Chuong 5 TOÁN KỸ THUẬT

Slide 1 Phần 2 Toán tử Laplace  Phép biến đổi Lapalace  Phép biến đổi Lapalace ngược  Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân  Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Toán Kỹ Thuật 2014 1[.]

Phần 2 Toán tử Laplace

 Phép biến đổi Lapalace

 Phép biến đổi Lapalace ngược

 Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện

Chương 5 Ứng dụng biến đổi Laplace vào PTVP Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số hằng

 y(0)

 y’(0)

 y”(0)

 ……

 y (n-1) (0)

a y t + a − y − t + + a y t + a y t = f t

 Giải trực tiếp → khơng d ễ !!

 Nghiệm (riêng, tổng quát)

Điều kiện đầu

(sơ kiện)

( )

y t = ytựdo + ycưỡng bức

( )

y t = yquáđộ + yxáclập

( )

y t = yzero_input + yzero_state

Dùng bi ến đổi Laplace

 Qui trình

Phương trình vi phân biến t

Biến đổi Lapalce thuận

Phương trình đại số biến s

Biến đổi Lapalce ngược

Nghiệm

y(t)

Nghiệm

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

"

y + = y t

 Qui ước ký hiệu

 Miền t : x, y, z… thay cho x(t), y(t), z(t)…

y = s Y − sy − − y − = s Y − − s

L

Tìm y(t) Cho biết y(0)=1 ; y’(0)=2

s

2

2

1 ( s 1) Y s 2

s

s Y

+

1

s Y

+

+ → y t ( ) = + t cos t + sin t

Cho

Gi ải

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

t

y y f t

t

∈





1 4

s e

s Y Y

s

−

−

 Cho biết y(0)=0 ; y’(0)=1

 Tìm nghiệm riêng y(t)

f t = u t − u t −

2

1

4

s

e Y

−

⇒ =  +   + 

2

s

e Y

−

(2 2cos 2 ) ( ) (2 2cos 2( 1)) ( 1) sin 2

Gi ải

Biến đổi Laplace cho 2 vế

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

4

" 5 ' 6 '

( ) t ( )

f t e u t−

=

s

4

s

s

+

+

y t e− e− e− u t

Gi ải

2

( 5 6)( 4) ( 2)( 3)( 4)

Y

1 3/ 2 3 3 / 2

Y

 Cho biết y(0 - )=2 ; y’(0 - )=1

 Tìm y(t)

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

4

" 5 ' 6 '

( ) t ( )

f t e u t−

=

s

4

s

s

+

+

Gi ải

 Cho biết y(0 - )=2 ; y’(0 - )=1

 Tìm y zero_input ; y zero_state

 Nghiệm zero_state là nghiệm gây ra do tác động f(t)

 Nghiệm zero_input là nghiệm do sơ kiện

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

4

s

s

+

+

Y

Y

Ví d ụ : Giải phương trình vi phân

4

" 5 ' 6 '

( ) t ( )

f t e u t−

=

s

s Y As B sY A Y

2

( − 2t − 3t − 4t )

Gi ải

2

3

k

As Cs D Y

+ +

 Tìm nghiệm tổng quát y(t)

 Đặt y(0 - )=A ; y’(0 - )=B

Gi ải hệ phương trình vi phân

 Điều kiện đầu

' '

= +



 = +



 Hệ phương trình vi phân cấp 1

0 0

(0) (0)

=





0

0

sX x AX BY

sY y CX DY





( )

X s

Y s



→ 



 Biến đổi Laplace ngược

{ } { }

1

1

−

−





=



L L

Ví d ụ

 Biến đổi Laplace



 = −



(0) 8

=





x y

Biết:

Gi ải

 Giải trong miền s

 Biến đổi ngược

8 2 3

− = −



 − = −



X

Y

 = +

 + −



 = −



4

( ) 5 t 3 t

x t e− e



