TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 5 1

Chapter 5:Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân PTVP.

Chapter 5:

Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân (PTVP)

Chương 5: Nội dung

5.1 Giải PTVP hệ số hằng.

5.2 Giải hệ PTVP với điều kiện đầu.

5.3 Ứng dụng vào cơ học.

(n 1)

n 1

(0) (0)

 Qui trình chung:

Phương Trình Vi Phân

với điều kiện đầu

Nghiệm của bài toán

y (t)  s Y s  s  .y(0) y    (0) L

Recall:

 Xét mạch điện như hình:

 Áp dụng công thức tính áp trên

R và cuộn dây:

 Nếu biết giá trị i L (0) và dùng biến đổi Laplace ta có thể giải PTVP trên

 Nhắc lại:

VD 5.1.a1: Solve ODE by MATLAB

Solve y ' 3  y  13sin(2 ) t with y (0)  6

(Ans: 8e–3t – 2cos(2t) + 3sin(2t) )

 By hand :

 Using Symbolic in MATLAB :

% VD5.1: Giai ptrinh vi phan bac 1

% y' + 3y - 13sin(2t) = 0 with y(0) = 6;

syms t s Y ;

% Laplace Transform 2 ve

Equa = (s*Y - 6) + 3*Y - 13*2/(s^2+2^2);

% Goi function giai ptrinh

Sol = solve(Equa,Y);

yt = ilaplace(Sol);

simple(yt);

8*exp(-3*t)-2*cos(2*t)+3*sin(2*t)

VD 5.1.a2: Solve ODE by Laplace Trans.

2

3 πs (s 1)

Y    s  e  

s s

Step2: Solving in s-domain.

y(t)  { e t  cos(t  225 )} (o  ) 5  t

Step3: Using transformation pairs.

Using the Laplace Transform to solve: y’ + y

= f(t) with initial conditions y(0) = 5 and f(t) 3cos(t) (t π)0 (0 t π) 

b) Giải PTVP cấp II:

+_

i(t) e(t)

10 V và u’ C (0) = 0 ?

2

c 2

VD 5.1.b1: Solve ODE by Laplace Trans.

Using the Laplace Transform to solve the differential equation : y’’ + y = t with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = - 2 ?

1 2

y(t)   {Y( )} s   t cos t  3sin t

Step3: Using the transformation pairs.

VD 5.1.b2: Solve ODE by Laplace Trans.

Using the Laplace Transform to solve: y’’ – 3y’ + 2y = e – 4t u(t) with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = 5 ?

6 9 ( 4)( 3 2)

Y( )  s  s 

s s ss

VD 5.1.b3: Solve ODE by Laplace Trans.

Using the Laplace Transform to solve: y’’ – 6y’ + 9y = t 2 e 3t with initial conditions : y(0) = 2, y’(0) = 17 ?

2 2

VD 5.1.b4: Solve ODE by Laplace Trans.

Using the Laplace Transform to solve: y’’ + y = 4(t – 2π) with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = 0 ?

4 

s Y s Y e 

Step2: Solving in s-domain.

Y( )  s    s

VD 5.1.b5: Solve ODE by MATLAB

s 2

VD 5.1.b6: Solve ODE by Laplace Trans.

Step1: Laplace Transform s2Y  sy (0)  y '(0) Y 1/s   2

Step2: Solving in s-space and partial fraction expansion gives:

VD 5.1.b7: Solve ODE by MATLAB

 Using Symbolic in MATLAB :

% VD5.2: Giai ptvp bac 2: x'' -x' - 2x - exp(-t)*sin(2t) = 0 & x(0) = 0, x'(0) = 2; syms t s X ;

VD 5.1.b7: Solve ODE by MATLAB

 Using Symbolic in MATLAB : using dsolve()

%x'' -x' - 2x - exp(-t)*sin(2t) = 0 & x(0) = 0, x'(0) = 2

syms t x ;

Equa = 'D2x - Dx - 2*x - exp(-t)*sin(2*t) = 0';

% Goi function giai ptrinh

Sol = dsolve(Equa,'x(0)=0','Dx(0)=2'); pretty(Sol);

28 exp(2 t) 5 exp(-t) exp(-t) (2 cos(2 t) + 3 sin(2 t)) cos(2 t) exp(-t) - - - - - + -

5.2: Giải hệ PTVP với điều kiện đầu:

 Cho mạch điện như hình,

 Qui trình chung giải hệ PTVP:

Hệ PT Vi Phân với điều kiện đầu

Nghiệm của bài toán

y (t)  s Y s  s  .y(0) y    (0) L

Recall:

 Giải hệ PTVP dùng biến đổi Laplace:

C

60

V 4

(0) 0 with

Vd 5.2.6: Solve ODEs by MATLAB

 Using Symbolic in MATLAB : solve()

% VD5.3: Giai he ptvp

% x'' + y' + 3x - 15*exp(-t) = 0 / y'' - 4x' + 3y - 15*sin(2t) = 0

% with x(0) = 35, x'(0) = - 48; / y(0) = 27, y'(0) = - 55;

syms t s X Y ;

% Laplace 2 ve, ta co he

Equa1 = (s^2*X - 35*s + 48) + (s*Y - 27) + 3*X - 15/(s+1);

Equa2 = (s^2*Y - 27*s + 55) - 4*(s*X - 35) + 3*Y - 15*2/(s^2+4);

% Goi function giai he ptrinh

Sol = solve(Equa1,Equa2,X,Y);

xt = ilaplace(Sol.X); yt = ilaplace(Sol.Y);

xt = 3*exp(-t)-15*sin(3*t) +2*cos(2*t)+30*cos(t)

yt = -3*exp(-t)+30*cos(3*t) +sin(2*t)-60*sin(t)

 By hand :

VD 5.2.7: DSolve of MATLAB

 Using Symbolic in MATLAB : dsolve()

% VD5.3: Giai he ptvp

% x'' + y' + 3x - 15*exp(-t) = 0 / y'' - 4x' + 3y - 15*sin(2t) = 0

% with x(0) = 35, x'(0) = - 48; / y(0) = 27, y'(0) = - 55;

Find x and y with boundary conditions:

5.3 Ứng dụng vào cơ học:

a) Bài toán vật lý:

P là chất điểm có khối lượng m, hoành độ x(t), vận tốc v(t) và chịu tác động của 3 lực (H5.1) :

H5.1

 f 1 = –kx (k > 0) là lực hướng tâm.

 f 2 = –v (  0) là lực ma sát (lực làm tắt dần).

 f 3 = f 3 (t) là ngoại lực , chỉ phụ thuộc thời gian.

Vào lúc t = 0, P có hoành độ đầu x o và vận tốc đầu v o

b) Mô hình toán:

c) Đáp ứng tự nhiên:

(5.24a) (5.24a)

 Bảng 5.2: