CHUYÊN ĐỀ VECTO LỚP 10

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.. Cĩ bao nhiêu vectơ khác 0, cĩ điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho... Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD.. Gọi E, F lần lượt

CHUYÊN ĐỀ 1 VECTƠ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Vectơ

a) Khái niệm: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

 Nhận xét:

+ Vectơ thường được kí hiệu bởi AB,a,   Khi đó

 A: là điểm gốc

 B: là điểm ngọn

 Hướng từ A đến B

+ Khi điểm gốc và ngọn trùng nhau ta có các Vectơ: AA, BB  đgl

là Vectơ – không Kí hiệu: 0

+ Độ dài đoạn thẳng AB đgl độ lớn Vectơ AB Kí hiệu: AB

b) Vectơ cùng phương Vectơ cùng hướng Vectơ bằng nhau

+ Hai vectơ đgl cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

Ví dụ 1 Cho 2 điểm A và B phân biệt Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng và bao nhiêu vectơ khác 0

Ví dụ 2 Cho ABCD cân tại A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB

a) Đẳng thức AB=AC đúng hay sai?

b) Các vectơ cùng hướng với AC ?

c) Các vectơ ngược hướng với BC ?

d) Các vectơ bằng nhau?

Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng ABCD là hình bình hànhAB=DC

a

B

A

2 Các phép toán trên Vectơ

a) Tổng hai vectơ

 Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b Từ điểm A bất kì, ta vẽ các vectơ: AB =a và BC =b Khi đó đặt c=AC đgl tổng của a và b Kí hiệu: a+ =b c

 Tính chất:

+ = + + + = + + + =

 Các quy tắc cần nhớ:

+ Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B,C ta có: AB+BC =AC

+ Quy tắc hình bình hành: AB+AD=AC

b) Hiệu hai vectơ

 Vectơ đối: Cho vectơ a Vectơ cùng độ lớn và ngược hướng với a đgl vectơ đối của a Kí hiệu: a-

 Tính chất:

+ "A, B: AB = -BA

+ I là trung điểm AB IA= -IB

+ - -( )AB =AB

 Hiệu 2 vectơ: Cho hai vectơ a và b Hiệu của a và b, kí hiệu a-b, được định nghĩa bởi:

( )

a- = + -b a b

 Quy tắc cần nhớ:

+ Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B,C ta có: AB-AC=CB

c) Tích của một vectơ với một số

c

b a

b

B

A

 Định nghĩa: Cho vectơ a và k Ỵ  Ta cĩ tích của a với số k , kí hiệu ka và được xác định như sau:

+ Nếu cùng hướng với

k 0 ka :

ka k a

ìïï ïï





+ Nếu ngược hướng với

k 0 ka :

ka k a

ìïï ïï

< íï =ïïïỵ





 Tính chất:

+ k l.a( ) =( )kl a + (k+l a)=ka+la

+ k a( )b =kakb + ka 0 k 0

é = ê

êë



 

 Điều kiện để 2 vectơ cùng phương:

+ a và b b ( ¹0) cùng phương  $ Ỵk :a=kb + A, B,C thẳng hàng  $ Ỵk :AB =kAC

Ví dụ 1 Cho I là trung điểm AB M là một điểm bất kì Chứng minh: MA+MB=2MI

Ví dụ 2 Cho G là trọng tâm ABCD Chứng minh: GA+GB+GC =0

Ví dụ 3 Chứng minh rằng 4 điểm A, B,C, D bất kì ta cĩ: AC+BD =AD+BC

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP

 Dạng 1 Liệt kê vectơ

 Bài tập 1 Cho lục giác đều ABCDEF cĩ tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA

b) Tìm các vectơ bằng với AB

c) Hãy vẽ các vectơ bằng với AB và cĩ điểm đầu là O, D, C

 Bài tập 2 Cho 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt Cĩ bao nhiêu vectơ khác 0, cĩ điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho

 Bài tập 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC,CD, DA Chứng minh NP =MQ và PQ =NM

 Bài tập 4 Cho hình bình hành ABCD Dựng AM=BA, MN =DA, NP =DC, PQ =BC

 Bài tập 5 Cho lục giác đều ABCDEF Hãy vẽ các vectơ bằng AB thỏa mãn:

a) Có điểm đầu là B, F,C

b) Có điểm cuối là F, D,C

 Dạng 2 Chứng minh một đẳng thức vectơ

 Bài tập 1 Cho hai tam giác ABC và A ' B ' C ' lần lượt có trọng tâm là G và G ' Chứng minh

GG ' AA ' BB ' CC '

3

   

 Bài tập 2 Cho tứ giác ABCD Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh

AC+BD=AD+BC=2IJ

 Bài tập 3 Cho 5 điểm bất kì A, B, C, D, E Chứng minh: AD+BE+CF =AE+BF+CD

 Hướng dẫn Ta có:

           

      

 =

   

 Bài tập 4 Cho tam giác ABC Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn AB, BC và CA sao cho: AM 1AB ; BN 1BC ; CP 1CA

Chứng minh: AN+BP+CM=0

 Hướng dẫn Ta có:

üïï

ïï ïï

ïï ïï

ïïïþ

    

        

    

 Bài tập 5 Gọi AM là trung tuyến của ABCD và D là

trung điểm của AM Chứng minh rằng:

a) 2DA+DB+DC =0

b) 2OA+OB+OC= 4OD , với O là điểm tùy ý

D

M A

DB+DC =2DM= -2DA 2DA+DB+DC =0

 Bài tập 6 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF Hãy chứng minh các đẳng thức sau:

2

  

b) OA+OB+OC+OD=0

c) MA+MB+MC+MD=4MO (Với M là một điểm bất kì)

 Hướng dẫn Ta có:

 Bài tập 7 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G và M là trung điểm của BC Chứng minh:

a) AH 2AC 1AB

-  

b) CH 1(AB AC)

3

  

c) MH 1AC 5AB

-  

 Hướng dẫn Ta có:

a) Ta có AGCH là hình bình hành nên:

AH+AG=AC AH=AC-AG

     

 =- +  = - 

3

   

-          

 Bài tập 8 Cho tam giác ABC , bên ngoài các tam giác vẽ các hình bình hành ABMN, BCPQ và CARS Chứng minh RN+MQ+PS=0

 Hướng dẫn Ta có:

RN MQ PS RA AN MB BQ PC CS

        

      

G

M N A

H

 Bài tập 9 Cho tam giác ABC Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC

và BC Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có:

OA+OB+OC=OM+ON+OP

 Bài tập 10 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD Chứng minh: 2 AB(+AI+JA+DA)=3DB

 Hướng dẫn I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD nên: DB =2IJ Ta có:

2 AB+AI+JA+DA =2 DA+AB+JA+AI =2 DB+JI =3DB

 Dạng 3 Tính độ dài của vectơ

 Bài tập 1 Cho tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC Tính AB , AM , MC  

 Bài tập 2 Cho hình vuông ABCD cạnh b Tính DA-AB , DA +DC , DB +DC

 Bài tập 3 Cho tam giác đều cạnh a Tính AB+AC , AB -AC

 Bài tập 4 Cho hình vuông ABCD cạnh b Tính DA-AB , DA +DC , DB +DC

 Bài tập 5 Cho tam giác đều cạnh a, I là trung điểm của BC Hãy vẽ và tính độ lớn các vectơ sau:

a) AB+AC b) AB+AI c) AB AC- d) AC BI-

 Dạng 4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng, ta cần chứng minh AB và AC cùng phương hay AB=kAC k ( ¹0)

 Bài tập 1 Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của CD Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM=2MI Chứng minh ba điểm A, M, C thẳng hàng

 Hướng dẫn Ta có:

BM=2MI AM-AB=2 AI-AM

     

  

   

M

I

D A

 Bài tập 2 Cho tam giác ABC , trọng tâm G Gọi D là điểm đối xứng của A qua B và E là điểm trên đoạn AC sao cho AE 2AC

