Dạng tính khoảng cách ngắn nhất Từ hình vẽ bên ta rút ra được: Các hypebol có d1−d2 càng lớn thì sẽ càng xa đường trung trực Các elip có d1+d2 càng lớn thì sẽ càng xa đoạn thẳng nối 2 n
Trang 1CỰC ĐẠI CÙNG PHA HOẶC NGƯỢC PHA
I Các điểm cực đại
1 Chứng minh
Xét 2 nguồn u1=u2 =acos( )t
Điều kiện để điểm M dao động với biên độ cực đại là ( 1 2)
−
Kết luận: Tập hợp các điểm cực đại nằm trên đường hypebol có 2 tiêu điểm là 2 nguồn A, B có
AB d d k AB
− − = với k là số nguyên
2 Phương trình hypebol (dành cho các bạn chuyên toán)
a) Phương trình chính tắc
1 2
2
2
1 1
4
d d a
AB c
− =
=
b) Phương trình tham số
1 2
2 2
2 2
0,5
cos cos
.tan
d d a
AB c
d d
x
t t
− =
=
−
II Các điểm cùng pha hoặc ngược pha với nguồn
1 Chứng minh
Xét 2 nguồn u1=u2 =acos( )t
Điều kiện để điểm M dao động cùng pha hoặc ngược pha với nguồn là d1+d2 =k'AB
M
d d
−
−
Độ lệch pha so với nguồn
Kết luận: Tập hợp các điểm cùng pha hoặc ngược pha với nguồn nằm trên đường elip có 2 tiêu điểm là 2
nguồn A, B với d1+d2 =k'AB với k' là số nguyên dương
Hệ quả: Đọc tiếp ở mục V để biết kỹ thuật quy tròn và hệ quả
Trang 22 Phương trình elip (dành cho các bạn chuyên toán)
a) Phương trình chính tắc
1 2
2
2
1 1
4
d d a
AB c
+ =
=
b) Phương trình tham số
1 2
2
cos
d d a
AB c
x a t
+ =
=
=
III Các điểm cực đại cùng pha hoặc ngược pha với nguồn
1 Chứng minh
Xét 2 nguồn u1=u2 =acos( )t
Điều kiện để điểm M dao động với biên độ cực đại và cùng pha hoặc ngược pha với nguồn là
Khi đó u M =2 cosa ( ) (k cos t−k')
'
Kết luận:
Tập hợp các điểm này là giao điểm của hypebol có −ABd1−d2 =kAB và elip có d1+d2 =k'AB -Điểm cực đại và cùng pha với nguồn thì k và k'phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ
-Điểm cực đại và ngược pha với nguồn thì k và k' không cùng chẵn và không cùng lẻ
2 Hệ quả: Để đơn giản hơn ta tiếp tục biến đổi
1
2
' 1
'
2
'
' 2
k k k
k k k
k k d
d
+ =
− =
+
=
Kết luận:
Tập hợp các điểm này là giao điểm của đường tròn bán kính d1=k1 và đường tròn bán kính d2 =k2 -Điểm cực đại và cùng pha với nguồn thì k1 và k2 phải là số nguyên dương
-Điểm cực đại và ngược pha với nguồn thì k1 và k2 phải là số bán nguyên dương
IV Các điểm cực đại cùng pha hoặc ngược pha với nhau
1 Phương trình dao động của điểm cực đại
Xét 2 nguồn u1=a1cos( )t và u2 =a2cos( )t
Điều kiện để điểm M dao động với biên độ cực đại thì u M1 và u M2 phải cùng pha
Trang 3Khi đó ( ) 1 ( ) 2
M
Kết luận: Phương trình điểm cực đại 2 1 2 2
M
tương tự sóng 1 nguồn
2 Các điểm cực đại cùng pha hoặc ngược pha với nhau
a) Cực đại lệch pha với nguồn
1
1
2
2
2
2 2
2
2
k d
b) Cực đại cùng pha với nhau
1
2
2 ' 2
2
'
2
k
d d k
k
c) Cực đại ngược pha với nhau
1
2
2 ' 2
k
V Các điểm bất kì cùng pha hoặc ngược pha với nhau
1 Kỹ thuật quy tròn
Xét bài toán: Với k là số thực thì cos( )k 0 khi k bằng bao nhiêu và cos( )k 0 khi k bằng bao nhiêu
Chứng minh: Trên VTLG thì cos dương khi góc nằm ở phần bên phải, cos âm khi góc nằm ở phần bên trái
( )
k − + h k + h − + h k + h nếu quy tròn thì
2
k= h
k + h k +h + h k + h nếu quy tròn thì
1 2
k= + h
Kết luận: cos( )k 0 nếu k quy tròn là số chẵn, cos( )k 0 nếu k quy tròn là số lẻ
Ví dụ cos(3, 6 ) thì k =3, 6 quy tròn thành 4 là số chẵn nên cos(3, 6 ) 0
Ví dụ cos(3, 4 ) thì k =3, 4 quy tròn thành 3 là số lẻ nên cos(3, 4 ) 0
Hệ quả:
( )1
cos k cùng dấu với cos k( )2 khi k k1, 2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ → = −k k1 k2 chẵn
( )1
cos k trái dấu với cos k( )2 khi k k1, 2 không cùng chẵn và không cùng lẻ → = −k k1 k2 lẻ
Chú ý: cos( )k =0 nếu k là số bán nguyên
2 Các điểm bất kì cùng pha hoặc ngược pha với nguồn (hệ quả của mục II)
Xét 2 nguồn u1=u2 =acos( )t
Điều kiện để điểm M dao động cùng pha hoặc ngược pha với nguồn là d1+d2 =k'AB với 'k nguyên
Đặt d1−d2 =k với k là số thực thì khi đó u M =2 cosa ( ) (k cos t−k')
'
k k quy tròn Độ lệch pha so với nguồn Chẵn Chẵn →cos k( ) dương → Cùng pha
Chẵn Lẻ →cos k( ) âm → Ngược pha
Trang 4Lẻ Chẵn →cos k( ) dương → Ngược pha
Lẻ Lẻ →cos k( ) âm → Cùng pha
Kết luận: Tập hợp các điểm cùng pha hoặc ngược pha với nguồn nằm trên đường elip có 2 tiêu điểm là 2
nguồn A, B với d1+d2 =k'AB với k' là số nguyên dương
Để kiểm tra điểm nào cùng hoặc ngược pha nguồn ta xét tiếp −ABd1−d2 =kAB với k là số thực
a) Cùng pha nguồn thì k quy tròn và k' phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ
b) Ngược pha nguồn thì k quy tròn và k' không cùng chẵn và không cùng lẻ
3 Các điểm bất kì cùng pha hoặc ngược pha với nhau
Chứng minh: Xét 2 nguồn cùng biên độ u1=acos( )t và u2 =acos( )t
d d k
d d k
+ =
Xét 2 điểm M và N có ( ) ( )
( ) (12 12 )
M N
−
=
Đặt 1 2
k k k
k k k k k ò n
'
k
Kết luận: Hai điểm cùng pha hoặc ngược pha nhau thì k' nguyên (k' là hiệu bậc elip của 2 điểm) Hai điểm cùng pha nhau thì k' và k cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Hai điểm ngược pha nhau thì k' và k không cùng chẵn và không cùng lẻ
VI Công thức khoảng cách dùng để chặn hình
1 Khoảng cách từ điểm M bất kì đến trung điểm AB là R
d d AB
R = + −
2
4
=
2 Khoảng cách từ điểm M bất kì đến đường trung trực là x
2
d d
x
AB
−
= hay ( 1 2)( 1 2)
2
d d d d x
AB
(x 0 khi nằm bên phải đường trung trực, x 0 khi nằm bên trái đường trung trực)
Chứng minh:
2
2
2
2
2
AB
d d
AB AB
−
3 Khoảng cách từ điểm M bất kì đến AB là y
y =R −x
4 Chức năng Int trên máy tính để lấy phần nguyên (Alpha +)
Với x và y là các số thực dương Để tìm số giá trị nguyên nằm trong (x y; ta bấm Int y( )−Int x( )
Ví dụ từ 5,6 đến 25,1 có số giá trị nguyên là Int(25,1)−Int(5, 6)=25 5− =20
M
B
y R
Trang 5VII Các dạng bài tập
