Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Đạo hàm Vi phân 1 1 Vi phân 1 Cấp 1 df = f ′xdx+ f ′ydy 2 Cấp 2 d2f = f ′′xxdx 2 + 2f ′′xydydy + f ′′yydy 2 1 2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của 1 ∇f(x,.

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

MÔN GIẢI TÍCH 2

1.1 Vi phân

1 Cấp 1: df = f 0

x dx + f 0

y dy.

2 Cấp 2: d2f = fxx00dx 2 + 2fxy00 dydy + fyy00dy 2

1.2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của

1 ∇f (x, y) = (f x , f y , fz0) , ∂f

∂~ u =

h∇f, ~ ui

|~ u|

2 ∇f (x, y, z) = (f x , f y ) , ∂f

∂~ u=

h∇f, ~ ui

|~ u|

3 Hướng tăng nhanh nhất của f khi đi qua M là hướng của

∇f (M ) Giá trị lớn nhất của ∂f (M )

∂~ u là |∇f (M )|

1.3 Phương trình tiếp diện tại M (x0, y0, z0)

1 Pt mặt cong S : F (x, y, z) = 0

Fx0(M )(x − x 0 ) + Fy0(M )(y − y 0 ) + Fz0(M )(z − z 0 ) = 0

2 Pt mặt cong S : z = z(x, y)

z = zx0(x0, y0)(x − x0) + zy0(x0, y0)(y − y0) + z0

D

f (x, y)dxdy

2.1 Trong tọa độ Descartes

1 D : a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x)

I =

b

R

a

dx

y 2 (x)

R

y 1 (x)

f (x, y)dy

2 D : c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)

I =

d

R

c

dy

x2(y)

R

x1(y)

f (x, y)dx

2.2 Tọa độ cực cơ bản x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

I =

β

R

α

dϕ

r 2 (ϕ)

R

r 1 (ϕ)

f (r cos ϕ, r sin varphi) r dr

1 Hình tròn tâm O(0, 0) : x 2 + y 2 ≤ R 2 :

(

0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ r ≤ R

2 Hình tròn tâm O(0, R) : x 2 + y 2 ≤ 2Rx :

(

−π

2 ≤ ϕ ≤ π

2

0 ≤ r ≤ 2R cos ϕ

3 Hình tròn tâm O(0, −R) : x 2 + y 2 ≤ −2Rx :







π

2 ≤ ϕ ≤ 3π

2

0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ

4 Hình tròn tâm O(0, R) : x2+ y2≤ 2Rx : (

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2R sin ϕ

5 Hình tròn tâm O(−R, 0) : x 2 + y 2 ≤ −2Rx : (

π ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ r ≤ −2R sin ϕ

3 Tích phân bội 3 I = RRR

Ω

f (x, y, z)dxdydz

3.1 Trong tọa độ Descartes

Ω : z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y) , hcΩ = D ⊂ Oxy

I = RR

D

z2(x,y)

R

z1(x,y)

f (x, y)dz

! dxdy

Cách xác định D : gồm 3 yếu tố

1 Các pt hoặc bất pt (xác định Ω) không chứa z

2 Hình chiếu giao tuyến của z = z1 và z = z2 :

z 1 (x, y) = z 2 (x, y) (Sử dụng khi yếu tố 1 không tạo ra miền kín hoặc không có).

3 Giao miền tạo bởi 2 yếu tố trên và điều kiện xác định của

z 1 (x, y), z 2 (x, y)

3.2 Đổi biến

1 Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực

2 Tọa độ cầu

x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ

Sử dụng khi có mặt cầu tâm O hoặc tâm (0, 0, ±R) kết hợp với

a/ Các mặt tọa độ

b/ Các mặt phẳng đi qua trục Oz , VD : y = kx

c/ Nón z = kpx 2 + y 2

CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN

(i) Điều kiện của x, y là điều kiện của ϕ trên Oxy giống tọa độ cực.

(ii) Cho x = 0 trong điều kiện của Ω, lát cắt trên Oyz xác định ρ, θ.

Lưu ý : ρ là khoảng cách từ gốc O đến đường tròn, θ là góc quay từ trục Oz về cả 2 phía x, y (0 ≤ θ ≤ π)

3 Thể tích Ω : V =RRR

Ω

dxdydz

4 Tích phân đường

4.1 Tham số hóa đường cong

Là biểu diễn x, y hoặc x, y, z theo một biến.

1 Đường phẳng

a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b]

hay x = x(y), y ∈ [c, d]

b/Đường tròn (x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2 :

(

x = a + R cos t, y = b + R sin t

t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

c/Ellipse x

2

a 2 +y

2

b 2 = 1 :

(

x = a cos t, y = b sin t

t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

2 Đường không gian (giao tuyến của 2 mặt)

Cách 1 : Nếu có 1 pt mặt chứa 2 biến, xem nó như đường

phẳng để tham số hóa, dùng pt còn lại tìm tham số cho

biến thứ 3

Cách 2 : xác định hình chiếu giao tuyến lên một mp tọa

độ, ts hóa cho hc này rồi dùng 1 pt mặt để tìm ts cho biến

thứ 3.