5

=

a) Tính DE, DG  theo AB và AC

b) Chứng minh 3 điểm D, G, E thẳng hàng

c) Gọi K là điểm thỏa mãn KA+KB+3KC=2KD Chứng minh KG/ /CD

 Hướng dẫn Ta có

a) Ta có:

2

DE AE AD AC 2AB

5

-    

1

3

     

b) Theo câu a ta có:

3

üïï

ýï ï

    

 

c) Ta có: KA+KB +3KC=2KD KA+KB+KC=2 KD(-KC)3KG =2CD

KG, CD

  cùng phương

Vì G,C, D không thẳng hàng nên KG và CD song song

 Bài tập 3 Cho tam giác ABC Gọi D là điểm xác định bởi BD 2BC

3

=

 

và I là trung điểm của

AD Gọi M là điểm thỏa mãn AM =xAC với x Î 

a) Tính BI theo BA và BC

b) Tính BM theo BA và BC

c) Tính x để ba điểm B, I, M thẳng hàng

 Hướng dẫn Ta có:

a) I là trung điểm AD nên:

G A

D

E

b) Ta có:AM=xAC BM-BA=x BC(-BA)BM=(1-x BA)+xBC

c) Ta có: Để ba điểm B, I, M thẳng hàng  tồn tại số k sao cho BM =kBI

BM kBI 1 x BA xBC BA BC 2 1 x 3x x

     

 Bài tập 4 Cho ba điểm A, B, C và O tùy ý Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:

+

-+

 



 Hướng dẫn Ta có: A, B,C thẳng hàng AC =kCBOC-OA=k OB(-OC)

 Bài tập 5 Cho tứ giác ABCD Trên các cạnh AB và CD ta lấy các điểm M, N sao cho

AB = DC Chứng minh rằng trung điểm của ba đoạn thẳng AD, BC, MN thẳng hàng

 Hướng dẫn

ïï

= ïïî

 

 

+ Ta có: 2PQ= AB+DC

+ Ta có: 2PR=AM+DN =k AB(+DC)

 Bài tập 6 Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D sao cho BD 3BC

5

=

 

và một điểm E thỏa mãn 4EA+2EB+3EC=0

a) Tính ED theo EB và EC

b) Chứng minh 3 điểm E, A, D thẳng hàng

 Hướng dẫn

a) Ta có:

3

BD BC 5BD 3BC 5BD 3 BD DC

5

      

R Q

P A

B

C

D

M

N

A

E D

( ) ( )

2DB 3DC 0 2 DE EB 3 DE EC 0

       

  

b) Ta có:

ïî

 

  

 Bài tập 7 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC , gọi D và E là 2 điểm sao cho:

BD=DE=EC

a) Chứng minh rằng: AB+AC=AD+AE

b) Tính vectơ AS=AB+AC+AD+AE theo AI

c) Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng

 Hướng dẫn

a) Ta có: AB+AC=AD+DB+AE+EC =AD+AE+EC+DB =AD +AE

b) Ta có: I là trung điểm BC nên: AB+AC =AD+AE=2AI Do đó ta có:

AS=AB+AC+AD+AE=4AI

 A, I, S thẳng hàng

 Bài tập 8 Cho tam giác ABC , lấy các điểm M, N, P sao cho:

MB-2MC=NA+2NC=PA+PB =0

      

a) Tính PM, PN  theo AB, AC 

b) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

 Hướng dẫn

a) Ta có:

1

2

1 AB 2

=

-     

   

   

3

-    

 

N P

C

A

      

b) Theo câu a ta có: PN 1PM

3

 

M, N, P thẳng hàng

 Bài tập 9 Cho tam giác ABC Gọi M, N là các điểm sao cho: MA=2MB và 3NA+2NC=0

a) Tính MN theo AB, AC 

b) Chứng minh MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

 Hướng dẫn

a) Ta có:

MA=2MB MA=2 MA+AB  MA = -2AB

3NA 2NC 0 3 NC CA 2NC 0 NC AC

5

      

2

5

 = += - + 

b) Ta có:

÷

5

6

 =  MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

 Dạng 5 Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức hay tính chất cho trước

