BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ VECTO LỚP 10

Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD.. d Gọi G1 là trọng tâm của BCD... Gọi G là trọng tâm của ABC.. Tính tỉ số KA KB Bài 18 Cho hìn

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ

I CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ

1) Quy tắc ba điểm :

Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB BC AC

  

hoặc AB AC CB

  

2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành     AB AD   AC

3) Quy tắc trung điểm :

M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý     MA MB   0

và IA IB     2 IM 

4) Quy tắc trọng tâm :

G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý , ta có :

GA GB GC        0

và MA MB MC       3 MG 

5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng   AB  k AC 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

A - Chứng minh các đẳng thức véc tơ

Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D Chứng minh :

a) AB CD       AD CB 

b)   AB CD 

 AC    BD

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý Chứng minh :     MA MC   MB MD   2  MO

Bài 3 Cho  ABC Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB Chứng minh :

a) AN CM KB0

   

b) AMBN CK 0

   

c) AKBMANBK KC

    

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD Chứng minh

a)   AC BD   2 IJ 

b)   AD BC   2 IJ 

Bài 5 Cho tứ giác ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD Chứng minh   AB CD   2 IJ 

Bài 6 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD Chứng minh :

a) AB DC     2 MN 

b)   AB DC   2 IJ 

Bài 7 Cho tứ giác ABCD Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD K là trung điểm EF Chứng minh :

a)    AB AC   AD  4 AK 

b) KA KB KC KD          0

c) Với O là điểm tùy ý thì OA OB OC OD         4 OK 

Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ

a) Tính MA MC ME     

theo MO 

b) Chứng minh MA MC ME          MB MD MF  

Bài 9 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H đối xứng với G qua B Chứng minh : HA   5 HB HC      0

Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’ Chứng minh :

a) AD BE CF  3GG'

   

b) AE BF CD  AF BD CE  3GG'

      

c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm

Bài 11

Cho  ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là điểm đối xứng của A qua

O Chứng minh :

a) HB HC   HD

b) HA HB HC    2HO

c) HA HB HC    2OA

c) OA OB OC OH       

d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng

Bài 12

Cho tứ giác ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD

a) Gọi K là trung điểm MN Chứng minh : KA KB KC KD          0

b) Với I là điểm bất kỳ Chứng minh IA IB IC ID   4IK

    

c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD Chứng minh EF đi qua điểm K

d) Gọi G1 là trọng tâm của BCD Chứng minh A , K , G1 thẳng hàng

e) Gọi G2 , G3 ,G4 lần lượt là trọng tâm của các CDA ,  DAB ,  ABC Chứng minh các đường

thẳng AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồng quy tại một điểm

B - Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bài 13

Cho ABC và điểm I , F sao cho IA   3 IC    0

và FA   2 FB   3 FC    0

.Chứng minh I , F , B thẳng hàng Bài 14

Cho  ABC có các điểm M , N , K sao cho MB2MC 0

; NA2NC 0

; KA KB      0 a) Biểu diễn các véc tơ KM   , KN

theo các véc tơ   AB AC , b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng

Bài 15

Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức MA   2 MB   3 MC    0

Chứng minh A , B , C thẳng hàng

Bài 16

Cho ABC Trên Bc lấy điểm D sao cho 2

5

BD BC

 

Gọi E là điểm thỏa mãn 4AE2EB3EC 0

   

a) Phân tích ED 

theo hai véc tơ EB 

và EC 

b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng

Bài 17

Cho ABC , lấy M , N thỏa mãn : 3MA4MB NB3NC0

Gọi G là trọng tâm của ABC a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng

b) Phân tích  AC

theo hai véc tơ  AG AN,

AC cắt GN tại K Tính tỉ số KA

KB

Bài 18

Cho hình bình hành ABCD M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN a) Tính AN 

theo hai véc tơ  AB AC, b) Gọi G là trọng tâm BMN Tính  AG

theo   AB AC , c) Gọi I là điểm xác định bởi BIk BC

Tính  AI

theo  AB AC,

và k Tìm k để AI đi qua G

Bài 19

Cho  ABC có G là trọng tâm I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK

a) Phân tích các véc tơ     AI AK CI CK , , ,

theo hai véc tơ CA CB   , b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng

Bài 20

Cho  ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI Điểm J là điễm sao cho 1 2

BJ AC AB

  

a) Chứng minh 3

4

BI  AC AB 

  

b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng

c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K Tính BK 

theo BC

Bài 21

Cho  ABC , I là điểm thỏa mãn 5 IA   7 IB IC      0

Gọi G là trọng tâm  ABC

5 5

AM  AB AC

  