1 Dạng tính khoảng cách ngắn nhất
Từ hình vẽ bên ta rút ra được:
Các hypebol có d1−d2 càng lớn thì sẽ càng xa đường trung trực
Các elip có d1+d2 càng lớn thì sẽ càng xa đoạn thẳng nối 2 nguồn
a) Từ một điểm đến nguồn
-Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cực đại cùng pha với nguồn
đến nguồn là
-Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cực đại ngược pha với nguồn
đến nguồn là 0, 5
b) Từ một điểm đến đường trung trực của S S1 2
-Điểm cực đại cùng (ngược) pha với nguồn gần trung trực của S S1 2 nhất sẽ nằm trên đường cực đại bậc 1
c) Từ một điểm đến trung điểm của S S1 2
-Điểm cực đại cùng (ngược) pha với nguồn gần trung điểm S S1 2 nhất thì nằm trên elip nhỏ nhất
d) Từ một điểm đến đường thẳng S S1 2
-Điểm cực đại cùng (ngược) pha với nguồn gần S S1 2 nhất thì ta phải xét 2 trường hợp rồi so sánh
+TH1: Điểm đó nằm trên đường cực đại gần nguồn nhất
+TH2: Điểm đó nằm trên elip nhỏ nhất
Áp dụng các công thức ở mục VI Công thức khoảng cách để tính hoặc có thể tính bình thường cũng được
VD1: Ở mặt nước, tại hai điểm S1 và S2 có hai nguồn sóng kết hợp, dao động điều hòa, cùng pha theo phương thẳng đứng Biết sóng truyền trên mặt nước có bước sóng , khoảng cách S S1 2 =5, 6 Ở mặt nước gọi M là vị trí mà phần tử nước tại đó dao động với biên độ cực đại, cùng pha với dao động của hai nguồn
a) Khoảng cách ngắn nhất từ M đến nguồn S1 là
A 0, 3 B 0, 5 C D 2
b) Khoảng cách ngắn nhất từ M đến đường trung trực của S S1 2 là
c) Khoảng cách ngắn nhất từ M đến đường thẳng S S1 2 là
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn là 1 1
d k
d k
=
=
với k1+k2 5, 6 Chuẩn hóa =1 a) Khoảng cách từ M đến nguồn S1 là 1 1
k
d =k⎯⎯⎯=→d = Chọn C
b) M gần trung trực nhất thì M phải nằm trên đường cực đại bậc 1 và nằm trên elip lẻ nhỏ nhất
0, 625
x
+ =
c) Từ hình vẽ ta thấy M gần S S1 2 nhất thì M phải nằm trên đường cực đại gần nguồn nhất và phải nằm trên elip nhỏ nhất Nhưng vì đường cực đại gần nguồn nhất là k1−k2 =5 không cùng tính chất chẵn lẻ với đường elip nhỏ nhất là k1+k2 =6 nên ta phải xét riêng 2 trường hợp rồi so sánh
TH1:
2
0,946
k k
k k
Trang 6TH2:
2
0, 754
k k
k k
VD2: Ở mặt nước, tại hai điểm S1 và S2 có hai nguồn sóng kết hợp, dao động điều hòa, cùng pha theo phương thẳng đứng Biết sóng truyền trên mặt nước có bước sóng , khoảng cách S S1 2 =5,1
a) Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cực đại, cùng pha với nguồn đến đường thẳng S S1 2 là
b) Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm cực đại, ngược pha với nguồn đến trung điểm I của S S1 2 là
Giải a) Vẽ hình ta thấy M gần S S1 2 nhất thì M phải nằm trên đường cực đại gần nguồn nhất và phải nằm trên elip nhỏ nhất Nhưng vì đường cực đại gần nguồn nhất là k1−k2 =5 không cùng tính chất chẵn lẻ với đường elip nhỏ nhất là k1+k2 =6 nên ta phải xét riêng 2 trường hợp rồi so sánh
