Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Đạo hàm Vi phân 1 1 Vi phân 1 Cấp 1 df = f ′xdx+ f ′ydy 2 Cấp 2 d2f = f ′′xxdx 2 + 2f ′′xydydy + f ′′yydy 2 1 2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của 1 ∇f(x,[.]

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

MÔN GIẢI TÍCH 2

1.1 Vi phân

1 Cấp 1: df = fx0dx + fy0dy

2 Cấp 2: d2f = fxx00dx2+ 2fxy00 dydy + fyy00dy2

1.2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của

1 ∇f (x, y) = (fx, fy, fz0) , ∂f

∂~u =

h∇f, ~ui

|~u|

2 ∇f (x, y, z) = (fx, fy) , ∂f

∂~u=

h∇f, ~ui

|~u|

3 Hướng tăng nhanh nhất của f khi đi qua M là hướng của

∇f (M ) Giá trị lớn nhất của ∂f (M )

∂~u là |∇f (M )|

1.3 Phương trình tiếp diện tại M (x0, y0, z0)

1 Pt mặt cong S : F (x, y, z) = 0

Fx0(M )(x − x0) + Fy0(M )(y − y0) + Fz0(M )(z − z0) = 0

2 Pt mặt cong S : z = z(x, y)

z = zx0(x0, y0)(x − x0) + zy0(x0, y0)(y − y0) + z0

D

f (x, y)dxdy

2.1 Trong tọa độ Descartes

1 D : a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)

I =

b

R

a

dx

y2(x)

R

y1(x)

f (x, y)dy

2 D : c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)

I =

d

R

c

dy

x2(y)

R

x1(y)

f (x, y)dx

2.2 Tọa độ cực cơ bản x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

I =

β

R

α

dϕ

r2(ϕ)

R

r1(ϕ)

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr

1 Hình tròn tâm O(0, 0) : x2+ y2≤ R2 :

(

0 ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π)

0 ≤ r ≤ R

2 Hình tròn tâm O(R, 0) : x2+ y2≤ 2Rx :

(

−π

2 ≤ ϕ ≤ π

2

0 ≤ r ≤ 2R cos ϕ

3 Hình tròn tâm O(−R, 0) : x2+ y2≤ −2Rx :







π

2 ≤ ϕ ≤ 3π

2

0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ

4 Hình tròn tâm O(0, R) : x2+ y2≤ 2Ry : (

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2R sin ϕ

5 Hình tròn tâm O(0, −R) : x2+ y2≤ −2Ry : (

π ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ r ≤ −2R sin ϕ

2.3 Tọa độ cực mở rộng

1 Áp dụng cho hình tròn (x − a)2+ (y − b)2≤ R2

x = a + r cos ϕ, y = b + r sin ϕ,J=r

(

0 ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π)

0 ≤ r ≤ R

2 Áp dụng cho miền x

2

a2 +y

2

b2 ≤ 1,

x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ,J=abr

(

0 ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π)

0 ≤ r ≤1

3 Tích phân bội 3 I = RRR

Ω

f (x, y, z)dxdydz

3.1 Trong tọa độ Descartes

Ω :z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y),hcΩ = D ⊂ Oxy

I =RR

D

z2(x,y)

R

z1(x,y)

f (x, y)dz

! dxdy

Cách xác định D: gồm 3 yếu tố

1 Các pt hoặc bất pt (xác định Ω)không chứa z

2 Hình chiếu giao tuyến của z = z1 và z = z2 :

z1(x, y) = z2(x, y)(Sử dụng khi yếu tố 1 không tạo ra miền kín hoặc không có)

3 Giao miền tạo bởi 2 yếu tố trên và điều kiện xác định của

z1(x, y), z2(x, y)

3.2 Đổi biến

1 Tọa độ trụ :Khi miền D đổi sang tọa độ cực

2 Tọa độ cầu

x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ

Sử dụng khi có mặt cầu tâm O hoặc tâm (0, 0, ±R) kết hợp với

a/Các mặt tọa độ

b/Các mặt phẳng đi qua trục Oz, VD :y = kx

c/Nón z = kpx2+ y2

CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN

(i) Điều kiện của x, y là điều kiện của ϕ trên Oxy giống tọa độ cực

(ii) Cho x = 0 trong điều kiện của Ω, lát cắt trên Oyz xác định ρ, θ

Lưu ý: ρ là khoảng cách từ gốc O đến đường tròn, θ là

góc quay từ trục Oz về cả 2 phía x, y (0 ≤ θ ≤ π)

3 Thể tích Ω : V =RRR

Ω

dxdydz

4.1 Tham số hóa đường cong

Là biểu diễn x, y hoặc x, y, z theo một biến

1 Đường phẳng

a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b]

hay x = x(y), y ∈ [c, d]

b/Đường tròn (x − a)2+ (y − b)2= R2 :

(

x = a + R cos t, y = b + R sin t

t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

c/Ellipse x

2

a2 +y

2

b2 = 1 :

(

x = a cos t, y = b sin t

t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

2 Đường không gian (giao tuyến của 2 mặt)