Bài 22 Cho  ABC , lấy I và J sao cho IA   2 IB 

và 3 JA   2 JC    0 a) Phân tích véc tơ IJ 

theo hai véc tơ  AB AC, b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của  ABC

c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C Gọi K là điểm thỏa BK   mBA 

Xác định m để K , G , D thẳng hàng

Bài 23 Cho  ABC , gọi I là trung điểm BC D và E là hai điểm sao cho BD     DE  EC

a) Chứng minh     AB AC   AD AE 

b) Phân tích      AS  AB AC AD AE   

theo  AI

c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng

Bài 24

Cho  ABC , lấy M , N , K sao cho : MB   2 MC    NA  2 NC      KA KB   0

a) Phân tích KM KN ,

theo hai véc tơ AB AC , b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng

C Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước

Bài 25

Cho tam giác ABC Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau :

a)    MA MB MC  0

b) MA2MB MC  0

c) 2MA MB MC     0 d) MA   3  MB  2 MC    0

e) 5 MA   2 MB MC      0

f) 3 MA   2  MB  2 MC    0 g) 4 MA   3 MB MC      0

h)  MA  2  MB  4 MC    0

k)  MA  2 MB   4 MC   3 BC 

Bài 26

Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M : a) a2MA MB MC 

   

b) b3MA2MB MC

   

c) b    5 MA   9 MB   4 MC 

d)   3   5   2 

Bài 27

Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng vecto v   3 MA   7 MB   2 MC   2 MD 

không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Bài 28

Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :

a) 4AM      AB AC   AD

b)    MA MB MC    4 MD    0

c) 4 MA   3  MB  2 MC MD      0

d) 2 MA   2 MB   3 MC MD   

Bài 29

Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau :

a) 2MA MB MC        DA

b) 2   MA MB   2 MC MD      0 c)  MA  2     MB MC MD    0

d) 2 MA   2 MB   3 MC MD   

Bài 30

Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm tùy ý Tính độ dài các véc tơ sau theo a:

a) u   3     MA MB MC MD   

b) u   4 MA   3 MB MC     2 MD 

Bài 31

Cho tứ giác ABCD

a) Xác định điểm I sao cho      AB IB IC ID     0

b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho u    MA MB MC MD  

cùng phương với  AB

Bài 32

Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a)  MA MB  MA MB 

b) 2MA MB   4MB MC 

Bài 33

Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: MA3MB MC  2MA3MB MC

Bài 34

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định Tìm điểm M trên d sao cho :

a) u   2 MA MB MC     

có độ dài nhỏ nhất b) u    MA  3 MB   2 MC 

có độ dài nhỏ nhất

Bài 35

Cho tam giác ABC Hai điểm M và N thỏa mãn MN2MA3MB MC 

a) Xác định điểm I sao cho : 2 IA   3 IB IC      0

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 36

Cho tam giác ABC Và hai điểm M, N thỏa MN   4 MA MB     3 MC 

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi

b) Gọi E là điểm thỏa ME2BN

chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định

Bài 37

Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: MN   3 MA   3 MB   4 MC 

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P là điểm thỏa MP    BN  2 MB 

chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

Bài 38

Cho hình bình hành ABCD cĩ các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM ,

BI = kBC , CD = 2CN Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB Định k để AI đi qua G

Bài 39

Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý

a) Chứng minh rằng vector v    MA 2MB 3MC    

không phụ thuộc vào vị trí của M

b) Hãy dựng điểm I sao cho CI    v

c) Đường thẳng CI cắt AB tại N Chứng minh rằng NA 2NB 0

và CI3CN

d) Gọi D và E là hai điểm sao cho BD     DE  EC

Hãy dựng p   AB AC DA EA       

D Tính độ dài các véc tơ

Bài 40

Cho tam giác đều ABC cạnh là a Tính  ABAC

Bài 41

Cho tam giác vuơng ABC vuơng tại B Biết AB = 6 ; BC = 10 Tính BA BC 

Bài 42

Cho hình vuơng ABCD tâm O , cạnh a Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng :

a) v       OA OB OC    OD

b) u     AD  AB

c) w     AD  AC

Bài 43

Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a Tính độ dài các véc tơ : u     BA BC 

, v CA CB     

Bài 44

Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , cĩ  0

60

BAD  Tính : |  AB  AD

| ; BA BC 

; OB DC

Bài 45

Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính :  ACBD

và    ABBC CD DA