TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 8 1

Chapter 8:Tích phân phức... Tính biến đổi Laplace và Fourier ngược bằng lý thuyết tích phân đường phức... b Xác định phương trình thông số zt: function PathRepzi, zf, f

Chapter 8:

Tích phân phức

Chương 8: Nội dung

8.1 Tích phân phức.

8.2 Khi đường C cho bởi phương trình tham số.

8.3 Định lý Cauchy và các hệ quả.

8.4 Công thức tích phân Cauchy

8.5 Công thức tích phân Poisson.

8.1 Tích phân phức (Complex line integral)

Nếu a  b, C là Đường kín , ta có Tích phân

chu tuyến (chiều dương là CCW) ký hiệu :  Cf(z)dz

b) Lưu ý:

 Định lý: (Về chặn trên của tích phân đường phức)

 Nếu f(z) = u(x, y) + iv(x y) thì ta có tích phân phức là hai tích phân đường thực:

° f(z) LT trên C; ; L là chiều dài của C thì: f (z)  M, z  C

c) Các tính chất cơ bản của TP đường phức:

VD 8.1.1: TP phức  TP đường loại 2

Tính b 2

a z dz



Ta viết:

z 2 dz = (x + jy) 2 (dx + jdy) = (x 2 – y 2 + j2xy)(dx + jdy)

= [(x 2 – y 2 )dx – (2xy)dy] + j[(2xy)dx + (x 2 – y 2 )dy]

Áp dụng tính chất: b 2 c 2 b 2 1 2

VD 8.1.1: TP phức  TP đường loại 2 (ttheo)

I   ( 10y)dx   j (25   y )dy    40 j

d) Các PP tính tích phân đường phức:

e) Ứng dụng của tích phân đường phức:

i Tính giá trị hay đạo hàm cấp n của một hàm phức tại một điểm trong miền D (công thức tích phân Cauchy).

ii Tính một số tích phân thực đặc biệt sẽ được đưa về tính tích phân đường phức.

iii Tính biến đổi Laplace và Fourier ngược bằng lý thuyết tích phân đường phức.

8.2 Tính TP phức khi có ptrình thông số của C:

a) Phương trình thông số của đường cong C:

 Đường cong (C) trên mp phức là xác định khi ta biết phương trình thông số của nó ở dạng: z(t) = x(t) + jy(t), với a  t  b

 Biết hàm thông số z(t), ta cũng có hướng của đường cong (C), tức là từ z(a) đến z(b).

 Cách tính toán này có thể dùng khi hàm phức dưới dấu tích phân là hàm giải tích hay không giải tích.

b) Xác định phương trình thông số z(t):

 function PathRep(zi, zf, f) cung cấp trên trang web của MATLAB dùng rất tốt cho mục đích này.

 Nếu thành lập bằng tay, ta dựa vào nếu đường cong C là:

i Đường tròn, tâm z 0 và bán

kính r , chiều CCW:

jt 0

c) Tính tích phân phức khi biết z(t):

Step 3: Thế z(t) vào hàm f(z) để có f(z(t))

Step 2: Tính đạo hàm z’(t) = x’(t) + jy’(t)

Step 4: Tính tích phân f[z(t)]z’(t) theo biến t từ a đến b

Step 1: Biểu diễn đường (C) dạng: z(t) = x(t) + jy(t), a  t  b

VD 8.2.1: TP phức  Path representation

Tính b 2

a z dz



Thay vì dùng TP đường loại 2, ta

tính theo PP biểu diễn thông số z(t).

VD 8.2.1: TP phức  Path representation (tt)

 VD 8.2.2: Viết phương trình thông số

 VD 8.2.2: Viết phương trình thông số (ttheo)

 VD 8.2.2: Viết phương trình thông số (ttheo)

c) Phương trình C 3 :

Tính z’(t):

Thế vào hàm f(z(t)):

Dùng công thức ta có :

 VD 8.2.3: C cho bởi phương trình thông số

1

2 0

 VD 8.2.4: C cho bởi phương trình thông số

Evaluate  if C: |z| 1, CCW 

1 jt z

f (z)   e 

jt

Let z  e ; 0    t 2

 VD 8.2.5: C cho bởi phương trình thông số

y

x

0 1 2 j

 VD 8.2.5: (tiếp theo)

y

x

0 1 2 j

I   (1 j3) j2 ( j4 2)    ( j6 8) / 3    28.67  j6

 VD 8.2.6: Dùng PathRep của MATLAB

( Ans : 0.5  j0 5 )

1+j 0

Find  Re(z)dz From 0 to (1 + j)

% The second Evaluation Method

% Script File: ex8_2.m

substitution

8.3 Định lý Cauchy và các hệ quả

 Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D (H8.4) C là đường cong kín trơn từng đoạn nằm hoàn toàn trong D.

1 Định lý Cauchy:

 VD 8.3.1: Áp dụng định lý Cauchy

Tính tích phân  C (z 2)(z 3) 1  dz với C = đường tròn đơn vị

theo hướng dương.

 Ta thấy hàm hữu tỉ f(z) = 1/(z – 2)(z – 3) giải tích mọi nơi trừ z

2 Nguyên lý độc lập đường tích phân:

 Nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân đường phức độc lập với đường lấy tích phân trong D.

