TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 12 1

Chapter 12:Ánh xạ bảo giác Conformal Mapping...  Giải pt Laplace dùng ánh xạ bảo giác :Find a conformal map Solve Laplace’s Equation D’ Map the solution back D... Giải Bài t

Chapter 12:

Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping)

Chương 12: Nội dung

12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi.

12.2 Ánh xạ bảo giác.

12.3 Phép Biến đổi song tuyến tính.

12.4 Biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị.

12.5 Một số ánh xạ bảo giác thường dùng khác.

12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi :

 Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một điểm hay miền D trên mp z và một điểm hay miền D’ (gọi là ảnh) trên mp w.

2 Tìm ảnh của một điểm hay một tập hợp:

 Ảnh của điểm z 1 là w 1 = f(z 1 ) chỉ cần thế vào hàm phức.

 Ảnh của một miền hay tập (đường thẳng, đường tròn, …) liên quan đến tìm hàm ngược Qui trình:

mô tả miền D’ trên mp w.

Ta thế: z theo w / hay z theo u, v / hay x,y theo u, v

VD 12.1.1: Ảnh của một điểm

Tìm ảnh của các điểm A (z = – 2 + j) và B (z = 3 + j4) trên mặt phẳng w dưới phép biến đổi w = j2z + 3 và minh họa bằng hình vẽ.

 VD 12.1.2: Ảnh của đường thẳng

Tìm ảnh của đường thẳng y = – x + 1 trên mặt

phẳng z qua phép biến đổi w = (1 + j)z + 3.

y

x

1 1 0

 Lưu ý: Tìm ảnh của miền giữa các biên

i Đoạn A’B’ có thể được xác định khi ta tìm thấy ảnh K’ (của điểm K trong đoạn AB) nằm trong đoạn A’B’.

ii Ảnh của miền D được xác định khi ta dùng điểm thử và xác định vị trí ảnh của nó : nằm bên trong hay bên ngoài D’.

 VD 12.1.3: Ảnh của đĩa hở (miền)

Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z + 1 + j| < 1} qua phép biến đổi

 Ảnh của miền D là

đĩa hở tâm (-1,3), bán

kính là 5.

|w – (– 1 + j3)| < 5

 VD 12.1.4: Ảnh của đĩa hở (miền)

Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z – 1| < 1} qua phép biến đổi nghịch đảo w = 1/z ?

 Hàm ngược: z = 1/w.  Thế vào bất pt mô tả miền D:

D

D’

v x

y

 NX: Ảnh của một miền D thay đổi theo phép biến đổi.

3 Một số phép biến đổi đơn giản: (xem slides)

i Phép dời: w = z + a

Tịnh tiến miền đã cho theo hướng của a.

ii Phép xoay: w = e j.z = (cos + jsin)z

Xoay miền đã cho theo CCW nếu  > 0 và CW nếu  < 0

iii Phép giãn: w = z

Giãn miền đã cho.

iv Phép nghịch đảo: w = 1/z

12.2 Ánh xạ bảo giác (Conformal mapping):

 Giả sử cần tìm (x,y) là nghiệm ptrình

Laplace trong miền D.

1 Ý tưởng dùng ánh xạ bảo giác trong kỹ thuật:

(u, v) ở D’ đơn giản hơn, sau đó suy ngược lại hàm (x,y).

 Nếu phép biến đổi w = f(z) là bảo giác thì hàm (u, v) ở D’ cũng là nghiệm của ptrình Laplace: 2 2

 Giải pt Laplace dùng ánh xạ bảo giác :

Find a conformal map

Solve Laplace’s Equation

D’

Map the solution back

D

 Nhận xét về PP ánh xạ bảo giác:

i So với lời giải từ PP tách biến (cùng trên bài toán 2D) thường ở dạng chuổi, thì đáp số của PP ánh xạ bảo giác có tính “trực quan” hơn.

ii Giá trị  = const trên biên của miền D cũng là giá trị  = const trên biên ảnh của miền D’.