Nếu là hệ thức vectơ thì biến đổi về dạng AM=k.v, trong đó k là số thực thay đổi, v là vectơ cho trước Như vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và cùng phương với v

Nếu là hệ thức về độ dài thì rút gọn hệ thức đã cho về dạng: AM =l (với A cố định, l là độ dài cho sẵn) Như vậy tập hợp các điểm M là:

a) Đường tròn tâm A bán kính l nếu l>0

b) Điểm A nếu l= 0

c) Æ nếu l<0

 Bài tập 1 Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

MA+MB+MC+MD =4AB

 Hướng dẫn

G

I

A

M

N

+ Gọi O là trọng tâm ABCDOA+OB+OC+OD =0

+ Do đó ta có: MA+MB+MC+MD =4AB  4MO =4AB  MO =AB

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm O bán kính AB

 Bài tập 2 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn các điều kiện sau:

a) MA =MB b) MA+MB+MC =0 c) MA+MB = MA+MC

 Hướng dẫn

a) Ta có tập hợp các điểm M cần tìm là tập rỗng

b) Gọi G là trọng tâm ABCD ta có: GA+GB+GC =0 Do đó ta có:

MA+MB+MC = 0 3MG= 0 MºG Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là điểm G

c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó ta có:

MA+MB = MA+MC  2ME = 2MF ME=MF Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung trực của đoạn EF

 Bài tập 3 Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức sau: 4DA-DB=0 ; EA +2EC =0 b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA MB- = MA+2MC

 Hướng dẫn

a) Ta có:

1

3

        

1

EA 2EC 0 EA EC 3EC 0 CE CA

2

        

b) Ta có:

           

 Bài tập 4 Cho tam giác ABC Gọi M, N là 2 điểm bất kì

a) Chứng minh rằng u =NA+NB-2NC không phụ thuộc vào điểm N

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA+MB+MC =a với a cho trước

 Hướng dẫn

a) Ta có: u =NA+NB-2NC =NA-NC+NB-NC =CA+CB Do đó u không phụ thuộc vào điểm N

b) Gọi G là trọng tâm ABCD Ta có:

a

3

   

Do A, B,C cố định nên G cố định Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính a

3

 Bài tập 5 Cho tam giác ABC và I là trung điểm của BC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

2 MA = MB+MC

 Hướng dẫn Ta có:

2 MA = MB+MC 2 MA =2 MI MA=MI Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn AI

 Bài tập 6 Cho tứ giác ABCD

a) Xác định điểm O sao cho: OA+4OB=2OD

b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức MB+4MC-2MD = 3MA

 Hướng dẫn

a) Ta có:

AO



       

  

 

  4

IB 3

=

b) Ta có: OA+4OB =2OD OA+4OB-2OD =0

          

 Bài tập 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:

MA+MB+MC+MD+ME+MF =3 MA-MD

CHUYÊN ĐỀ 2 TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Trục tọa độ

 Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn

vị i Kí hiệu trục x ' Ox hay ( )O, i

 Cho điểm M tùy ý trên trục Khi đó tồn tại duy nhất số k sao cho: MO=k.i Số k đgl tọa độ của điểm M đối với trục ( )O, i

 Cho vectơ a nằm trên trục ( )O, i Khi đó có duy nhất số t sao cho a =t.i Số t đgl tọa độ của vectơ a đối với trục ( )O, i

 Tọa độ điểm M chính là tọa độ vectơ OM

 Nếu 2 điểm A, B nằm trên trục Khi đó, có duy nhất số t sao cho AB=t.i Ta gọi số t đó là

độ dài đại số của vectơ AB đối với trục ( )O, i Kí hiệu AB

 Nhận xét:

 AB=AB.i

 Nếu AB cùng hướng với i thì AB=AB

 Nếu AB ngược hướng với i thì AB= -AB

 Nếu hai điểm A, B trên trục lần lượt có tọa độ là a và b thì: AB= -b a

 Định lí Trên trục số:

 Với 3 điểm bất kì trên trục, ta có: AB+BC=AC (hệ thức Sa‐lơ)

 

x'