TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 3 1

Phần II:Toán Tử Laplace... Nội dung phần II:Phần này gồm có 4 chương.. Chương 3: Phép Biến đổi Laplace thuận.. Chương 4: Phép Biến đổi Laplace ngược.. Chương 5: Ứng dụng b

Phần II:

Toán Tử Laplace

Nội dung phần II:

Phần này gồm có 4 chương

Chương 3: Phép Biến đổi Laplace thuận

Chương 4: Phép Biến đổi Laplace ngược.

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào ODE.

Chương 6: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải tích mạch.

Chapter 3:

Biến đổi Laplace (Laplace Transform)

Chương 3: Nội dung

3.1 Định nghĩa biến đổi Laplace.

3.2 Tính chất của biến đổi Laplace.

3.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản.

3.4 Bảng tra gốc – ảnh Laplace.

3.5 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace

3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace.

3.1 Định nghĩa biến đổi Laplace

a) Định nghĩa biến đổi Laplace thuận:

 Biến đổi Laplace của hàm f(t), ký hiệu F(s), còn gọi là ảnh Laplace của f(t), xác định theo:

st 0

F(s)  L {f(t)}    f (t).e dt  Với s là một số phức , có dạng : s =  + j  .

 Tích phân cận ∞ nên biến đổi Laplace là tích phân đặc biệt Nếu dùng tích phân trên tính F(s) thì ta theo nguyên tắc:

b) Nhận xét biến đổi Laplace:

i Laplace Transform = mapping.

VD 3.1.1: Tìm biến đổi Laplace

Unit Step Function u(t) or 1(t) :

(Miền hội tụ Re(s) > 0)

1 {u(t)} 

s

L

EX3.1.2: Tìm biến đổi Laplace

{ (t t )}    e 

L

3.2 Các tính chất của biến đổi Laplace

1) Multiplication by a constant:

{f(t)}  F(s) L

If:

{k.f(t)}  k.F(s) L

Then:

Find the Laplace Transform

{3}  {3.u(t)} 

Lưu ý:

Find the Laplace Trans

1 2t

s 2

{e  } 

1 j2t

s j2

{e  }  

 L

1 j2t

s j2

{e }  

 L

1 2t

s 2

{e }  

 L

{f(t)}  F(s) L

5) Differentiation :

 

df (t)

sF s f (0) dt

If:

If:

9) Division by t :

s

f (t)

F(x)dx t

If:

10) Initial Value Theorem :

f (0 )  lim s     2



11) Final Value Theorem :

If:

Attention: all poles of F(s) must be located in the left half

of the s-plane, except s = 0

Ví dụ: Cho ảnh Laplace

2

2

2s 30s 136 s(s 9s 34)

s 0

f ( ) lim s     4



3.3 Ảnh Laplace của một số hàm cơ bản

2) Translated unit step u(t – t 0 ) :

£{u(t-t 0 )} = 1 st 0

e s



0 0

3) Impulse or Delta Function  (t) :

4) Translated Delta Function  (t – t 0 ) :

0 0

{ (t   t )}  e  L

0

st

{f(t) (t   t )}  f (t )e  L

5) Decaying Exponential Function e –at :

6) Sinusoidal Function :

s {cos( t}

s

 

  L

3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace

0

st

1 e s



0

u(t  t )

3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace (tiếp theo)

3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace (tiếp theo)

3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace (tiếp theo)

3.5: Các PP cơ bản tìm biến đổi Laplace:

1) PP dùng định nghĩa: ít khi dùng trong kỹ thuật do ta chi phối tín hiệu truyền đi.

4) PP biểu diễn theo hàm bước đơn vị:

Use step functions to write an expression for the function:

f(t)

0 2

The expression for f(t) is :

f(t) = 2t[u(t) – u(t – 1)] + (– 2t + 4)[u(t – 1) – u(t – 3)]

+ ( 2t – 8 )[u(t – 3) – u(t – 4)]

 EX1: Mô tả hàm dùng MATLAB

% Description: This m-file demonstrates how to plot the

 EX2: Mô tả hàm dùng MATLAB

% Description: This m-file demonstrates how to plot the

5) Biến đổi Laplace tín hiệu tuần hoàn:

3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace:

3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace:

EX3: Find F(s) if f(t) = 4t 2 + e –2t cos(3t) ?

VD 3.6.1: Tìm ảnh Laplace các hàm:

0

1 ( ) st

VD 3.6.2: Tìm ảnh Laplace các hàm:

( 2) 9

s s





 

2 2

( 1)

e s





2

1 4 F(s)

s s

 

VD 3.6.2: Tìm ảnh Laplace các hàm:

e)

f)

VD 3.6.3: Tìm ảnh Laplace các hàm  (t):

3a.

VD 3.6.4: Ảnh Laplace của các hàm xung

VD 3.6.4: Ảnh Laplace của các hàm xung

VD 3.6.4: Ảnh Laplace của các hàm xung

10 F(s) e s e s

VD 3.6.4: Ảnh Laplace của các hàm xung

g)

h)

VD 3.6.4: Ảnh Laplace của các hàm xung

i)

j)

k)

VD 3.6.5: Ảnh Laplace của hàm tuần hoàn

2 5

1 1 F(s)

3 1 F(s)