2 Định nghĩa và điều kiện của ánh xạ bảo giác:

 Ánh xạ bảo toàn độ lớn và hướng của góc giữa 2 đường cong

C 1 và C 2 qua phép biến đổi gọi là ánh xạ bảo giác (conformal mapping).

 Nếu f(z) giải tích và f’(z) ≠ 0 trong miền D thì w = f(z) = conformal mapping.

x y

3 Một số phép biến đổi bảo giác đơn giản:

w = u + jv = (a x + ja y )(x + jy) + (b x + jb y )

u = a x x – a y y + b x

v = a x y + a y x + b y

 Là bảo giác với mọi z nếu A ≠ 0.

a) Phép biến đổi tuyến tính w = Az + B:

 Với A = a x + ja y và B = b x + jb y ta có:

 Hệ số tỉ lệ: m = |dw/dz| = |A| = sqrt(a x 2 + a y 2 )

 Góc quay: α = arg(dw/dz) = tan –1 (a y /a x )

 Công dụng: Biến

các dải ở mp z thành

vuông góc các trục

tọa độ ở mp w.

w = (1+j)z y

x

j2

2 j

v

u 2

1

b) Phép biến đổi bình phương w = z2:

 Do w = z 2 = (x + jy) 2 = x 2 – y 2 + j2xy.

u = x 2 – y 2

v = 2xy.

 Là bảo giác với mọi z khác 0.

1 Biến miền giữa các đường

 Trường hợp đặc biệt:

c) Phép biến đổi nghịch đảo w = 1/z :

 Công dụng: dùng để biến miền giữa hai đường tròn qua O ở mp z thành miền giữa hai đường thẳng u = const ở mp w

 Là bảo giác với mọi z khác 0.

x y

b

u v

1/a

d) Phép biến đổi w = ez:

 Do w = e z = e (x+jy) = e x e jy

R = e x

 = y.

 Biến đường x = a ở miền z thành

đường tròn tâm O, R = e a ở miền w.

 Biến đường thẳng y = b ở miền z

thành tia qua tâm O  = b ở miền w.

 Biến hình c.nhật ở mp z thành miền

giữa 2 đường tròn và 2 tia ở mp w.

 Biến nửa trái mp z thành bên trong

đường tròn đơn vị ở miền w.



 Là bảo giác với mọi z.

 Trường hợp đặc biệt:

 Biến dải độ rộng a và đường dây tích điện ℓ tại y = b (b < a) thành đường dây tích điện ℓ tại z 0 = e jb/a ở nửa mặt phẳng trên.

z a

4 Giải Bài toán Electrostatic 2D:

 Khi môi trường đặt dưới hiệu thế U, tìm thế điện  (Electric Potential) trong môi trường là bài toán quan trọng nhất.

 Bài toán đặt ra: Trong miền khảo sát 2D, cần tìm thế điện là hàm 2 biến (x, y) : thỏa phương trình Laplace và biết giá trị  =

A trên biên của miền D (còn gọi là bài toán biên Dirichlet).

 Qui trình giải bài toán Electrostatic 2D:

Giả sử tìm nghiệm (x, y) của ptrình Laplace:

biết giá trị tại biên miền D của nó.

Step1: Tìm ánh xạ bảo giác w = f(z) biến miền D thành D’.

Step2: Chuyển điều kiện biên  = A ở miền D thành  = A ở miền D’.

Step3: Giải tìm nghiệm phương trình Laplace  = f(u, v) ở miền D’.

Step4: Suy ra nghiệm ở miền D: (x, y) = [u(x, y), v(x, y)].

Lưu ý: Điện dung C của hệ không đổi qua ánh xạ bảo giác.

 VD 12.2.1: Bài toán Electrostatic 1D

Tìm thế điện (x, y) giữa 2 bản cực tụ điện

phẳng, đặt đưới hiệu thế U = 1 – 2 biết thế

 VD 12.2.2: Bài toán Electrostatic 2D

Tìm thế điện (x, y) giữa 2 bản cực tụ điện

trụ, đặt đưới hiệu thế U = 1 – 2 biết thế

1 D’

ln(b)

2

 Đường tròn bán kính a thành u = ln(a).

 Đường tròn bán kính b thành u = ln(b).

2 2

 

 

 VD 12.2.2: Bài toán Electrostatic 2D (ttheo)

Tìm thế điện (x, y) giữa 2 bản cực tụ điện

trụ, đặt đưới hiệu thế U = 1 – 2 biết thế

VD12.2.3: Thế điện giữa 2 bản cực phẳng

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 bản cực phẳng như hình H1 qua ánh xạ w = (1 + j)z ?

Giải

 Ánh xạ là bảo giác với mọi z.

 Ảnh của D là D’ như hình H2

y

x

j2

2 j

 Chuyển về mp z: dựa vào ánh xạ

Vậy ở mpz, ta có phân bố thế điện:

 = 50(x + y) – 50 (V)

w   (1 j)z  (x  y)  j(x  y)

VD12.2.4: Thế điện hệ trụ lệch trục

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa |z – 1| > 1 và |z – 2| < 2 như H1 ?

 Hai đường tròn đi qua 1 điểm, ta dùng phép biến đổi w = 1/z và có H2 & ĐKB.

VD12.2.4: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_2_2 - Ve ho duong cong

VD12.2.5: Dùng ánh xạ bảo giác

Tìm  trong miền D

giữa bản cực phẳng thế

10V và bản cực trụ thế

 Ở miền D’, ta thấy  = (u) Giải  = 0 ta có:  = 40u + 10

 Trả lại miền D với : u = x/(x 2 + y 2 ) qua ánh xạ w = 1/z, ta có:

 = 40x/(x 2 + y 2 ) + 10

 Dùng biến đổi bảo giác w = f(z) = 1/z biến miền D thành D’.

VD12.2.6: Thế điện giữa 2 bản cực hyperbol

 Chuyển về mp z: dựa vào ánh xạ

Vậy ở mpz, ta có phân bố thế điện:

 = 50xy – 50 (V)

w  z  (x  y )  j2xy

VD12.2.6: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_2_1 - Ve ho duong cong

12.3 Phép biến đổi song tuyến tính (Mőbius):

 Miền của phép biến đổi này: mọi giá trị z thỏa z ≠ -d/c

 Do yêu cầu đạo hàm W’(z) = [ad – bc]/(cz+d) 2 ≠ 0  (ad – bc) ≠

0 : ánh xạ là bảo giác

1 Định nghĩa:

 Phép biến đổi ngược của biến đổi này : dw b

cw a

z   

 Phép biến đổi song tuyến tính biến đường tròn và đường thẳng

thành đường tròn và đường thẳng.

VD12.3.1: Phép biến đổi song tuyến tính

VD12.3.2: Phép biến đổi song tuyến tính

 VD12.3.3: Phép biến đổi song tuyến tính

Tìm ảnh của đường tròn |z| = 1 dưới phép biến đổi song tuyến tính w = (z + 2)/(z – 1) ? Suy ra ảnh của miền |z| < 1 ?

1 -1

-j j

2

u  

 VD12.3.4: Phép biến đổi song tuyến tính

Tìm ảnh của đường tròn |z| = 2 dưới phép biến đổi song tuyến tính w = (z + 2)/(z – 1) ? Suy ra ảnh của miền |z| < 2 ?

 Tìm ảnh miền trong, dùng điểm thử: w(z=0) = - 2: miền ngoài.

-j2 j2

VD12.3.5: Phép biến đổi song tuyến tính

Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến các điểm: – 2, – 1 – j, 0 thành các điểm : – 1, 0, 1 ?

(1 j)z 2 (1 j)w 2

w   

 VD12.3.6: Phép biến đổi song tuyến tính

Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi các điểm: 1, j, – 1 (trên đường tròn |z| = 1) thành các điểm: – 1, 0, 1 ? Tìm ảnh của đĩa |z| < 1 qua phép biến đổi này ?

