MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.. Phương pháp thế Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình và thay vào phương trình
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 Phương pháp thế
Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một
ẩn
Chú ý:
Phương trình một ẩn này phải giải được
Một phương trình trong hệ có thể đưa về tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :
2
1 2
Giải
Phương trình
2
2
2
thay vào phương trình 1 ta được:
2
3
x x
4
x x
Với x = 0 thay vào phương trình 2 ta thấy không thỏa mãn
Với x 4 thay vào phương trình 2 ta được 17
4
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
4 17 4
x y
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
1)
2
3
ĐS: x y ; 0;3 ; 2;1 ; 4; 1
1
ĐS: x y ; 1; 0
2
1
ĐS: ; 1; 1 ; 2; 5
2
Trang 24)
HD: phương trình (2) y25x2 4 Thay vào phương trình (1) được:
x y x yy x ĐS: x y ; 0; 2 ; 0; 2 ; 1; 3 ; 1;3
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2
1
2
Giải
Điều kiện: 1
0
x
y
Phương trình (1) 2 2
x yx2y10
0
Với x = - y ( vô lí )
Với x = 2y + 1 Thay vào phương trình (2) và biến đổi, thu gọn ta được:
y1 2y20 y2( do y )0 x5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 5
2
x y
Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
1 1
ĐS: x y ; 1;1 ; 1; 1
2)
2
2
ĐS: ; 0;1 ; 1; 0
3
3)
2
ĐS: ; 0; 4 ; 4; 0 ; 4; 0
5
Trang 34)
ĐS: 3 3
x y
5) 3 22 02 2
xy x
HD
2 0
ĐS: ; 1;1 ; 1 5; 5 ; 1 5; 5
2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Nội dung phương pháp:
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ u f x y v ; , g x y ; Có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
1 2
Giải
Đặt y = - z, ta được hệ phương trình
1
2
2
1 2
2
Đặt : x z S,S2 4P
Ta có:
2
1 2
2
2 3 4
S P
Trang 43 2 1
2
1
2 3 2
x y
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
3 2 1 2
x y
;
1 2 3 2
x y
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
1) 2 2
Đặt
2
2
ĐS: ; 0;1 ; 8; 9
2
2
Đặt
2
xy v
ĐS: x y ; 1;3
2 2 2
30 11
Trang 5Đặt x y u
ĐS: ; 1; 2 ; 2;1 ; 5 21 5; 21 ; 5 21 5; 21
4)
5 4 5
1 2
4
HD:
2 2
5 4 5
4
Đặt
2
xy v
ĐS: 3 5 3 25 3
5)
2
2
1 4 1
3
y
y
ĐS: x y ; 1;1 ; 3; 1
6)
3
7 3
ĐS: x y ; 5; 4
2
2
Giải
Nhận xét: y = 0 không phải là nghiệm nên hệ đã cho tương đương với :
2
2
1
4
1
2 1
x
y
x
y
Đặt :
2
1
2
x
y
1
2 1
2
2 1
5
x x
y y
x
y
Trang 6
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 1
2
x y
5
x y
Bài tập
Giải các hệ phương trình:
1)
1 7
1 13
1
7
1
13
x x
x x
Đặt
1
y
x
v
y
ĐS: ; 3;1 ; 1;1
3
2)
2
3
1
x
HD:
2
3
1
3
Đặt
1
ĐS: x y ; 1; 0
3)
6
HD:
2
2
2 2
2
1
6 6
y
x x
x
Trang 7Đặt
1
y
v
x
x
ĐS: ; 1; 2 ; 1;1
2
4)
2 2
2 2
1
1
xy
x y
HD:
1 1
5
49
Đặt
1
1
x
y
ĐS: ; 7 3 5; 1 ; 1;7 3 5
x y
5) 3 3
HD:
3
3
125
x
y
Đặt
3
5
v
y
ĐS: ; 1 5; ; 2;5
x y
3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung phương pháp
Điểm quan trọng của phương pháp này là biến đổi một phương trình của hệ về dạng