TH1:
2
0, 47
k k
k k
TH2:
2
0,98
k k
k k
b) M gần trung điểm I của S S1 2 nhất thì M phải nằm trên elip nhỏ nhất k1+k2 =6 Nếu lấy M nằm trên đường trung trực là k1−k2 =0 thì M sẽ cùng pha với nguồn nên ta phải lấy M nằm trên cực đại bậc 1
1, 658
MI
VD3: Tại hai điểm A, B trên mặt nước có hai nguồn sóng giống nhau Biết sóng truyền trên mặt nước với
biên độ không đổi, bước sóng là và AB=5,8 C là một điểm thuộc mặt nước và nằm trên đường trung trực của AB sao cho đoạn CA có ít nhất 1 điểm dao động với biên độ cực đại và ngược pha với hai nguồn Khoảng cách nhỏ nhất từ C tới đoạn AB có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
Giải
Để điểm C gần AB nhất thì điểm M trên CA phải nằm
trên cực đại bậc 1 và elip nhỏ nhất
3, 5
2,5 5,8 3,5 691 cos
MA AB MB
MAB
MA AB
.tan 2,9.0,3175 0,92
CI =IA MAB= Chọn A
2 Dạng đếm số cực đại cùng, ngược pha trên đoạn thẳng, đường tròn, …
Ta xét một điểm bất kì trên đoạn cần đếm rồi dựa vào hình vẽ để biểu diễn k1 theo k2 (hoặc ngược lại) Sau đó dùng MODE TABLE cho k1 chạy từ 1, 2, 3,… và để ý nếu k2 là số nguyên thì diểm đó cùng pha
Trong trường hợp số giá trị k2 quá nhiều thì ta có thể thay
1
2
'
' 2
k k k
k k k
k
+
=
+ =
để tạo mối liên hệ
giữa k và k' rồi cho k chạy từ 0,1.2… đến AB
và để ý tính chẵn lẻ k' để biết điểm nào cùng, ngược pha
Trang 7VD1: Thực hiện giao thoa trên bề mặt chất lỏng với hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 20 2cm dao động theo phương thẳng đứng với cùng phương trình u A =u B =2 cos 30t (mm,s) Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 0, 6m s/ Gọi (C) là đường tròn trên mặt chất lỏng có đường kính AB Số điểm trên (C) dao động với biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn là
A 2 điểm B 4 điểm C 6 điểm D 8 điểm
Giải
30
= = = (cm) và AB=5 2. Vì tính đối xứng nên ta xét nửa trên của (C)
ĐK cực đại cùng pha nguồn là 1 1
d k
d k
=
=
với k1, k2 nguyên dương
( )2
d +d =AB k +k = k = −k Dùng MODE TABLE
1
k = −k
Nửa trên (C) có 3 điểm nên trên (C) có 6 điểm thỏa mãn Chọn C
VD2: Ở mặt chất lỏng, tại hai điểm A và B có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng phát ra
hai sóng kết hợp có bước sóng Biết AB=8 2 C là một điểm trên mặt nước sao cho ABC vuông cân tại B Trên AC số điểm dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn là
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn là 1 1
16
d k
=
với k1, k2 nguyên dương
d =d +AB − d AB k = k + − k Dùng MODE TABLE
1
k = k + − k
Vậy có 3 điểm thỏa mãn Chọn B
Trang 8VD3: Trong hiện tượng giao thoa sóng nước với hai nguồn A, B dao động với phương trình u=acos 2( )t , cách nhau một khoảng 8 cm (với là bước sóng của sóng) Gọi là đường thẳng trên mặt nước qua B
