khảo sát hàm số - nguyễn phú khánh

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm, do đó ta chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu h

Sách cĩ tất cả 10 chủ đề , dưới đây là chủ đề 01

CHỦ ĐỀ 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

VẤN ĐỀ 1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số fcĩ đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x( )≥ 0 với mọi x ∈ I;

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x( )≤ 0 với mọi x ∈ I

2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn,

flà hàm số liên tục trên I và cĩ đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng khơng phải đầu mút của I)

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (−∞  ;1

Với ∀ x , x1 2 ∈
và x1 < x2, khi đó luôn tồn tại khoảng ( )a; b

chứa x , x1 2 Do y ' = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng ( )a; b nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( )a; b khi đó y x( ) ( )1 > y x2 ⇒

hàm số nghịch biến trên »

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác

ta để ý đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm,

do đó ta chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu

−

mx y

Ta có:

2 2

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi

y ' ≤ 0, ∀ ∈ −∞ x ( ; m) (∪ m; +∞) và dấu đẳng thức xảy ra tại một

1 m 0 m 1 m 1

⇔ − < ⇔ > ⇒ > Vậy m > 1 và m ∈
thỏa mãn bài toán

Dễ thấy y 1( ) = ⇒ 0 x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x( )0 = 0

2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

điểm x0và có đạo hàm trên các khoảng (a; x 0) và (x ; b 0 ) Khi đó:

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

Nói một cách khác, nếu f ' x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

Nói một cách khác, nếu f ' x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm

0

x

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 x a x0 b ( ) f ' x + 0 −

( ) f x f x( )0

( ) f a f b( ) Định lý 3: Giả sử hàm số fcó đạo hàm cấp một trên khoảng ( )a; b chứa điểm x0, f ' x( )0 = 0 và fcó đạo hàm cấp hai khác 0tại điểm x0 a) Nếu f '' x( )0 < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 b) Nếu f '' x( )0 > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Ví dụ 1 : Tìm cực trị của hàm số : y = x x( − 3 ) Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
( ) ( ) x x 3 khi x 0 y x x 3 khi x 0  − ≥  =   − − <  Ta có ( ) 3 x 1 khi x 0 2 x y ' 3 x x khi x 0 2 x  −  >  =   −  − <   − 

+ Hàm số không có đạo hàm tại x = 0 Trên khoảng (−∞ ; 0):y ' > 0,trên khoảng (0; +∞):y ' = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên x −∞ 0 1

+∞

y ' + − 0 +

y 0 +∞

−∞ − 2

Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x = 0, f 0( )= 0, hàm số đạt điểm cực tiểu tại điểm x = 1, f 1( )= − 2

nó vẫn đạt cực đại tại điểm đó

Cho hàm số y = f x( ) xác định trên Dvà điểm x = x0 ∈ D là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau cùng thỏa mãn:

1 Tại x = x0 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

2 Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0

y = x −mx + m− x+ có cực đại , cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y 'triệt tiêu và đổi dấu hai lần

qua nghiệm x, khi đó phương trình 2 − + − =

x 2mx 5m 4 0 có hai nghiệm phân biệt x , x ⇔ ∆ =1 2 2 − + > ⇔ <

m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn đề bài

2 Tam giác ABC vuông tại C, khi đó

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

Suy ra P ≥ 5 Đẳng thức xảy ra: x 4y

4y = x và x y 5

4 + = hay

5 x

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x( ) trên

D mang tính toàn cục, còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương

và x + + + +y = = = =3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

3a 2 bc 1 3 t 1 2t 3 t 1

2 t

ab ≥ 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc ab ≥ 1

Theo giả thiết ta có ( 2 2) ( )( )

2 a + b + ab = a + b ab + 2 Từ đây suy ra

khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến

17

Giải:

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ TÂM ĐỐI XỨNG

1 Điểm uốn của đồ thị:

Giả sử hàm số fcĩ đạo hàm cấp một liên tục trên khoảng

( )a; b chứa điểm x0và cĩ đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; x 0)và

o 0

m ∈ » để trên ( )C m tồn tại điểm B sao cho tam giác

AB AI AB AI

( ) ( )

nghieäm phaân bieät

b Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ < α

( ) ( ) ( )

nghieäm phaân bieät

Tương tự cho trường hợp a < 0

at + bt + = c 0 2

Một nghiệm dương của ( )2 ứng với 2 nghiệm của ( )1

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình ( )1 có nghiệm là phương trình ( )1 có ít nhất một nghiệm không âm

( )1 có 4 nghiệm ⇔ ( )2 có 2 nghiệm dương

0

P 0 S 0 2

t 0 t 2

S 0 2

2 2

x x

* Một nghiệm lớn hơn 2 của phương trình ( )2 tương ứng với 2

nghiệm dương của phương trình ( )1

* Một nghiệm nhỏ hơn 2 của phương trình ( )2 tương ứng với 2

nghiệm âm của phương trình ( )1

* Một nghiệm t = − 2 của phương trình ( )2 tương ứng với nghiệm

x x

1 2 3

1 2 3

mx n

+ +

=

+

x y

x y

1

x y

2 2

x y x

+

=

− có đồ thị là ( )C Tìm tất

2

2 hoặc m = 2 là giá trị cần tìm

Hoạt động: Cho hàm số

1

x y

x

=

− có đồ thị là ( )C Tìm

2 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự − t ;1 − t ; t ; t2 2 1 với

>

1 2

Theo giả thiết SACK = 1AC.d K; AC( ) ( )3

2 với d K; AC( )= yK Khi đó ( )3 ⇔ t1 + t2 = 4 ⇔ t1 + t2 + 2 t t1 2 = 16

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình ( )2 , ta được:

y = g x tiếp xúc nhau tại M x ; y( 0 0)

khi điểm M ∈( ) ( )C ∩ C ' và tiếp tuyến tại M của ( )C trùng với tiếp tuyến tại

Mcủa ( )C ' chỉ khi hệ phương trình

• Gọi N x ; y( 0 0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến

( )d qua điểm M , nên ( )d cũng có dạng y = y ' x( )(0 x − x 0)+ y 0

• ( )d đi qua điểm M nên có phương trình:

Giả sử ( )T là tiếp tuyến chung của ( )C và ( )d

( )T tiếp xúc với ( )C và ( )d lần lượt tại các điểm có hoành độ

trị lớn nhất

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011

Giải:

( )∗ luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀ ∈
m

Vậy đường thẳng y = x + mluôn cắt đồ thị y x 1

2x 1

− +

=

− tại hai

điểm phân biệt A, B

Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của ( )∗ thì A x ; y , B x ; y( 1 1) ( 2 2)

Tiếp tuyến của ( )C tại A, B lần lượt có hệ số góc là

Nên k1 + k2 ≤ − ⇒ 2 k1 + k2 lớn nhất bằng − 2 Đẳng thức xảy ra khi 2x1 − = − 1 1 2x2 ⇔ x1 + x2 = ⇔ 1 m = − 1

Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng − 2 khi m = − 1

2 thỏa bài toán

OA 2011.OB nên có thể xảy ra:

• Nếu A ≡ O thì B ≡ O, trường hợp này chỉ thỏa nếu ( )d

cũng qua O Khi đó k = 9

2

2, k = 6039 thỏa bài toán

Hoạt động: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

2 2

2 1 2m 3m 2 0 m 2, m

+

=

Đề thi Đại học Khố D – năm 2011

+

= + có đồ thị là ( )C Tìm

a ' x b '

x, y

a ' c b ' a ' b b ' a a.a ' x a ' b b ' a

Điểm I x ; y( 0 0)là tâm đối xứng của đồ thị ( )C : y = f x( )

⇔Tồn tại hai điểm M x; y , M ' x '; y '( ) ( )thuộc ( )C thỏa:

'

0 0

Ví dụ : Cho hàm số :

2

1 1

y y ' y 4 y '