4.2 Tích phân đường loại 2

I =

B

R

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C

1 Cách tính

a/ C : y = y(x) ⇒ I =

x B R

xA

P (x, y(x)) dx +Q(x, y(x)) y0(x)dx

b/ C : x = x(t), y = y(t)

⇒ I =

tB

R

tA

P (x(t), y(t)) x0(t)dt + Q(x(t), y(t)) y0(t)dt

2 Công thức Green : C là biên ngoài, x của miền hữu hạn

D (nếu có biên trong thì C gồm cả 2 biên và biên trong lấy

y)

I = R

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = RR

D

Q0x− P 0

y
dxdy

Lưu ý : C phải là đường kín (hoặc nhiều đường kín).

Nếu C không kín thì ghép đường (nên là các đường dạng

x = a hay y = a và theo chiều của C so với miền D)

3 Tích phân không phụ thuộc đường đi

B1: Kiểm tra Q0x = P0y

B2: Tính I bằng cách đổi đường đi (đường gấp khúc

x = a, y = b đi từ A đến B) hoặc chọn hàm U thỏa

dU = P dx + Qdy và I = U (B) − U (A).

I =R

S

f (x, y, z)ds

Cách tính

1 Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x =

x(y, z), y = y(z, x) ).

2 Xác định hình chiếu D của Slên mp tọa độ tương ứng (VD

chiếu lên mp z = 0)

Xác định từ 3 yếu tố :

(i) Pt mặt chắn mà không chứa z

3 Tính I =RR

D

f (x, y, z(x, y)) 1 + z 02

x + z 02

y dxdy

I =RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

6.1 Cách tính

Bước 1 Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y)

Bước 1 Xác định hình chiếu Dxy của S lên mp tọa độ tương

ứng Bước 1 Tính I = ± RR

D xy (P, Q, R) (−z0x, −zy0, 1) dxdy Lấy + nếu S lấy phía trên theo hướng Oz

6.2 Công thức Gauss-Oxtrogratxki

Yêu cầu : S là mặt biên của Ω, lấy phía ngoài

I = RRR

Ω

Px0+ Q0y+ R0y
dxdydz

6.3 Công thức Stokes

C là biên của mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy x nhìn từ

phía dương của Oz (nhìn từ trên xuống) Luôn chọn phía trên

của S

I = R

C

P dx + Qdy + Rdz

= I = RR

S

(R0y− Q0z)dydz + (Pz0− R0x)dzdx + (Q0x − P0y)dxdy Nếu lấyy: R

C

= − RR

S

Lưu ý :RR

S

= L RR

D

7 Chuỗi số

7.1 Chuỗi cơ bản

1 Chuỗi điều hòa P 1

n α

(

α > 1 : HT

α ≤ 1 : P K

2 Chuỗi cấp số nhân P x n

(

|x| < 1 : HT

|x| ≥ 1 : P K

7.2 Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ

1 Tiêu chuẩn D’Alembert : khi số hạng tổng quát có chứa tích vô hạn.

2 Tiêu chuẩn Cauchy : khi số hạng tổng quát có chứa dạng

u v n

n

3 Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu nhưng Không xuất hiện dấu hiệu của 2 tc trên.

4 Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng

a/Rút gọn số hạng tổng quát trước khi dùng D’A hoặc Cauchy.

b/Thành phần chính của số hạng tổng quát chứa n α

c/Áp dụng cho chuỗi không âm (giữ nguyên dấu nếu thay

∼) d/Nếu áp dụng cho cho P |a n | thì chỉ kết luận khi chuỗi so sánh hội tụ.

7.3 Phát biểu định lý

1 Điều kiện cần : an 9 0 : chuỗi phân kỳ (an→ 0 không kết luận được gì.)

2 TC D’Alembert :

D n =

an+1

a n

→ D :











< 1 : HT

> 1 : P K

= 1 →

(

D n ≥ 1 : P K

Dn < 1 : oKL

3 TC Cauchy : C n = p|a n n | → C : KL giống TC D’A

4 TC Leibnitz : P(−1) n a n , 0 ≤ a n ↓ 0 ⇒ : hội tụ

( a n 9 0 : PK, a n → 0 nhưng không ↓ : o KL)

5 an ∼ bn : P a n và P b n cùng bản chất (bn = 1

n α hay

b n = x n )