3 Ứng dụng trong bài toán ảnh điện:

 Dùng tỉ chéo thiết lập biến đổi song tuyến tính đưa hệ dây dẫn bên trong mặt trụ không đối xứng về đối xứng.

z

1 a – 1

w

1 0 – 1

a) Dây dẫn bên trong mặt trụ nối đất:

1 -1

C

y

x a

ℓ

1 -1

 Ta có phép biến đổi song tuyến tính:

 Nếu mặt trụ dẫn có bán kính R, ta thêm phép biến đổi phía trước là: w 1 = z/R

b) Dây dẫn bên ngoài mặt trụ nối đất:

 Dùng tỉ chéo thiết lập biến đổi song tuyến tính đưa hệ dây dẫn bên ngoài mặt trụ không đối xứng về đối xứng.

z

1 a – 1

w

1 0 – 1

1 -1

C

y

x a

ℓ

1 -1

 Ta có phép biến đổi song tuyến tính:

 Nếu mặt trụ dẫn có bán kính R, ta thêm phép biến đổi phía trước là: w 1 = z/R

 VD12.3.7: Ứng dụng bđổi song tuyến tính

Đường dây tích điện mật độ dài ℓ = 20 C/m đặt tại x = 1 bên trong mặt trụ bán kính 2 nối đất, cho  = 0 (a) Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi các điểm: 2, 1, – 2 (trên đường tròn

|z| = 2) thành các điểm: 1, 0, – 1 (trên đường tròn |z| = 1) ? (b) Tìm ảnh của đĩa |z| < 2 qua phép biến đổi này ? (c) Tìm thế điện bên trong mặt trụ ?

C

y

x 1

ℓ

1 -1

 VD12.3.7: (tiếp theo)

c) Tìm thế điện:

2 -2

C

y

x 1

ℓ

1 -1

4 Ứng dụng trong bài toán điều kiện biên:

 Bài toán: Dùng tỉ chéo thiết lập biến đổi song tuyến tính đưa miền ngoài đường tròn |z – R| = R về Re(w) > 0 ?

2R -2R

y

x R

R + jR 2R

w 0 – j

 VD12.3.8: Ứng dụng bđổi song tuyến tính

a) Dùng công thức ở 12.3.4 với R = 1, có ánh xạ:

b) Giải ptrình Laplace ở miền mới:  = 2u

a) Tìm phép biến đổi đưa hệ về đối xứng

(vẽ miền mới) ?

b) Tìm thế điện  với ĐKB trong hình D ?

 VD12.3.8: Minh họa dùng MATLAB

Code MATLAB và đồ thị:

%Vidu 12_3_8 - Ve ho duong cong

a) Tìm phép biến đổi đưa hệ về đối xứng

(vẽ miền mới) ?

b) Tìm thế điện  với ĐKB trong hình D ?

Vài ánh xạ song tuyến tính thường dùng khác

a) Phép biến đổi z a

x y

w 1 = z/r)

 Mặt trụ 2 là mặt phẳng tại x2: cho x1 = 

w 1 = z/r)

u v

x y

b) Phép biến đổi hai đường tròn lệch trục:

w 1 = z/r)

(Không dùng khi x 2 = – 1 hay x 1 = 1)

VD12.3.5.1: Thế điện giữa 2 dây dẫn khác bk

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 mặt trụ như H1 ?

R = 5 - 2*sqrt(6);

z a

az 1

w  

Từ đó có ánh xạ:

cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB

Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có:

v

Ta có phân bố thế trong miền D của H1:

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 mặt trụ như H1 ?

v

VD12.3.5.1: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_3_5_1 - Ve ho duong cong

VD12.3.5.2: Thế điện trong cáp lệch trục

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa |z| <

1 và |z – 2/5| > 2/5 như H1 ?

 Xem công thức phần 12.3.5 (Các phép biến đổi song tuyến tính thường dùng) ta tính được a = 2 và R = 2.

Từ đó có ánh xạ:

cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB

VD12.3.5.2: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_3_5_2 - Ve ho duong cong

VD12.3.5.3: Thế điện giữa dây dẫn và đất

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa dây dẫn 220V và đất như H1 ?