f u f v với f là hàm số đơn điệu trên D Từ đó suy ra u = v
Trang 8Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2
1 2
Giải
Đk: 3
4
2
y
Phương trình (1) 2
4x 1 2x 5 2y 1 5 2y
f 2x f 5 2 y
Xét hàm số 2 2
f t
là hàm đồng biến với t R
0
2
x
y
Thay vào phương trình (2) ta được:
2
2
x
Nhận xét x = 0, x 3
4
không phải là nghiệm của
Xét
2
2
x
3 0;
4
4
3 4
x
g x là hàm nghịch biến
g x
Vậy nghiệm của hệ là :
1 2 2
x y
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
1)
Trang 9HD: hệ 2
2
Xét 2
f t t t f t đồng biến 2 y 1
x
2
3
ĐS: ; 1;1
3
x y
3
ĐS: ; 1 1;
2 2
x y
4)
7
HD: Phương trình (2) y x y2 9 x 3 y
y
y t t
Thay vào phương trình (1) thu gọn: 2 33 9 3
3
3
Xét hàm số: 9 33 3
8 2 32
f t
đồng biến t 1 ĐS: x y ; 2;1
5)
2
ĐS: x y ; 1;1 ; 1; 1
6)
8
Trang 10
HD: phương trình (1)
2
x
4
1
t
t
ĐS: x y ; 2 2; 4 2
ĐS: ; 1; 1 ; 3 11; 3 11
3
HD: phương trình (1) f 3 2y f 1 1
x
ĐS: ; 7;111
98
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
1
2
Giải
x
y
Đặt z x 1 z 0; 2
Phương trình (1) z33z2 y33y2 Xét hàm số: 3 2
3 , 0; 2
f t t t t
f t là hàm nghịch biến trên 0; 2
Mà f z f y zyx 1 y
Thay vào phương trình (2) có: x22 1x2 20x0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 0
1
x y
Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
3
4
1
ĐS: x y ; 2;1
Trang 112)
y
x
ĐS: x y ; 1;1
3)
3
ĐS: ; 1;1 ; 1 5; 1 5 ; 1 5; 1 5
4)
1
ĐS: 4 1 5 4 1 5 4 1 5 4 1 5
x y
5)
HD: Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:
Thay vào phương trình thứ nhất Phương trình có dạng :
1
ĐS: x y ; 1;1
4 Phương pháp đánh giá
Nội dung phương pháp: Với phương trình này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :
3
3
Giải
Hệ đã cho
2
2
2 ( 1) ( 2)
2 2( 1) ( 2)
Nếu x > 2 thì từ phương trình (1) y Điều này mâu thuẫn với phương trình (2): 2 0
x – 2 và y – 2 cùng dấu
Nếu x < 2 Lập luận tương tự, suy ra vô lý
Nếu x = y = 2 thay vào thỏa mãn hệ
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 2
2
x y
Trang 12Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
xy
Giải
Cộng vế với vế hai phương trình ta được:
(1)
Ta có: 3 x22x9 3(x1)223 2
2
2
xy
xy
Tương tự
2 3
2
xy
xy
Mặt khác: 2 2
2
x y xy VT (1) VP (1) Dấu bằng xảy ra 1
0
Thử lại ta được nghiệm của hệ là : 0
0
x y
; 1 1
x y
Bài tập
Giải các hệ phương trình :
1)
HD:
2
2
2
2
2
2
60
60
60
x y
x y z
y z x
z
ĐS:
0 5 6
ĐS: x = y =1
Trang 133) 3
ĐS: x = y = 3
4)
2 4
4
HD: Cộng 2 vế của phương trình được
2
VT 12; VT 12
ĐS: x y ; 16;3
5) 2 2
7
2
HD: Phương trình (2) 1;7 ; 2;10
Phương trình thứ nhất 2 1 2 1 7
2
Xét hàm số f t 2t 1
t
f(t) đồng biến với t 0;
2 1 7
2
f x f y f f ĐS: x y ; 2;1
6)
12 3 1 2
4
12 3 1 2
4
HD: Cộng vế hai phương trình ta được:
0
ĐS: ; 1 3; 1 3
3
3
Có: 2
4
xy xy Từ phương trình thứ nhất 3 2
Phương trình (2)
xy42xy2 1 xy12y12 0 ĐS: x y ; 1;1
Trang 148) 2 2 2 2
3
HD: 5x22xy2y2 2x22xy5y2
Vậy phương trình thứ nhất x y 0
Thay vào phương trình (2): 3 2
3x 1 2 19x82x 5x 5
2 2
2
2 14
2
0
ĐS: x y ; 0; 0 ; 1;1