150 Thầy Đỗ Văn Đức – Website http //thayduc vn/ C12 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=0, x=a, x=b quanh trục hoành 1 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi cá[.]
Trang 1C12 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=0, x=a, x=b quanh trục hoành
1 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= − +x2 2 ,x y=0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành
2 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y x= 2 lnx, trục hoành và x =e Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành
3 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y= x x y− 2; =0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục Ox
A 3 4
π
6
π
C 2 3
π
D 5 6 π
Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a và x=b với
( ) ( ) 0 [ ];
f x g x ≥ ∀ ∈x a b
4 Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P y x: = 2 và đường thẳng d y: =2x quay xung quanh trục Ox
5 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường x2+ − =y 5 0 và x y+ − =3 0 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành
6 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng
giới hạn bởi các đường y= x y, = −2 x và y =0
7 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2 2 , 4 2
y x= − x y= −x khi nó quay quanh trục hoành
Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi các đường x g y y a y b= ( ), = , = quanh trục tung
8 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y x= 2, 8x y= 2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục tung
9 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
2 5, 3
x= − +y x= −y quanh trục tung
Luyện tập
10 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0,x=3, biết rằng thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x(0≤ ≤x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 x− 2
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 2A V =18 B V =17 C V =16 D V =20.
11 Cho vật thể B giới ạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = −2 và x =2 Biết rằng thiết diện của vật thể B bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(− ≤ ≤2 x 2) là một tam giác đều có cạnh 3 4−x2 Thể tích của vật thể B bằng
Nguồn: Sở Sơn La lần 2 – năm 2022
12 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
(4 )
y x= −x và trục hoành quanh trục hoành là
A 512
45
V = π B 512
3
V = π C 512
15
V = π D 512
5
13 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
e ,x
y = trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=3 quanh trục hoành là
4
4
2
2
14 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
1 ,
y x
= trục hoành và hai đường thẳng x=1,x=2 quanh trục hoành là
2
3
5
4
V =π
15 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
y= x trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=2 quanh trục hoành là
16 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
2,
y x= trục tung và hai đường thẳng y=0, y=4 quanh trục tung là
17 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
3,
y x= trục tung và hai đường thẳng y=1, y=2 quanh trục tung là
A
2 3
3.2 3
5
V
π
−
2 3
9.2 3
5
V
π
−
2 3
12.2 3
5
V
π
−
2 3
6.2 3
5
V
π
−
=
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 318 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
ln ,
y= x trục tung và hai đường thẳng y=0, y=1 quanh trục tung là
2
2
2
2
19 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3
y= −x và đường thẳng y = quanh trục tung là 1
20 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2
y= x x− và trục hoành quanh trục hoành là
21
7
31
15
21 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
ln ,
y= x trục hoành và đường thẳng x =2 quanh trục hoành là ( )2
2 ln a bπ + với a b∈ , Giá trị của a b− là
2
a b− = D a b− =3
22 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
sin cos ,
y= x x trục hoành, trục tung và đường thẳng
2
x=π quanh trục hoành là
23 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường cong
22 , 1
y x
y
= + trục hoành và đường thẳng y = quanh trục tung là 1
2
3
2
3
V =π
24 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y= x x− trục hoành quanh trục tung là
3
3
3
3
V = π
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 425 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn tâm I( )2;0 , bán kính R =1 quanh trục tung là
26 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y2 =2x và x =4 Khi
quay ( )H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
27 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= − +3 10,x y=1 và nhánh nằm bên phải trục tung của Parabol y x= 2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( )H quanh trục
hoành là
5
3
28 Trên hình vẽ có 3 đường tròn, hai đường tròn nhỏ có đường kính
bằng nhau là AO và BO , AO BO= =4, đường tròn to có đường kính là AB Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần
tô đậm quanh trục AB
29 Cho vật thể như hình vẽ, biết AC AD= = 5;BC BD= = 2 và AB =1 Thể tích khối tròn xoay khi quay vật thể này quanh trục là đường thẳng AB là
2
3
3
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 530 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y= x y= và x =4 quanh trục Ox Đường thẳng x a= (0< <a 4) cắt đồ thị hàm số
y= x tại M (hình vẽ) Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
OMH quanh trục Ox Biết rằng V =2 V1 Khi đó
2
31 Cho hình phẳng ( )H có dạng như hình vẽ, biết AB BC BC CD⊥ , ⊥
AB= BC= DC = Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( )H quanh trục BC là
A 1208 3
π
B 1280 3 π
C 1820 3
π
D 1802 3 π
32 Cho hình vuông ABCD có tâm O cạnh bằng 1 Ta cắt ra hình phẳng , ( )H từ hình vuông
này là một hình sao 4 cánh đều nhau (phần tô đậm như hình vẽ) với
1 4
OM ON OP OQ= = = = Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( )H quanh trục
NQ là
72
24
96
48
V = π
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 633 Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia ra làm 2 phần bởi một
nhánh của Parabol có đỉnh là O (như hình vẽ) Gọi ( )H là phần hình
phẳng có diện tích lớn hơn Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình ( )H quanh trục OC (trong hình vẽ) là
A 128
5
V = π B 128
3
5
V = π D 256
5
34 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2, bị phân chia làm 2 phần
bởi 1 đường parabol có đỉnh O là trung điểm của CD (như hình vẽ) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng phần tô đậm (như hình vẽ) quanh trục CD là
10
10
10
5
35 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2, bị phân chia làm 2 phần
bởi 1 đường parabol có đỉnh O là trung điểm của CD (như hình vẽ) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng phần tô đậm (như hình vẽ) quanh trục BC là
3
3
36 Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8 và một hình tròn có bán kính bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ Tính thể tích
V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quay trục AB với , AB là 1 đường kính của hình tròn và là trục đối xứng của hình vuông (như hình vẽ)
A V =170 π B 520
3
V = π C 530
3
V = π D 500
3
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van
Trang 737 Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 2, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn nửa đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ) Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng
3
3
3
3
V = π + π
38 Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao của thùng là 60cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol Thể tích của thùng bia gần nhất với con số nào sau đây? (coi độ dài của vỏ thùng không đáng kể)
Page: Tai Lieu Khoa Hoc Hay Mien Phi Kim Van