hàm số - nguyễn phú khánh

a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  C m của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.. b Chứng minh rằng mọi đường cong  C m tiếp xúac nhau tại một điểm.. Viết phương

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

f x x  m x   có đồ thị là  C m ,mlà tham số

8.1.1 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ? Khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m 2

Hướng dẫn :

Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình

2

1

x

  



Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là

 

m

m

   







8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ :

1) 2

a x   a2) x  1 a3) 1x  0

8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị  C của hàm số   3 2

f x x  x  x  và parabol

    2

P g x x  x  Xét vị trí tương đối của đường cong  C và parabol  P ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó  C nằm phía trên hoặc dưới  P )

8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   3

f x  x  x  Với giá trị nào của m ,

phương trình 4x3 3x 2m 3 0có nghiệm duy nhất ?

f x x  mx  m  x  có đồ thị là  C m ,mlà tham số )

a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  C m của hàm số đã cho và đường thẳng

 d m y 2mx 4m3 luôn có một điểm chung cố định

)

b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng  d m và đường cong  C m cắt nhau

1)

b Tại ba điểm phân biệt

2)

b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

)

c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

Hướng dẫn :

)

a  d m y 2mx 4m 3 luôn đi qua điểm cố định A 2; 3 và f 2  3A C m Để giải quyết dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10

)

1

0

m

m

 





:

8.2.4 Cho hàm số   3   2  

f x x  m x  m x m có đồ thị là  C m ,mlà tham số )

a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  C m của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định

)

b Chứng minh rằng mọi đường cong  C m tiếp xúac nhau tại một điểm Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong  C m tại điểm đó

8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x4 4x2 3.Tìm các giá trị của m sao cho

phương trình x4 4x2 3 2m1 0có 8 nghiệm?

8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x   x4 2x2  Với giá trị nào của m , 3

đường thẳng y 8x mlà tiếp tuyến của đồ thị

P : f x   x x  v C : g x  x x 

8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị  P và  C tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ x 1

8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung  t của  P và  C tại điểm A Chứng minh rằng  P nằm phía dưới đường thẳng  t và  C nằm phía trên  t

8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số   2   1  

f x x x g x v k x x x

x

xúc nhau tại một điểm

8.5.2 Chứng minh rằng parabol    P :f x x2 3x  tiếp xúc với đồ thị 1  C của hàm số

  x2 2x1 3

k x

x



 Viết phương trình tiếp tuyến chung của  P và  C tại tiếp điểm của chúng

8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol    P : f x x2 3xđi qua điểm 3 5

;

2 2

A  

và

vuông góc nhau

8.6 Cho hàm số f x m ;  mx 1,m 1

x m



 có đồ thị là  G m ,m là tham số

8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi m 1, đường cong  G m luôn đi qua hai điểm cố định ,A B

8.6.2 Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của  G m Tìm tập hợp của các điểm M khi m thay

đổi

8.7.1

)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x 42  H

x





 )

b Chứng minh rằng parabol  2

P y x  tiếp xúc với đường cong  H Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của  P và  H tại điểm đó

c Xét vị trí tương đối cuả  P và  H ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó  P nằm phía trên hay phía dưới  H ?

8.7.2

)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x 21  H

x





 )

b Chứng minh rằng với mọi m  0, đường thẳng y mx 3mcắt đường cong  H tại hai điểm phân biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1

8.8.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x2 3x 1

x

 Với giá trị nào của m , đồ thị

của hàm số cắt đường thẳng y m tại hai điểm phâ biệt ,A B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi

8.8.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x2 2x2 3

x



 .Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt ,A B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng

AB khi m thay đổi

8.8.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  2x2 3x1 3  C

x



 .Tùy theo giá trị của

m , biện luận số giao điểm của  d :y mx m 3 và  C Với giá trị nào của m , đường thẳng

 d :y mx m 3 cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của  C

8.9.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f x  x2 x1 1

x

 



 Với giá trị nào của m , phương trình

1

x x

m x

 



 có 4 nghiệm?

8.9.2 Cho hàm số   2 , 1  

x m

x



 )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

)

b Với giá trị nào của m , đường thẳng y    tiếp xúc với đường cong x 7  C m

)

c Khi m 2 Với giá trị nào của a ,thì phương trình x2 2x a a 1có 4 nghiệm phân biệt?