Bài giảng số 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.. Hệ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất, đ
Trang 1Bài giảng số 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Hệ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất, đặc biệt là kỹ năng phân tích nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ
Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Loại 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Loại 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại là
tham số
2 Hệ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Điều quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a f x y b ; ; g x y ; có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0
3 Hệ sử dụng phương pháp hàm số
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng: f x ( ) 0 (1) và f x( ) f y( ) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D
và x y, D. Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x y, để x y, thuộc tập mà hàm f đơn điệu
Loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f x( ) f y( ), phương trình còn lại giúp ta giới hạn
,
x yD để trên đó hàm f đơn điệu
Loại 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải đều dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)
4 Hệ sử dụng phương pháp đánh giá
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 8 (1)
5 (2)
Giải
Trang 2Điều kiện: 0
0
x
y
2 2
1
x
Từ (2) y thế vào (3) ta được: x 5
x x x x x x
5 ( ) 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 9; 4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
2 (1)
Giải:
Điều kiện: 1
0
x
y
Ta có phương trình (1)x2xy2y2(xy) 0
(x y x)( 2 ) (y x y) 0
(từ điều kiện ta có xy ) 0
Thay x2y vào phương trình (2) ta được: 1
(2y1) 2yy 2y 2 2y 1 2y
(y 1) 2y 2 0
(do y ) 0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (5; 2)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
12
3 12
3
x
y
Giải:
Trang 3Điều kiện:
0 0
3 0
x y
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
1
3
1
3
1
3
2
1 9 12
3
3
9 (l)
y
x
y
x
Với y 3
x ta được:
2 2
3 1 3
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 3 2;3 1 32
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: ( ) 30
35
x y y x I
x x y y
Giải:
Điều kiện: 0
0
x
y
0
3
Đặt: S a b;
điều kiện: 2
Trang 4Hệ (II) trở thành
6
S
P
thỏa mãn 2
Khi đó ta có:
2
3
5
x
y
a b
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4;9 ; 9; 4
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
7 2 :
7 ( , 0)
I
Giải
0
Hệ (I) trở thành:
2 2
7 2 7
a b
ab a b
7 2 7
ab
ab
ab a b
2 7
7 2
ab
ab ab ab
ab
2
7 2
ab
ab
(với tab0)
2 2 2
ab
2 2 7
2 2
ab
(do ab 0)
,
a b
là nghiệm của phương trình: 2 15 2 0
2
X X , phương trình này vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau: 2 3
Giải
Trang 5Điều kiện: 2 5
x y
3
log 1 0
5 log 0
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2
3 4 (1)
3 4 (2)
a ba b 3 0
3
Với ab, ta có:
4
a
Từ ab1 2
3
(thỏa mãn) Với a 3 b, ta có: 2
2 b 3b 5 0(vô nghiệm) Vậy nghiệm của hệ phương trình là:4;81
Phương pháp hàm số
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
y
x
Giải
1
ta được hệ phương trình
2 2
1 3 (1)
1 3 (2)
b
a
Trừ vế 2 phương trình cho nhau, ta được: a a2 1 3a b b2 1 3 (3)b
Xét hàm số: f t( ) t t2 1 3t
2 2
1
1
t
f t
t
Vì t2 1 t2 t t2 1 t 0 f t( )0 t do đó hàm số ( )f t đồng biến trên R Khi đó phương trình (3)a thay vào phương trình (1) ta được: b a a2 1 3 (4)a
Theo nhận xét trên thì a a2 1 0 nên phương trình 2
(4)ln a a 1 aln 3 (lấy 0 ln hai vế)
Trang 6Xét hàm số 2
2
1
1
a