4 2

2 Tìm m ∈
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

( )C m : y = x 3 − 2x 2 +(m − 1 x) + 2m vuông góc với đường thẳng y = − x

Trở lại bài toán:

1 Gọi M x ; y( 0 0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( )t và đồ thị ( )C của hàm số ( ) 4 2

( ) ( 0 0 )

Cách 1:

Gọi M x ; y( 0 0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( )t và đồ thị

( )C của hàm số Khi đó, ta có phương trình:

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

a Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 1x 1

7

y ' m

3

= −

1 ( )t song song với đường thẳng y = − 4x

2 ( )t cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác

OAB là một tam giác vuông cân tại gốc tọa độO

3.( )t vuông góc với IM với I 1;2( )

4.( )t tạo với hai tiệm cận, một tam giác có chu vi nhỏ nhất

5 Khoảng cách từ điểm I 1;2( ) đến tiếp tuyến ( )t là lớn nhất

− với tiếp tuyến

( )t , biết rằng tiếp tuyến( )t tạo với đường thẳng

1 Tìm trên đồ thị ( )C những điểm mà tiếp tuyến ( )d của ( )C tại đó:

a Song song với đường thẳng y = 4x + 3

b Khoảng cách từ điểm I(− 2;2) đến ( )d bằng 2

2 Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C biết:

a ( )d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

x m

=

+ có đồ thị là ( )C m , m là tham số thực và m ≠ 0 Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng

x − − y 10 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến đó

2 Cho hàm số y = x3 + mx + m + , trong đó 1 m là tham số thực Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục Oy Tìm m để tiếp tuyến nói trên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 ?.

tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1

tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 2

3 Tìm điểm A trên đường thẳng x = 5 sao cho từ A ta có thể vẽ đến ( )C : y x 3

1 Song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

2 Vuông góc với đường thẳng x + 8y = 0

3 Có hệ số góc nhỏ nhất

4 Vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị

Bài tập 7: Tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Gọi N x ; y( 0 0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến

( )d qua điểm M, nên ( )d cũng có dạng y = y ' x 0( − x 0)+ y 0

( )d đi qua điểm Mnên có phương trình:

0 2

3 Tìm m ∈
trên đồ thị ( )C m có hai điểm M x ; y , 1( 1 1) M x ; y 2( 2 2)

sao cho x x1 2 > và tiếp tuyến của 0 ( )C m tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng x − 3y + = 1 0 Biết ( )C m :

3 Tìm những điểmNtrên đường thẳng ( )d : y = 3 để từ N

kẻ được 4 tiếp tuyến đến ( )C

4 Viết phương trình tiếp tuyến ( )t , biết ( )t tiếp xúc với ( )C

tại hai điểm phân biệt

Bài tập 6:

1 Tìm m ∈
để tiếp tuyến đi qua điểm M 2; m( + 2)của đồ thị hàm

số y = x3− 3x + m phải đi qua gốc tọa độ O

2 Chứng minh rằng từ một điểm thuộc đường thẳng x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến đồ thị của hàm số y = x3− 6x2+ 9x − 1

3 Cho hàm số: y = x3 − 3x có đồ thị là ( )C Tìm trên đường thẳng

x = 2 những điểm có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới ( )C

Nhắc lại kiến thức:

Cho hai đường thẳng ( )d : y 1 = k x 1 + b và ( )d 2 : y = k x 2 + m

Trở lại bài toán:

Đường thẳng ( )d : y = g x( ) cắt ( )C : y = f x( ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f x( )= g x( ) có hai nghiệm phân biệt x , x1 2

Để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x , x1 2 song song với nhau khi và chỉ khi f ' x( )1 = f ' x( )2

Giải:

