Toán học Ứng dụng tích phân tính thể tích22953

Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng  D quanh trục Ox và trục Oy.. Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này... Tính thể tích của v

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: y f x ; y0;

xung quanh trục ”.

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b  2

V y dx f x dx

Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: x f y ; x 0;

xung quanh trục ”.

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b  2

V x dy f y dy

1) Cho hình phẳng D giới hạn bởi : , 0, 0,

3





a) Tính diện tích hình phẳng D

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox

2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi Parabol

và trục

2

x

3) Cho hình phẳng  D giới hạn bởi   2 và đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay khi

lần lượt quay hình phẳng  D quanh trục Ox và trục Oy.

BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: y f x ;

 

yg x xa x; b a; b Ox

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2  2 

V  f x g x dx

1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường:



2) Cho hình phẳng D giới hạn bởi y4 x y2; x2 2 Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này.

BÀI TẬP

1) ĐHXDHN -97: Tính V Ox biết: Dy xln ,x y 0,x 1,x e

2) CĐSPBTre - KA – 2002: Cho D là miền giới hạn bởi đồ thị 2

4

y tg x y x x 



a) Tính diện tích miền phẳng D

b) Cho D quay quanh Ox, tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành.

3) ĐHHH -99: Tính V Ox biết:

3

2 , 3

x

D y y x





2





Dy x y x

;

Dy x y x

10) CĐCNHN 2003: Tính V Oy biết: x; 1; 0; 0

e







ThuVienDeThi.com

Baứi 1 :

a) Tớnh theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay do hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (C): y = 3 2 vaứ caực

3

1

x

x 

ủửụứng y = 0 , x = 0 , x = 3 quay quanh

* truùc Ox (TN 03 – 04 ) * truùc Oy

b) Xét hình phẳng (H) được giới hạn bởi Ox, (L) : f x( )e x 1 x và các đường thẳng x = 0, x = 1 Khi quay quanh trục Ox, hình (H) sinh ra một khối tròn xoay Tính thể tích của khối tròn xoay

đó.(ĐH-Huế-97)

c)(HV-NH-HCM-99) Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đường cong (L): yx ln(1x3), trục Ox và đường thẳng x = 1

Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox

d)(ĐH-NNI-99) Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

Hãy tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi

2 x và 0 x , 0 y , x

cos

2

x

sin









cho D quay quanh trục Ox

Baứi 2 : Caực Baứi Toaựn Theồ Tớch Trong ẹeà Thi ẹaùi Hoùc

1(ĐH-HH-2000) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y(x2)2và y = 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh quanh:

a/ Trục Ox b/ Trục Oy

2(ĐHQG-HCM-2000) Có D là miền kín giới hạn bởi các đường y x, y2x, y = 0 a/ Tìm diện tích của miền D

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy

3(ĐHQG-HN-99) Tính thể tích tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi các parabol yx2 4x6 và yx22x6

4)(ĐH-SP-HN-99) Trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y  x ; y  x , x  5 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (D) quanh trục Ox

5(ĐH-TS-2000) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường:

y4x2 và y2x2

Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta được một vật thể Tính thể tích vật thể này

6(ĐH-HH-HCM-99) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các

đường: 3; y x2 khi hình phẳng đó quay quanh trục Ox

3

x

7(ĐH-NNI-99) Cho D là một miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong:

2

x

1

1

y





2

x

a/ Tính diện tích miền D

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi D quay quanh trục Ox

8(ĐH-NNI-99) Cho miền phẳng D bị giới hạn bởi các đường:

4 x và 4 x

; 0 y

;

x

tg

a/ Tính diện tích miền D

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Oy

9(ĐHSP HNII 2001) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn  2 2 2 với 0 < b < a

b y a

10(ĐH-Y-TPHCM 2001) Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường y x10; y1;

(x > 0) và (D) nằm ngoài parapol Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo

2

x

nên khi (D) xoay quanh trục Ox ThuVienDeThi.com

11( §H-An Giang-2001) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ sinh ra bëi phÐp quay quanh trơc Ox cđa

h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: yex, yex2, x = 0, x = 2

12) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình H giới hạn bởi :

y2 = x3 , y = 0 , x = 1 khi nó quay quanh trục :

13) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình H giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay quanh trục Ox :

a) y = x2 , y = 3x

b) y 4 , y = - x + 5

x



c) y2 – x2 +1 = 0 , x = 2

d) y = 2 , y = 2 – x , x = 5

1

x x





e) y = x , y = - x , x = 5

f) y = x , y = x quay xung quanh trục Oy

ThuVienDeThi.com