 Xem công thức phần 12.3.5 với x 2 = 9 và x 1 =  ta tính được a và R :

a = (9+sqrt(80); R = 9 - sqrt(80);

z a

az 1

w  

Từ đó có ánh xạ:

cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB

Giải bài toán đối xứng ở H2, ta có:

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa dây dẫn 220V và đất như H1 ?

VD12.3.5.3: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_3_5_3 - Phan bo the ddan - mdat

Biến nửa mặt phẳng trên và đĩa đơn vị

w 0 = 0

2 Xác định phép biến đổi tổng quát:

Từ phép biến đổi:

Để biến trục thực thành đường tròn thì ta có : a x b / a

c x d / c

1  

Phương trình này thỏa khi x = , tức là |a/c| = 1 và (b/a) với (d/c) là 2 số phức liên hợp.

Phép biến đổi song tuyến tính tổng quát khi đó có dạng:

(Ở đây  =  tương ứng nửa mp trên và z 0 là 1 điểm bất kỳ thuộc về nửa mp trên tương ứng ảnh của nó là tâm của đường tròn đơn vị)

3 Phép Biến Đổi thuận M(z) :

 Phép biến đổi: biến nửa mp trên thành đường tròn đơn vị.

 Giả sử chọn z 0 = j ta có phép biến đổi:

 Đoạn x < 0 (từ –∞ đến 0): tương ứng nửa dưới |w| = 1 (từ – 1 đến 1).

w 0 = 0 1

–1

 VD12.4.1: Biến NMPT  ĐĐVị

Đường dây tích điện mật độ dài ℓ = 20 C/m đặt tại y = 5 bên trên mặt đất, cho  = 0 (a) Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi NMPT thành ĐĐV với đường dây tại tâm đĩa ? (b) Tìm thế điện ở nửa mp trên ?

a) Theo 12.4.3, có z 0 = j5, do đó:

ảnh biên y = 0 là đường tròn đvị |w| = 1.

Ta chứng minh được :

Code MATLAB và đồ thị:

%Vidu 12_4_1 - Ve ho duong cong

4 Phép Biến Đổi ngược N(z) :

 





jw jz

w 1

 Phép biến đổi: biến đường tròn đơn vị thành nửa mp trên.

 Dùng hàm ngược của phần trước:

 Nửa dưới |w| = 1 (từ – 1 đến 1) ảnh là đoạn x < 0 (từ –∞ đến 0).

y

z 0 = 0

1 –1

 Nửa trên của |w| < 1 ảnh là nửa phần tư thứ nhất.

VD12.4.2: Biến Nửa ĐĐV  Góc Phần Tư I

Tìm phân bố thế điện trong miền nửa đường tròn như H1 ?

 Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến đổi song tuyến tính biến nửa đường tròn đơn vị thành góc phần tư thứ nhất), ta có phép biến đổi: z 1

VD12.4.2: MATLAB vẽ phân bố thế

Code chương trình vẽ phân bố thế:

%Vidu 12_4_2 - Ve ho duong cong

VD12.4.3: Biến ĐĐV  Nửa MP trên

Tìm phân bố thế điện trong miền đường tròn đơn vị như H1 ?

 Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến đổi song tuyến tính biến đường tròn đơn vị thành nửa mặt phẳng trên), ta có phép biến đổi:

 = 1V

H1

u v

0  = 0

 = 1V

H2

VD12.4.3: Biến ĐĐV  Nửa MP trên (tt)

Tìm phân bố thế điện trong miền đường tròn đơn vị như H1 ?

x

y  = 0

1 –1

 = 1V

H1

u v

5 Giải ptrình Laplace ở nửa mp trên:

 Giải bài toán ĐKB:   0;      x , y 0 

 VD 12.4.4: Giải  = 0 ở nửa mp trên

 Giải ptrình Laplace và ĐKB:

 Áp dụng công thức nghiệm ptrình Laplace ở nửa mp trên: