SKKN các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Người thực hiện: Nguyễn Hữu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2019

MỤC LỤC

1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… …… …1

1.2 Mục đích nghiên cứu………… ……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu………….……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay 3 2.3.1 Lý thuyết cơ bản 3 2.3.2 Lập ma trận chuyên đề 4 2.3.3 Các dạng toán theo ma trận……….5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

3 Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị……… ……… 19

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khốilăng trụ, khối chóp, …gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học côngthức tính thể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khôngđơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thểhoá, trừu tượng hoá

Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ởchương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em họcsinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khihọc vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máymóc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bịnhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ

để “chia nhỏ” thể tích mới tính được

Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp

12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắcphục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính thể tích của vật thể trònxoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về thể tích mà học sinh đã học

ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trongchương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đềứng dụng của tích phân Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức

độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất.Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyệnthi và ôn tập thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trườngTHPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khaithác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tíchphân trong tính thể tích khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức khác nhau.Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh cácdạng toán của ứng dụng tích phân trong hình học theo các cấp độ thông hiểu,vận dụng, vận dụng cao Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồngnghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương phápgiải các bài toán của ứng dụng tích phân trong hình học

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Ứng dụng của tích phân trong hình học Nội dung nằm ở chương 3 sách giáokhoa Giải tích 12

Lập ma trận các dạng toán tính thể tích của khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học

- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy vàhoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổthông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúpcho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toántính thể tích của khối tròn xoay

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán Giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia

Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hìnhphẳng (hay vật thể tròn xoay) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so vớikhi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây Học sinh không tận dụngđược kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đềnày

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính thể tích vật tròn xoay một cách máymóc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xétdấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ thểtích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay.

Ox tại điểm x a x b cắt C theo một thiết diện có

diện tích S x Giả sử S x là hàm liên tục trên

a; b Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn

bởi hai mp P và Q được tính theo công

bthức: V S x dx

a

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay

miền D được giới hạn bởi các đường

y fx ; y 0; x a; x b quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành

c) Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các

đường y f x , y g x , x a, x b

(Với

f x g x 0 x a;b ) thì thể

tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D

quanh trục Ox được tính bởi công thức:

b

f2 x g2 x

a 2.3.2 Lập ma trận chuyên đề.

DỤNG khi quay hình phẳng giới

tính thể tích khối tròn xoay 11 12, 13,

14Bài toán cực trị liên quan Câu Câu 17 2tính thể tích khối tròn xoay 16

Tính thể tích khối tròn xoay

khi quay hình phẳng giới

Câu 1 Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường y x 2 2x , y 0, x 0, x 1 quanh trục hoành có giá trị bằng

Lời giải Chọn A

x5 4 1 8

Ta có: V x 2 2 x d xx 4 4 x 3 4 x 2 dx x 4 x3

Câu 2 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y1 sin4 x cos4 x , y 0 , x 2 , x

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox

bằng

7 2 7 2 3 2 3 2

Lời giải Chọn A

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox là

hoành, hai đường thẳng x 1, x 2 Thể tích của vật thể tròn xoay tạo

thành khi cho hình H quay xung quanh trục Ox bằng

Câu 4 Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x4 1 và trục

hoành Thể tích vật thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành là:

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x4 1 và trục hoành là

x 1

Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành là:

V 1 x 4 1 2 dx 64 (đvtt).

451

số y 2x , y 1 x , y 0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).

đường y f x cos x và y g x x 2, x 0, x quanh trục

2

Ox gần nhất với kết quả nào sau đây

Lời giải Chọn A

Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y f x , trục hoành

Ox ,x 0,x quanh trục Ox là 2

cos x 2dx .2

0Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y g x , trục hoành

Câu 8. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và

x 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 3 thì được thiết diện là một hình

trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1

m Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu làcác đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là baonhiêu ?

A 425162 lít B 212581lít C 212,6lít D 425,2lít

Lời giải Chọn D

Đơn vị tính là dm Gọi P : x ay 2 by c qua A 4;0 ,B 3;5 ,C 3; 5

phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xungquanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V màchiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu

4dm

10

Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn C có phương trình x2y236 Khi đó

nửa phần trên trục hoành của C quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu tâm O bánkính bằng 6 Mặt khác ta tạo hình phẳng H giới hạn bởi nửa phần trên trục

hoành của C , trục Ox và các đường thẳng x 4, x 4 ; sau đó quay

H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay chính là chiếc lu trong đề bài.

Ta có x 2 y 2 36 y36 x2 nửa phần trên trục hoành của C là

y 36 x2 Thể tích V của chiếc lu được tính bởi công thức:

dưới Diện tích hoa văn trang trí (phần tô đậm) bằng

Diện tích hoa văn trang trí bằng bốn lần diện tích một cánh hoa được tính theocông thức sau:

Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A, B sao

cho AB là một đường kính của đường tròn O2;3 Gọi D là hình

phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần

được gạch chéo như hình vẽ) Quay D quanh trục ta được một

khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

Lời giải Chọn D

O1O2

12

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 O , O2C Ox , O2A Oy

Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục Ox , khi

đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi

quay hình H2 xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được

khi quay hình H1 xung quanh trục Ox. Ta có V2

đường kính lần lượt là 2 và 4 Mặt xung quanh của bình là một phần

của mặt tròn xoay khi quay đường cong y x 1 quay quanh trục Ox Thể tích của bình cắm hoa đó bằng

Lời giải Chọn B

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính

của đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2

Ta có x 1 1 x 2 và x 1 2 x 5.

Vậy thể tích của bình cắm hoa là

Câu 15 Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bánkính

R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại (xem

hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi

(S2)

Lời giải Chọn C

y (C ) : x 2 y 2 R2

2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng P vuông góc

với trục Ox và mặt cầu tâm O , R là hình tròn Diện tích thiết diện là

y x a và y a 2 a x , 0 a 2, khi quay quanh trục Ox Giá trị

của a để V đạt giá trị lớn nhất là

( S1 ) và

A a 1 B a 1 C a 3 D a 3

2

Lời giải Chọn B

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

Câu 17 Cho Parabol (P):y 16 x2 và hai điểmA a;0 , B a;0 ; 0 a 4

Gọi ( H) là hình phẳng giới hạn bởi ( P) và trục ox , ( H1)là hình chữnhật ABCD (C , D là 2 điểm thuộc ( P) ) Gọi V là thể tích hình trònxoay có được khi xoay ( H) quanh Oy và V1 là thể tích hình tròn xoay cóđược khi xoay ( H1) quanh Oy Tính giá trị lớn nhất của tỉ số V1

V

Lời giải Chọn C

15

Ta có V 16 y dy 128 Vì D ( P) nên D ( a;16 a 2 ); AD 16 a2

0

Do đó khi xoay ( H1) quanh Oy ta được hình trụ tròn có bán kính R a và

chiều cao h 16 a2 Suy ra V1 a 2 (16 a 2 ) 16a 2 a4

Suy ra V đạt giá trị lớn nhất là 128 2 khi a 2 2

Câu 18 Gọi Hlà phần hình phẳng giới hạn bởi các đồ thịy sin x y cosx,

x ; x 3 Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay H quanh trục

Gọi V2 là thể tich sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

trong hình) Khối tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thể tíchbằng bao nhiêu?

y g x x 6 (phần tô đậm trong hình) Khối tròn xoay tạo thành

khi quay H xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

17

A. 216 B. 949 C. 817 D. 836.

Lời giải Chọn D

Hình 1 biểu diễn thiết diện của mặt phẳng chứa trục hoành và khối tròn xoay tạo

thành khi quay H xung quanh trục hoành.

Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi các đường f x x2 8 x 12, g x x6 , y f x x2 8 x 12, y 0 như phần tô đậm ở hình 2.

Khối tròn xoay tạo thành khi quay H xung quanh trục hoành cũng là khối tròn xoay tạo thành khi quay K xung quanh trục hoành

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y g x và y f x là nghiệm của

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính thể tích khối tròn xoay Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết

áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu

và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Điểm 8 Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khidạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay giáoviên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bàitốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót

và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung

và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị.

19

Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.

XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Hữu Nam

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1].Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.

[2].Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.

[3] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &

Đào tạo

[4] Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT

trên toàn quốc

20