TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 4 1

Chapter 4:Biến đổi Laplace ngược... 4.5 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược... Express Fs as the product Xs and Hs.. Find xt and ht [Inverse Laplace Transform].. Apply the

Chapter 4:

Biến đổi Laplace ngược

Chương 4: Nội dung

4.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược.

4.2 Biến đổi Laplace ngược của các hàm cơ bản.

4.4 Tích chập.

4.5 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược

4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace ngược.

4.3 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược.

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3

4.2 Biến đổi Laplace ngược các hàm cơ bản:

(Xem bảng gốc – ảnh tương ứng ở chương 3)

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5



Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7

4) Biến đổi ngược của đạo hàm:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9

6) Biến đổi ngược của tích phân :

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13

 Working Proceduce:

Find the Inverse Laplace Trans

Example : form of :

2 F(s)

( s 1)( s 3)



i Express F(s) as the product X(s) and H(s)

ii Find x(t) and h(t) [Inverse Laplace Transform].

iii Apply the convolution theorem.

t

0

f(t)   x( ).h(t     )d

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15

i Plot f(x) vs x , g(x) vs x

ii Fold f(x) over the vertical axis, we have f(– x)

iii Slide the folded function to the right, we have f(t – x)

iv At any values of t, y(t) is the area the product function

VD 4.4.1: Graphical convolution

R = 1 , L = 1 H, e(t) = [u(t) – u(t – 1)] V,

using graphical convolution to find u(t) ?

x

e

0 t

x

t – 1

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17

0

x t

t – 1 e(t – x)

1

0

x t

t – 1

h(x) e(t – x)

Examples: Graphical convolution

EX2a: Given R = 1 , L = 1 H, e(t) = [u(t) –

u(t – 1)] V, using graphical convolution to

find u(t) ?

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19

Examples: Graphical convolution

t

x(t) 20

8 0

t

x(t) 10

10 0

t

EX3b: Using graphical

convolution to find h(t)*x(t)

?

Examples: Graphical convolution

400t (0 t 0.5)

200 (0.5 t 8) 400(8.5 t ) (8 t 8.5)

0 0.5

t

x(t) 20

8 0

t

x(t) 10

40 0

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21

Examples: Graphical convolution

40t (0 t 10)

400 (10 t 40) 40(50 t ) (40 t 50)

0 10

t

x(t) 10

40 0

0 1

t

x(t) 10

40 0

t

EX5b: Using graphical

convolution to find h(t)*x(t)

?

Examples: Graphical convolution

 2 2

t(s) 20

x(t) 4

t(s)

0

2 2 2 2

30t +60t 30 ( 1 t 4) 10t +380t 610 (4 t 7) 40t +800t 2080 (7 t 12) 160t 3680 (12 t 19) 10t 540t 7290 (19 t 27)

0 5

t(s) 20

x(t) 20

7 -1

t 0

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23

Examples: Graphical convolution

EX7b: Using graphical

Examples: Graphical convolution

 1000 t

1000 t 1000 ( t 1ms )

1000 t 1000 ( t 1ms ) 1000 ( t 4 ms )

200e V (0 t 1ms) 200e 300e V (1 t 4ms) 200e 300e 100e V (4m t )

1

-5

t(s) 0

4

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25

1) Dùng bảng tra và tính chất: thường dùng khi hàm đơn giản.

3) Dùng tích chập: Khi F(s)  F (s).F (s)1 2

t

0f(t)   f (x).f (t  x)dx

 VD 4.5.1: Use Laplace Transform Pairs

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27

 VD 4.5.2: Use Laplace Transform Pairs

2 2

2 3 3 1

 VD 4.5.3: Use Convolution

 2

1 1

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29

A

(A=const) (s a )

factor (s a) gives partial fracti

a) Q(s) có các nghiệm thực phân biệt:

i Viết P(s)/Q(s) dưới dạng chuẩn: Giả sử Q(s) = 0 có 2 nghiệm thực a và b thì:

ii Tìm các hệ số: Tìm K a (ứng với s = a) ta dùng :

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31

 VD 4.5.4: Partial Fraction Method

b) Q(s) có các nghiệm phức phân biệt :

i Viết P(s)/Q(s) dưới dạng chuẩn: Giả sử Q(s) = 0 có 2 nghiệm phức s 1,2 =  ± j thì:

ii Tìm giá trị của K 1

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33

 VD 4.5.5: Partial Fraction Method

2 1

2

10( 119)

? ( 5)( 10 169)

c) Q(s) có các nghiệm thực bội r :

i Viết P(s)/Q(s) dưới dạng chuẩn: Giả sử Q(s) = 0 có nghiệm thực đơn s = a và nghiệm thực kép s = b thì:

ii Tìm giá trị K b2 Sau đó đạo hàm để tìm K b1

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35

 VD 4.5.6: Partial Fraction Method

2 1

2

(4 7 1)

? ( 1)

d) Q(s) có các nghiệm phức bội r :

i Viết P(s)/Q(s) dưới dạng chuẩn: Giả sử Q(s) = 0 có nghiệm phức là nghiệm kép thì:

ii Tìm giá trị K 12 sau đó đạo hàm tìm K 11

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37

 VD 4.5.7: Partial Fraction Method

1

768

? ( s 6 s 25)

5) Công thức khai triển Heaviside :

a) Q(s) has n simple zeros: s 1 , s 2 , …, s n

i

K e

Let F(s) = P(s)/Q(s)

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39

c) Q(s) has complex zeros:

s1,2 =  ± i 

1

1

31

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41

 VD 4.5.8: Heaviside Expansion

2

? ( 1)( 2)( 3)

C lim  



s s s

 Heaviside Formula:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43

6) Biến đổi ngược của hàm xung:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45

4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược:

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47

3 1 1

4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược:

2( 3) 1

Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49

2

2 1

4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược:

plot(time,out);grid on; xlabel('Time (s)');

ylabel('ft(t)'); title('The graph of f(t)');

(1+Heaviside(t-4)-Heaviside(t-2)-Heaviside(t-6))*t+2*Heaviside(t-2)-4*Heaviside(t-4)+6*Heaviside(t-6)

EX5:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Time (s)

The graph of f(t)