nếu tập phương án của bài toán QHTT khác rỗng và bị chặn thì nó là

đa diện lồi

Định lý 4: Nếu tập phương án của bài toán QHTT là đa diện lồi thì tồn tại PACBtối ưu

Chứng minh: (xem giáo trình trang 34)

Ví dụ: Cho bài toán f x( ) 2  x1  x2 x3  min

Hãy chứng tỏ bài toán có PATƯ?

Giải: Dễ thấy X(0, 0, 0) là một phương án của bài toán   

Mặt khác từ 3 ràng buộc bất phương trình cộng vế theo vế, ta có

2x  2x x  12

Suy ra 0 x x x1 , , 2 3  12   bị chặn

Vậy theo định lý 2, 3 §4, bài toán có PATƯ

Định lý 5 Nếu bài toán QHTT có PATƯ thì có ít nhất một PACB tối ưu

Chứng minh: Ta có thể chứng minh định lý 4 nhờ kết quả của định lý 3 §4chương 1

Thật vậy, gải sử bài toán có PATƯ X0

Nếu X0 là PACB thì định lý được khẳng định

Ngược lại, X0 không phải là PACB ta xét bài toán phụ

1

min ( ) (1.4.4)

n j j

0 1

0

, 1, (1.4.5)

0, 1, (1.4.6) ( ) (1.4.7) (

n j j

j n

j j j

Ta cần chứng tỏ X* cũng là PACB tối ưu trên 

Thật vậy, do X* là PATƯ của bài toán phụ nên từ các điều kiện (1.4.5),(1.4.6) và (1.4.7) dễ thấy X* cũng là PATƯ của bài toán (1.4.1)-(1.4.3) Ta cầnchỉ ra rằng X* cũng là PACB

Giả sử ngược lại, X* không phải là PACB của , nghĩa là tồn tại

là PATƯ nên f X( 0 ) f X( 2 ) Vậy f X( 0 ) f X( 2 )

Thay f(X0) bởi f(X2) trong (1.4.9) ta được f(X0) = f(X1) = f(X2)

Tức là X1, X2 thỏa mãn điều kiện (1.4.7)

X  X    X   Điều này mâuthuẫn với X* là PACB của  ' Vậy chỉ có thể X* là PACB tối ưu của bài toán(1.4.1)-(1.4.3)

Nhận xét: Từ định lý 3 và 4 cho phép chúng ta tìm phương án tối ưu của bàitoán quy hoạch tuyến tính trên tập các PACB Sau này chúng ta thấy thêm rằng

số PACB là hữu hạn

CHƯƠNG 2 : BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

Chúng ta sẽ lần lượt xây dựng bài toán đối ngẫu của các bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng đặc biệt ( dạng chính tắc , dạng chuẩn tắc ) và cuối cùng là của Qui hoạch tuyến tính tổng quát

I BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU KHÔNG

ĐỐI XỨNG

II BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU ĐỐI

III BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU TỔNG

Dựa vào qui tắc ( 1-15 ) ta thấy rằng bài toán đối ngẫu của bài toán dạngchuẩn tắc cũng là bài toán dạng chuẩn tắc Vì vậy cặp bài toán dạng chuẩn tắc

và bài toán đối ngẫu của nó được gọi là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng

BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU TOP

Mối liên hệ giữa bài toán Qui hoạch tuyến tính gốc và bài toán đốingẫu của nó được thể hiện trong các Ðịnh lí đối ngẫu sau đây

Ðịnh lí 1 Cho bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát ( D , f ) và giả sử

bài toáïn Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó là (E , g ) Khi

đó, bài toán đối ngẫu của bài toán ( E , g ) là bài toán ( D , f )

Như vậy , nếu thành lập bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì đượcbài toán gốc ban đầu Ðịnh lí 1 được chứng minh đễ dàng dựa vào qui tắc thànhlập bài toán đối ngẫu và các mũi tên hai chiều trong ( 1-15 )

Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc (Ðịnh

lí 1 Chương I ) , mặt khác , Ðịnh lí 1 Chương II cho thấy nếu thành lập bài toánđối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu , vì vậy , chỉ cầnchứng minh cho trường hợp bài toán gốc dạng chính tắc

Phần chứng minh chi tiết xem [ 1 ] hoặc [ 3 ]

Có thể viết phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu dựa vào bảng đơn hìnhgiải bài toán gốc dạng chính tắc theo qui tắc thực hành sau đây