 Tức là giữa 2 điểm A và B trong D, tích

phân đường phức cho giá trị như nhau trên

B

(H8.6)

 VD 8.3.2: Độc lập đường lấy tích phân

 Hàm f(z) = 2z giải tích trong miền khảo sát,

3 Nguyên lý biến dạng chu tuyến:

 Nếu C 1 có thể biến dạng liên tục thành C 2 mà không vượt qua bất kỳ điểm bất thường nào của f(z) (H8.7) thì:



 C1 f(z)dz  C2 f(z)dz

 Tính chất này có ích khi ta thay thế

tích phân trên đường C 1 phức tạp thành

tích phân trên đường C 2 đơn giản hơn.

 Ta cũng có thể thấy rằng f(z) giải tích trên C 1 , C 2 và trong miền giữa C 1 và C 2

(C 2 )

(C 1 )

(H8.7)

 VD 8.3.3: Biến dạng chu tuyến

 Biến dạng chu tuyến:

 Biểu diễn C 1 : z(t) = i + e it với 0 ≤ t ≤ 2π.

2 1 it(zdz ) 0 (e )ie 2

4 Định lý Cauchy cho miền đa liên:

 Cho f(z) giải tích trong miền

đa liên D (H8.8), C 0 bao lấy các

đường cong kín C 1 , C 2 , …, C n ,

5 Nguyên hàm của hàm giải tích:

 Nếu f(z) giải tích trong miền đơn

liên D (H8.9) và F(z) là một nguyên

hàm của f(z) ( tức là F’(z) = f(z) )

 Nguyên hàm của một số hàm thông dụng:

e dz   e C

z n

VD 8.3.4: Công thức Newton-Leibnits

 VD 8.3.5: Tính tích phân phức

 Using MATLAB: Symbolic Toolbox

% The first Evaluation Method

% Script File: ex8_1.m

8.4 Công thức tích phân Cauchy

 Định lý Cauchy xoay quanh tính tích phân phức trong miền giải tích.

 Với công thức tích phân Cauchy, chúng ta tiếp cận các phép tính tích phân phức có chứa các điểm bất thường bên trong đường lấy tích phân.

a) Công thức tích phân Cauchy thứ nhất:

 Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên

D, C = đường cong kín trơn từng đoạn

trong D và có chiều dương (H8.10), giá

trị hàm f(z) tại điểm z = a nằm bên trong

C xác định theo công thức tích phân

Cauchy thứ nhất :

(C) a

(H8.10)

D

f (z) (z a ) C





 Từ đó cho phép tính tích phân:

VD 8.4.1: Tích phân Cauchy thứ 1

Với C = đường tròn đơn vị

theo hướng dương.

2

z (4 z )(z j/ 2) C

VD 8.4.2: Tích phân Cauchy thứ 1

 

z

3i (z 3i)

 f(z) = giải tích trong và trên C

(z = – 3i nằm bên ngoài C)

 a = 3i bên trong C.

Dùng CT tích phân Cauchy thứ 1

Với C = đường tròn | z – 2i| = 4 theo hướng dương.

2

z (z 9) C

Find   dz ?

Re

Im

(C) 6i

–3i –2i 2i 3i

VD 8.4.3: Tích phân Cauchy thứ 1

   

1

1 [z ( 2 3i)]

C      dz   2 i.f ( 2 3i)     2 i  



1[z ( 2 3i)]

Let f (z)    



 f(z) = giải tích trong và trên C

(z = – 2 – 3i nằm bên ngoài C)

 a = – 2 + 3i bên trong C.

Dùng CT tích phân Cauchy thứ 1

Với C = đường tròn | z – 3i| = 3 theo hướng dương.

2

1 (z 4z 13) C

Re

Im

(C) 6i

-2+3i

–3 3

3i

-2-3i

 VD 8.4.4: Tích phân Cauchy thứ 1

Tính tích phân

 Áp dụng với z 1 = 2 ở trong C:

 Lưu ý: nếu chiều C đổi lại là CW thì ta có I = – je 2 /3.

b) Công thức tích phân Cauchy thứ hai:

(C) a

 Từ đó cho phép tính tích phân:

 Nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D

thì nó cũng có đạo hàm đến mọi cấp trong

D Giá trị đạo hàm cấp n của f(z) tại điểm

z = a nằm bên trong D xác định theo công

thức tích phân Cauchy thứ hai :

VD 8.4.5: Tích phân Cauchy thứ 2

Let f (z)  



 f(z) = giải tích trong và trên C (do –2i nằm ngoài C)

 z = 0 là 1 điểm bên trong C.

Dùng công thức tích phân Cauchy thứ 2.

 Tính đạo hàm:

Với C = đường tròn đơn vị

lấy theo hướng dương.

3

(z 1)

z (z 2i) C

Find   dz ?

3

(2 4i) ''

VD 8.4.6: Tích phân Cauchy thứ 2

e (z 1) C

Find   dz ?

 f(z) = giải tích trong và trên C.

 z = – 1 : là 1 điểm bên trong C.

Dùng công thức tích phân Cauchy.

 Tính đạo hàm: f’(z) = e z

Re

Im

(C)

4 1

–2

a

D

– 1

VD 8.4.7: Tích phân Cauchy thứ 2

2

z 1 z 2(z 1) (z 2) (z 1)

z (z 1) (z 2) C

Find    dz ?

I    0 2 j   2 j   2 j

VD 8.4.8: Áp dụng tích phân Cauchy

2

1/ 8 3/ 32 1/ 8 1/ 32

z z 2 z 4 z

I  

8.5 Công thức tích phân Poisson:

2 2 2