1 Đường thẳng ( )t : y = 2x + mcắt ( )C tại hai điểm phân biệt

mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình

Nghĩa là

8m 8m 8n 8n 6m 4m 1 6n 4n 1

m n

m n

m nm n 1 0

3 3

1 1

3 3

2 Tìm tọa độ điểm M để ( )d vuông góc với IM

3 Tìm tọa độ điểm M để khoảng cách từ I đến ( )d lớn nhất

4 Tìm tất cả các tham số mđể đường thẳng

( )t : y = − 2x + mcắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp

tuyến tại đó song song với nhau

đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B

1 Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận

2 Tìm những điểm trên ( )C có hoành độ x > 2 sao cho tiếp tuyến tại

đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

Bài tập 3: Tìm tất cả các điểm M trên trục hoành mà qua đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau Biết :

C : y = x + 3x + 1 sao cho qua

M chỉ có thể kẻ được một tiếp tuyến đến ( )C Đs :

Bài tập 6:

1 Cho hàm số

2

2x y

  sao cho điểm M 1( + sin ;9 α )

nằm trên đồ thị ( )C Chứng minh rằng, tiếp tuyến của ( )C tại điểm

M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm

tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận

Bài tập 7: Cho hàm số y = x3− 3mx2 + mx + có đồ thị là 1 ( )C m Tìm tất cả các giá trị m ∈
để :

1 Tiếp tuyến của đồ thị ( )C m tại điểm có hoành độ x = − 1 tạo với đường phân giác thứ nhất một góc

  và tiếp tuyến tại O 0; 0( ) có hệ số góc bằng − 3

5 Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số ( ) 3

g x = x − 1 tiếp xúc nhau Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó

họ ( )C m tại 3 điểm phân biệt A, B, C (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A

và tiếp tuyến tại B của ( )C lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai

là M và N Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi

C : y = − x + 4x − Tìm 3 m và n để đường thẳng ( )d : y = mx + n cắt đường cong ( )C tại 4 điểm phân biệt

+ của hàm số và trục Ox, các tiếp tuyến vuông

góc nhau, hoặc cùng với trục Ox giới hạn một tam giác đều?

( )C

2 Gọi A, B là giao điểm của đồ thị ( )C và parabol ( )P Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C và parabol ( )P tại các giao điểm của chúng

3 Xác định trên mỗi khoảng ; 1

1.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn Icủa

nó Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất

2 Gọi ( )d m là đường thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng ( )d m cắt đồ thị đã cho tại ba điểm phân biệt

Bài tập 4:

1 Tìm m để đồ thị ( )C m :y = x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 cắt trục Ox tại 3điểm phân biệt có hoành độ là x , x , x1 2 3 thỏa

x + x + x ≥ 15

2 Tìm trên đồ thị ( )C : 3

y = − x + 3x có bao nhiêu bộ bốn điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm ( )

Trường hợp 2: Đặt 2 2 2 2

u = a + b , v = a b Khi đó hệ ( ) ( )1 , 2 trở thành :

2

5 5 b

Vì vai trò A, B như nhau nên trên ( )C có hai bộ bốn điểm

A, B, C, D sao cho ABCD là hình vuông có tâm O 0; 0( )

biệt A, B sao cho AB ≤ 5

3 ( )d : y = mx + m cắt đồ thị hàm số ( )G : y = x3 − 3x2 + 4 tại

ba điểm Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác − 1 trong

ba điểm nói ở trên sao cho AB < 2 2

AB = 2 2 Tìm tọa độ A, B

5 ( )d đi qua A(− 3;1) và có hệ số góc m và cắt đồ thị của

y = x + 3x + 1 tại 3 điểm phân biệt

6 ( )d đi qua I 2; 22( − ) và có hệ số góc mvà cắt đồ thị của hàm số : y = x 3 − 3x 2 − 9x tại 3 điểm phân biệt I,J, K sao cho JK = 5 26

7 d đi qua gốc tọa độ có hệ số góc m cắt ( )C :

đi qua điểm A(− 2;2)và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng ( )d m

cắt đồ thị ( )C tại hai điểm :

1 Phân biệt? 2 Thuộc hai nhánh của đồ thị ? Bài tập 4: Tìm tất cả tham số thực mđể đồ thị của hàm số :

Bài tập 6: Tìm tham số mđể đường thẳng ( )d m