và vuông góc với AB Số điểm trên dao động với biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn là
A 2 điểm B 4 điểm C 6 điểm D 8 điểm
Giải
Vì tính đối xứng nên ta xét nửa trên của ĐK cực đại cùng pha nguồn là
' 2 ' 2
k k
d k
k k
d k
+
= =
k
'
k k
=
Nửa trên có 2 điểm nên trên có 4 điểm thỏa mãn Chọn B
3 Dạng đếm số cực đại cùng, ngược pha bên trong hình vuông, tròn, tam giác, …
Sử dụng tính chất hình học để chặn như hình tròn chặn bán kính, hình tam giác chặn góc, hình chữ nhật chặn chiều dài và chiều rộng, …
VD1: Ở mặt nước, tại hai điểm S1 và S2 có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng kết hợp có bước sóng Cho S S1 2 =5, 4 Gọi (C) là hình tròn nằm ở mặt nước có đường kính là
1 2
S S Số vị trí trong (C) mà các phần tử ở đó dao động với biên độ cực đại và cùng pha với dao động của các nguồn là
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn
' 2 ' 2
k k
d k
k k
d k
+
= =
Vì tính đối xứng nên ta chỉ nửa phần tư thứ nhất của hình tròn
5, 4 58,32 '
k k k k
d +d S S + + − k −k
'
Có 1 điểm nằm trên đường trung trực và 4 điểm nằm ở nửa phần tư thứ nhất nên trong cả hình tròn (C) có 4.4 2 18+ = điểm Chọn A
VD2: Giao thoa sóng cơ với hai nguồn kết hợp đồng pha đặt tại A, B cách nhau 6, 2 , trên đường trung trực
AB xét điểm C là điểm đồng pha với hai nguồn và là điểm thứ 2 tính từ trung điểm AB Tìm số vị trí cực đại, ngược pha với nguồn trong diện tích tam giác ABC
Giải
Trang 9Ta có 3,1
2
AB
CA=CB = nên điểm thứ 2 cùng pha nguồn cách nguồn là CA CB= =5
ĐK cực đại ngược pha với nguồn là 1 1
d k
d k
=
=
với k1+k2 6, 2 (k k1, 2 bán nguyên) Chuẩn hóa =1
Vì tính đối xứng nên ta xét nửa bên phải (k1k2) 1
2
5
k k
2
6, 2
0, 5
2 .6, 2
AB
Có 2 điểm nằm ở nửa bên phải và 2 điểm nằm trên
đường trung trực nên trong diện tích tam giác ABC có
2.2 2 6+ = điểm Chọn B
VD3: Ở mặt nước, tại hai điểm S1 và S2 có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng kết hợp có bước sóng Cho S S1 2 =5, 4 Gọi (H) là hình vuông nằm ở mặt nước có cạnh là S S1 2
a) Số vị trí trong (H) và nằm trên đường trung trực của S S1 2 mà các phần tử ở đó dao động cùng pha với nguồn là
b) Chỉ xét 1 bên đường trung trực của S S1 2 thì số vị trí trong (H) nằm trên các đường cực đại bậc 3, 4, 5 dao động cùng pha với nguồn là
c) Chỉ xét 1 bên đường trung trực của S S1 2 thì số vị trí trong (H) nằm trên các đường cực đại bậc 1, 2 dao động cùng pha với nguồn là
d) Số vị trí trong (H) mà các phần tử ở đó dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn là
Phương pháp
Xét 1 đường cực đại bậc 3 như hình vẽ Nếu ví dụ tại điểm M ta tính
được có elip k1+k2 =5,9 đi qua và tại điểm N ta tính được có elip
1 2 9,1
k +k = đi qua thì giữa M và N sẽ có các elip 5, 9 +k1 k2 9,1
