SKKN ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

Một trong những bài toán thực tế đó là về tính diện tíchhình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân.. Cóchăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này

MỤC LỤC

Trang

1 Lời giới thiệu……… 2

2.Tên sáng kiến……… 3

3.Tác giả sáng kiến……… 3

4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… 3

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… 3

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu……… 3

7 Mô tả bản chất của sáng kiến ……… 3

NỘI DUNG 5 Phần 1 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ……… 5

Dạng 1 5

Dạng 2………… 6

Phần 2 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể 10

Dạng 1 10

Dạng 2 11

Loại 1 11

Loại 2 13

Loại 3 15

Loại 4…… 17

8 Những thông tin cần được bảo mật……… 21

9 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……… 21

10 Đánh giá lợi ích thu được……… 21

11 Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……… 21

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện đổimới trong thi cử, trong đó môn Toán cùng với các bộ môn khác chuyển từ hình thức thi tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo

và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục luôn có những bài toán thực tế Những bàitoán thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học sinh thường

bỏ qua những bài toán thực tế đó Một trong những bài toán thực tế đó là về tính diện tíchhình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân Vấn đề tính diện tích của cáchình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung là đa giác học sinhđều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tíchcác khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung

là khối đa diện) học sinh đều được học công thức tính thể tích

Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh

có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy và học cácvấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyênnhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu Do

đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật thể ởchương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Đa số các em học sinh thường

có cảm giác nhìn vào bài toán là đã không muốn đọc rồi bởi vì nó dài và còn khó nữa Cóchăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung các emthường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế

và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toáncần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Càng khó khăn hơn cho nhữnghọc sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế Trongsách giáo khoa bài tập về vấn đề đó còn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế còn

2

sơ sài Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang mang cho học sinh

vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết rất lanman, nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh Nhận thức được vấn đề đó nên tôi viết

đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu

tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng Từ đó giúp họcsinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích Học sinh thấy được những ứngdụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và họctốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm giáckhông làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn

-Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể

3

- Nêu các dạng toán, các phương pháp giải cho từng dạng toán, hướng dẫn cho học sinhluyện tập rèn luyện kỹ năng, say mê hứng thú với môn học.

- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, không nhớ công thức một cách máy móc, không còn cảm giác run sợ trước những bài toán thực tế này

4

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y x 3 1 , trục hoành Ox, trục tung và đường thẳng x 2

Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc

(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi.

Bài 2 Cho hàm số y x 3 3x 2 2 có đồ thị (C ) Tính diện tích của hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2

Dạng 2 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f ( x ),y g( x ) liên tục trên

đoạn a;b và hai đường thẳng x a,x b có diện tích S được tính theo công thức:

b

S f (x) g(x)dx a

Bài 4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 3 2x và

y = x (đồ thị như hình vẽ).

y 4 3 2 1

x 2 1 2 x 0 x 0 x 0

3x 4 x x( 3x 4 1) 43x24 16 x2 4 x 2

7

Bài 8 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Ông An có một mảnh

vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốntrồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hìnhvẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi

ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? 8m

64

4

hoặc bấm máy tính casio)

Vậy số tiền ông An cần là: 2.38, 2644591.100000 7652891 7653000

Chọn đáp án B.

Bài 9 Ông Hùng muốn làm một cổng đồng có hình dạng

và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong

phía trên là một parabol Giá 1m2 cổng đồng có giá là

7.000.000 đồng Vậy ông Hùng phải trả bao nhiêu tiền để

làm cổng đồng như vậy (làm tròn đến hàng nghìn)

Giải:

8

Hình 7

Ta có mô hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên Diện tích cổng đồng

gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol P và trục hoành.

Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol P ta tìm được phương trình của parabol P là:

Bài 10 Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD,

đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin

(như hình vẽ) Biết AB 2 (m) và AD 2(m) Tính diện tích phần còn lại.

Bài 11 (THPT Chuyên Đại học Vinh) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất

mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi

một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó y

có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành

từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ

Oxy là 16y 2 x 2 (25 x2 ) như hình vẽ bên Tính diện x

tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị

trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét

Giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x 5, x 0, x 5

Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần

tư thứ nhất

9

Vậy phần diện tích trồng cỏ là S trongco 2 S hinhtron S119, 47592654

Vậy số tiền cần có là S trongxo 100000 1.948.000 (đồng)

Phần 2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

Dạng 1: Tính thể tích của vật thể

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a ,

x b a b Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a x b cắt C theo một thiết diện có diện tích S x Giả sử S x là hàm liên tục trên đoạn a ; b

10

Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng P và Q được tính theo

b công thức V S x dx

a

Bài 13 Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 3 , có thiết diện

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 3 là

Bài 14 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2 , biết

rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành

Bài 16 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

Bài 17 Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y e x , y 0, x 1, x 1 Tính thể

tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành Giải:

Thể tích cần tìm V e x 2 dxe 2 x dx .

2

Bài 18 Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sin x, trục hoành và hai đường

thẳng x 0, x Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Giải:

Thể tích cần tìm V sinx 2 dx sin 2 xdx 2 .

Bài 19 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y tan x, trục hoành và hai

đường thẳng x 0, x 4 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.

12

Bài 20 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn

đường sau quanh trục hoành Ox y x 2 2x , y = 0, x = 0, x = 1.

đường sau quanh trục hoành Ox y

xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn ln x , y = 0, x = 1, x = e.

Bài 22 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y sin2x cos x , y 0, (0 x) xung quanh trục hoành Ox.

x a ; x b (với f x g x 0, x a ; b ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay

b

D quanh trục Ox được tính bởi công thức: V f 2 x g 2 x dx

a

Bài 23 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2x x 2 và y x khi quay quanh trục

Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Bài 24 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y x

2 , y x quay quanh trục hoành bằng bao nhiêu?

Giải: Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi

bốn đường y = x + 2 , y = 0, x = -2, x = 1 quanh trục hoành Ox

V1(x 2)2 dx (x2 4x 4)dx ( x

Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn

đường y = 4- x 2 , y = 0, x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.

Loại 3 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các

đường x g y , trục tung và hai đường y c , y d quanh trục Oy được tính theo

d công thức: Vg 2 y dy

c

Bài 27 Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường: y ln x , trục tung, và hai đường

thẳng y = 0, y = 1 Tính thể của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh

trục tung

Giải:

Ta có y ln xx e y

15

Do đó thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số

x ey , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 là :

Bài 28 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) : x2 4y2 4 , trục tung, hai

đường thẳng x = 2 , y = 2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình

elip (E ) , trục tung và hai đường y = 0, y = 1 quanh trục tung

V1 (1 4 x 2 )2 dx 1 (4 x 2 )dx .11 11

1

Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường

thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0, y =1 quanh trục tung.

Loại 4 Một số bài toán khác

Bài 29 Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (C): x 2 y 2 16 với y 0

(hình vẽ) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán

hính bằng 4 Tính thể tích của mặt cầu này.

-1

16

Bài 30 Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt

phẳng vùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một

khoảng bằng 4 dm để làm một chiếc lu đựng nước Thể tích cái lu bằng

như một cái ly như hình vẽ dưới đây Người ta đo được A

đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm Biết

rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là

một parabol Tính thể tích V cm3 của vật thể đã cho

Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol P Vì parabol P đi qua các điểm

A 2;6 ,B 2;6 và I0;0 nên parabol P có phương trình y 3 x2 Ta có

Bài 32 Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10 cm Cắt khối

trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáygóc 45o Thể tích của khối gỗ bé là

A. 2000 cm3 B. 1000 cm3

17

Bài 33 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y x , y 0 vàx4quanh trụcOx.Đườngy

thẳng x a, (0 a 4) cắt đồ thị hàm y x tạiM

(hình vẽ bên) Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành

khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng

Chọn đáp án B.

18

Bài 34 Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox quay quanh trục Ox Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm Tính thể tích V của lọ.

A V 8 dm3

B V 152 dm3

C V 7 dm3

D V 17 dm3

Bài 35 Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R 0, 5m và hai

mặt phẳng song song cách đều tâm I. Biết chiều cao của trống là h 0, 8m. Tính thể tích V

Bài 37 Cho hai đường tròn (O1; 5) và (O2; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là

một đường kính của đường tròn (O2 ). Gọi (D) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi haiđường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ) Quay (D) quanh trục

O1O2, ta được một khối tròn xoay Tính thể tíchV của khối tròn xoay được tạo thành ?

19

Bài 38 Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi 1

4 cung tròn có bán kính R 2, đường cong

y 4 x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ)

của khối tạo thành khi cho hình (H)

Bài 39 Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông

như hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là

20

8 Các thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân

- Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học hữu hiệu nhất

- Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn luôn khôngngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại vàxây dựng thêm những bài toán có nội dung thực tiễn phát triển năng lực thực tiễn chohọc sinh

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu.

- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” đã giúp học sinh khắc phục được những

“sai lầm” và những khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng cũng như

tính thể tích của vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12

- Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, đã cótăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn còn Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả

là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui vàhưng phấn mỗi khi bước vào tiết học

- Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chuyên môn và cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt

- Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho những giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:

21