hay hàm g a ( ) nghịch biến trên R và do phương trình (4) có nghiệm a 0 nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất 0
a
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là x y1
Vậy nghiệm của hệ là (1;1)
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
3 4
1 2
Giải
Điều kiện: x1,y0
Thế y từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được:
x 1 x3x22x9 (3)
( ) 3 2 2 0 1
f x x x x
Suy ra hàm số f x luôn nghịch biến khi ( ) x 1
Mặt khác, hàm số g x( ) x1 luôn nghịch biến khi x 1 nên x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là 2;1
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
2
Giải
Điều kiện: 3; 5
x y
Phương trình 2
1 4x 1 2x 5 2 y1 5 2 y
5 2
f t t t có f t( )3t2 1 0 nên f t luôn đồng biến trên ( ) R, suy ra:
2
0
2
x
y
Trang 7Thế y vào phương trình (2) ta được:
2
2
x x x
Nhận thấy x 0 và 3
4
x không phải là nghiệm của phương trình (3) Xét hàm số:
2
2
g x x x x
3 0; 4
3 0; 4
Suy ra g x nghịch biến trên ( ) 0;3
4
Nhận thấy
1 0 2
g
nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất 1
2
x Với 1
2
x thì y 2
Vậy hệ đã cho có một nghiệm 1; 2
2
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:
2
(1)
4 5 8 6 (2)
Giải
Hiển nhiên y 0 Chia hai vế của phương trình (1) cho y ta được: 5 0
5
5
Hàm số f t( )t5 có t 4
( ) 5 1 0,
f t t nên hàm số ( )t f t luôn đồng biến x y x y2
y
2
x y vào phương trình (2) ta được: 4x 5 x86
Tìm được x 1 Vậy hệ có 2 nghiệm 1; 1
Phương pháp đánh giá
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:
2
3 2
2 2
3
2
2 9 2
2 9
xy
xy
Giải
Cộng vế với vế hai phương trình ta được:
Trang 82 2
(1)
Ta có: 3 2 3 2
x x x
2
2
xy
xy
Tương tự
2 3
2
2 9
xy
xy
Mà theo bất đẳng thức Cosi 2 2
2
x y xy
(1) (1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi 1
0
Thử lại ta được nghiệm của hệ là 0; 0 ; 1;1
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: log log (1)
2 2 3 (2)
Giải
Điều kiện: x0,y0,x1,y1
Từ (1) có t2 với t 2 0 tlogy x
+)Với logy x 1 ta được log2 3
2
x y
+)Với logy x 2 ta được x 12
y
Thế vào (2) ta được: 2
1
2y 2y 3 (3)
Trường hợp này phương trình (3) vô nghiệm Thật vậy:
Nếu y thì 1 2
1
2y 2; 2y 1 2
1
2y 2y 3
Nếu 0 y thì 1 12 1
y suy ra: 2
1
2y 1; 2y 2
1
2y 2y 3
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm log2 3 ; log2 3
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 91 5 2 7
ĐS:11;11
1
ĐS: 17 5;
12 3
3
2 8 2 4
ĐS: (4; 4)
4
5
42
5
42
y
x
ĐS: 5 2 6 5 2 6;
5
ĐS: 4; 4
ĐS: 1;1
7
3
ĐS: 2; 2 ; 5; 3
8
2 4
ĐS: 5; 6 2
9
2
2 1
xy
ĐS: 1;0 ; 2;3
ĐS: 10 77;11 77
2
11
1
1
x
y
ĐS: 11 4 7 22 8 7;
Trang 1012 3 3
1
ĐS: 1;1
13
1 1
x x
ĐS: Vô nghiệm
14
2
ĐS: 5; 2
15
1 1
ĐS: 1;0 ; 0;1
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1 3 2 3 2
6
ĐS: 8; 64 ; 64;8
2
9
ĐS: Vô nghiệm
ĐS: Vô nghiệm
4
9 5
5 3
30 6
ĐS: 5;3
ĐS: 8;170 ; 1;170
8
ĐS: 2; 1
7
1 2
ĐS: 0;1
Trang 118 30
35
x y y x
x x y y
ĐS: 4;9 ; 9; 4
9
2 8 2 4
ĐS: 4; 4
10
7 1 78
x xy y xy
ĐS: 4;9 ; 9; 4
128
ĐS: 8;8 ; 8; 8
12
12 12
ĐS: 5;3 ; 5; 4
13
20
16
5
y
x
x
y
ĐS: 5; 4
ĐS: 3; 0 ; 0;3
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1
y
x
ĐS: 1;1
2
2
2
ĐS: 1; 2 ; 2; 2
ĐS: 3;3
3 3
ĐS: 1;1
Trang 125 3
2
x
y
ĐS: 2; 2
ln 1 ln 1
ĐS: 0; 0
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
1
2 4
4
ĐS: 3;16
ĐS: 1 1;
2 2
3
2
2
ĐS: 0; 0
1 1
ĐS: 0; 0
5
2
3 2
2 2
3
2
2 9 2
2 9
xy
xy
ĐS: 0; 0 ; 1;1
6
1 1
ĐS: 1;0 ; 0;1
7
2 2
ĐS: 1;1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
ln 1 ln 1
ĐS: 0; 0
2
10
ĐS: 3;1 ; 1;3
Trang 133
3
3 2 972
ĐS: 5; 2
4
2
ĐS: Vô nghiệm
ĐS: 9 ; 7
10 10
6
5
y x
x y
x y
x y
ĐS: 4;1
7
1
x
y
ĐS: Vô nghiệm