đi qua Trong số đó, giao điểm giữa elip có k1+k2 =7; 9 và hypebol
bậc 3 chính là 2 điểm cùng pha với nguồn
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn là 1 1
d k
d k
=
=
(với k k1, 2 là số nguyên dương và d1+d2 S S1 2 +k1 k2 5, 4) Chuẩn hóa =1
a) Đường trung trực của S S1 2 cắt cạnh hình vuông tại vị trí có
Vậy các elip có k1+k2 =6;8;10;12 cùng chẵn với k1−k2 =0 sẽ cắt
đường trung trực nên có 4 điểm thỏa mãn Chọn B
2
Trang 10b) Góc hình vuông có 5, 4 2 5, 4− =2, 24 nên các đường cực đại bậc 3, 4, 5 sẽ cắt cạnh bên của hình vuông
Ta sẽ kiểm tra các điểm cực đại nằm trên cạnh hình vuông thuộc elip có k1+k2 bằng bao nhiêu
5, 4
5, 4
k k
− Với k1−k2 = +3 k1 k2 =9, 7 Do đó các elip có k1+k2 =7;9 cắt hypebol bậc 3 trong hình vuông
Với k1−k2 = +4 k1 k2 =7, 3 Do đó các elip có k1+k2 =6 cắt hypebol bậc 4 trong hình vuông
Với k1−k2 = +5 k1 k2 =5,8 Do đó không có elip nào cắt hypebol bậc 5 trong hình vuông
Vậy có 3 điểm thỏa mãn Chọn C
c) Các đường cực đại bậc 1, 2 sẽ cắt cạnh phía trên của hình vuông nên ( )
1
2
2, 7 5, 4
2, 7 5, 4
Với k1−k2 = 1 x 0,885 +k1 k2 =12, 2 Do đó các elip có k1+k2 =7;9;11 cắt hypebol bậc 1
Với k1−k2 = 2 x 2, 374 +k1 k2 =12,8 Do đó các elip có k1+k2 =6;8;10;12 cắt hypebol bậc 2
Vậy có 7 điểm thỏa mãn Chọn C
d) Từ các câu a, b, c ta suy ra số vị trí cực đại cùng pha với nguồn trong (H) là 4+ +(3 7).2=24 Chọn C
4 Dạng khoảng cách gần nhất, xa nhất ở ngoài hình, trong hình
VD1 (TK 20): Ở mặt chất lỏng, tại hai điểm A và B có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng
đứng phát ra hai sóng kết hợp có bước sóng Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Ở mặt chất lỏng, gọi (C) là hình tròn nhận AB làm đường kính, M là một điểm ở ngoài (C) gần I nhất mà phần tử chất lỏng ở đó dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn Biết AB=6, 6 Độ dài đoạn thẳng MI có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A 3, 41 B 3, 76 C 3,31 D 3, 54
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn 1
2
MA k
MB k
=
với k1, k2 nguyên dương Chuẩn hóa =1
Vì tính đối xứng nên ta chỉ xét trên nửa phần tư thứ nhất k1 3,3 24, 7
6, 6
k k
MA MB AB
Với k1= 5 k2min = 5 k12+k22=50
Với k1= 6 k2min = 3 k12+k22 =45
Với k1 7 k2min = 1 k12+k2250
Vậy
2 min
45 6, 6
3, 41
VD2: Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, A và B là hai nguồn sóng đồng bộ dao động theo phương
thẳng đứng cách nhau 6, 5 ( là bước sóng của sóng truyền từ A, B) Gọi O là trung điểm AB Điểm nằm trên mặt nước, ở trong đường tròn đường kính AO có biên độ cực đại, ở xa O nhất, dao động cùng pha với
hai nguồn, cách O một đoạn gần giá trị nào nhất sau đây?
A 2,8 B 3,1 C 2, 5 D 3, 5
Giải
ĐK cực đại cùng pha nguồn 1
2
3, 25
MA k
MB k
với k1, k2 nguyên dương Chuẩn hóa =1