Cách 1 : Nếu có 1 pt mặt chứa 2 biến, xem nó như đường

phẳng để tham số hóa, dùng pt còn lại tìm tham số cho

biến thứ 3

Cách 2 : xác định hình chiếu giao tuyến lên một mp tọa

độ, ts hóa cho hc này rồi dùng 1 pt mặt để tìm ts cho biến

thứ 3

4.2 Tích phân đường loại 2

I =

B

R

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C

1 Cách tính

a/ C : y = y(x) ⇒ I =

xB

R

xA

P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y0(x)dx

b/ C : x = x(t), y = y(t)

⇒ I =

tB

R

tA

P (x(t), y(t))x0(t)dt+ Q(x(t), y(t))y0(t)dt

2 Công thức Green : C là biên ngoài, x của miền hữu hạn

D (nếu có biên trong thì C gồm cả 2 biên và biên trong lấy

y)

I =R

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =RR

D

Q0x− P0

y
dxdy

Lưu ý: C phải là đường kín (hoặc nhiều đường kín)

Nếu C không kín thì ghép đường (nên là các đường dạng

x = a hay y = a và theo chiều của C so với miền D)

3 Tích phân không phụ thuộc đường đi

B1: Kiểm tra Q0x = P0y

B2: Tính I bằng cách đổi đường đi (đường gấp khúc

x = a, y = b đi từ A đến B) hoặc chọn hàm U thỏa

dU = P dx + Qdy và I = U (B) − U (A)

I =R

S

f (x, y, z)ds

Cách tính

1 Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x =

x(y, z), y = y(z, x) )

2 Xác định hình chiếu D của Slên mp tọa độ tương ứng (VD chiếu lên mp z = 0)

Xác định từ 3 yếu tố : (i) Pt mặt chắn mà không chứa z (ii) Hình chiếu giao tuyến giữa S và các mặt chắn mà pt chứa z

(iii) Giao với điều kiện xác định của z(x, y)

3 Tính I =RR

D

f (x, y, z(x, y))q1 + z02

x + z02

ydxdy

I =RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

6.1 Cách tính

Bước 1 Chọn cách viết pt S, VDz = z(x, y)

Bước 1 Xác định hình chiếu Dxy của S lên mp tọa độ tương

ứng Bước 1 Tính I = ±RR

Dxy

(P, Q, R)(−z0x, −zy0, 1)dxdy

Lấy + nếu S lấy phía trên theo hướng Oz

6.2 Công thức Gauss-Oxtrogratxki

Yêu cầu : S làmặt biêncủa Ω,lấy phía ngoài

I =RRR

Ω

Px0+ Q0y+ R0y
dxdydz

6.3 Công thức Stokes

C là biên của mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy x nhìn từ

phía dương của Oz (nhìn từ trên xuống) Luôn chọnphía trên

của S

I =R

C

P dx + Qdy + Rdz

= I =RR

S

(R0y− Q0

z)dydz + (Pz0− R0x)dzdx + (Q0x − P0y)dxdy Nếu lấyy:R

C

=−RR

S

Lưu ý:RR

S

=LRR

D

7 Chuỗi số

7.1 Chuỗi cơ bản

1 Chuỗi điều hòa P 1

nα

(

α > 1 : HT

α ≤ 1 : P K

2 Chuỗi cấp số nhânP xn

(

|x| < 1 : HT

|x| ≥ 1 : P K

7.2 Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ

1 Tiêu chuẩn D’Alembert : khi số hạng tổng quát có chứa tích vô hạn

2 Tiêu chuẩn Cauchy: khi số hạng tổng quát có chứa dạng

uvn

n

3 Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu nhưng Không xuất hiện dấu hiệu của 2 tc trên

4 Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng

a/Rút gọn số hạng tổng quát trước khi dùng D’A hoặc Cauchy

b/Thành phần chính của số hạng tổng quát chứanα

c/Áp dụng cho chuỗi không âm (giữ nguyên dấu nếu thay

∼) d/Nếu áp dụng cho cho P |an| thì chỉ kết luận khi chuỗi so sánh hội tụ

7.3 Phát biểu định lý

1 Điều kiện cần : an 9 0 : chuỗi phân kỳ (an→ 0 không kết luận được gì.)

2 TC D’Alembert :

Dn=

an+1

an

→ D :











< 1 : HT

> 1 : P K

= 1 →

(

Dn ≥ 1 : P K

Dn < 1 : oKL

3 TC Cauchy : Cn= p|an n| → C : KL giống TC D’A

4 TC Leibnitz :P(−1)nan,0 ≤ an ↓ 0⇒ : hội tụ

(an 9 0 : PK, an → 0 nhưng không ↓ : o KL)

5 an ∼ bn : P an và P bn cùng bản chất (bn = 1

nα hay

bn= xn)

8 Chuỗi lũy thừa P an(x − x0)n

8.1 Miền hội tụ

1 Bán kính hội tụ

R = lim

an

an+1

hay R = limp|an n|

2 Khoảng hội tụ: (x0− R, x0+ R) (chuỗi đã pk bên ngoài [x0− R, x0+ R])

3 Miền hội tụ : xét thêm sự hội tụ của 2 chuỗi số tại 2 đầuKhoảng hội tụ(Tại 2 đầu không thể sử dụng C và D nhưng có thể dùng Cn, Dn)

8.2 Chuỗi Taylor

8.3 Tính tổng chuỗi