8 Chuỗi lũy thừa P an(x − x0)n

8.1 Miền hội tụ

1 Bán kính hội tụ

R = lim

a n

a n+1

hay R = lim p|a n n|

2 Khoảng hội tụ : (x0− R, x 0 + R) ( chuỗi đã pk bên ngoài [x0− R, x 0 + R] )

3 Miền hội tụ : xét thêm sự hội tụ của 2 chuỗi số tại 2 đầu Khoảng hội tụ ( Tại 2 đầu không thể sử dụng C và D nhưng có thể dùng Cn, Dn)

8.2 Chuỗi Taylor

8.3 Tính tổng chuỗi

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Môn Thi: GIẢI TÍCH 2 Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA 2 Thời gian: 90 phút

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Câu 1: Cho hàm số f (x, y) = 6x2y2− 2mx3+ m2xy2− 6y3 Tìm tất các các giá trị thực m

để ∇f (3, −2) vuông góc với vector (2, 1)

Câu 2: Cho vật thể Ω giới hạn bởi nón z = −px2+ y2, mặt phẳng z = 0, miền nằm giữa

hai mặt trụ x2+ y2 = 1 và x2+ y2 = 4 Gọi mặt định hướng S là biên của Ω, lấy phía trong Tính I =

Z Z

S

3xydydz + z(x2+ y2)dxdy

Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn bởi y = x2, y = (x − 2)2, x = 2, C là biên của D, lấy

theo chiều kim đồng hồ

a/ Chứng minh rằng diện tích của D được tính bởi tích phân

Z

C

−xdy

b/ Tìm diện tích miền D theo cách tính này

Câu 4: Tính I =

Z Z

S

(x + 2y − z)dS, trong đó S là phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị chắn bởi các mặt z = x2+ y2 − 2y − 3, x = 1, lấy miền x ≥ 1

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

a/

∞

X

n=1

(−1)n+ 4n

n2+ 2αn b/

∞

X

n=1

(n2+ 1)(2n + 1)!!

5n.n! Trong đó : (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n + 1).

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

X

n=1

(−1)n(x + 2)2n+1

4n− n4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

ĐÁP ÁN CA 2 Câu 1 (1.5đ)∇f (3, −2) = (4m2− 54m + 144, −12m2− 288) (1đ)

∇(3, −2) ⊥ (2, 1) ⇔ 4m2+ 108m = 0 ⇔ m = 0 hay m = −27 (0.5đ)

Câu 2 (2đ) Áp dụng công thức Gauss :

I = −RRR

Ω

(3y+x2+y2)dxdydz = −

2π

R

0

dϕ

2

R

1

dr

0

R

−r

(3r sin ϕ+r2)rdz = −62π

5 (0.5đ+1đ+0.5đ) Đúng 2 trong 3 cận tp cho 0.5đ

Câu 3 (2đ) a/ Dùng công thức Green (0.5đ)

b/ S(D) =

2

R

1

−x.2xdx +

0

R

4

−2dy +

1

R

2

−x.2(x − 2)dx = 2 (1đ+0.5đ) Nếu không dùng tp đường chỉ cho tối đa 0.5đ

Câu 4 (1.5đ) Hình chiếu của S lên Oxy, D : (x − 1)2+ y2 ≤ 4, x ≥ 1 ( 0.5đ)

I =RR

D

(x + 2y − 2x + 2y)√

1 + 4 + 4dxdy

= 3

π/2

R

−π/2

dϕ

2

R

0

(1 + r cos ϕ + 4r sin ϕ)rdr

= −6π − 16 = −34, 8496 (0.5đ+0.25đ+0.25đ)

Câu 5 (1.5đ)

a/ 0 < an = (−1)

n+ 4n

n2+ 2αn ∼







4n

n2, α ≤ 0 (T H1)

 4

2α

n

, α > 0 (T H2) TH1 : PK theo ĐKC TH2 : HT ⇔ α > 2 (0.5đ)

b/ D = 2

5 (0.5đ) nên ht (0.5đ) Câu 6 (1.5đ) = (x + 2)

∞

X

n=1

anXn với an= (−1)

n

4n− n4, X = x2

RX = 4, DX = [0, 4) (0.5đ+0.5đ), Dx = (−4, 0) (0.5đ)

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Môn Thi: GIẢI TÍCH 2 Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA 1 Thời gian: 90 phút

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Câu 1: Cho mặt cong S có phương trình z = x2y2− 5x3− 2xy2+ 3y − 1 Tìm pháp vector

của S tại M (1, −1, −10) và viết phương trình tiếp diện của S tại M Câu 2: Gọi C là giao tuyến của trụ x+y = 1 và mặt phẳng y = 2z, lấy ngược chiều

kim đồng hồ khi nhìn theo hướng trục Oz (nhìn từ âm sang dương) Tính tích phân

I = Z

C

(xy − yz2)dx + (3x + y2)dy − 2z2dz

Câu 3: Cho I =

Z

C

(exsin y − emysin x) dx + (excos y + 2emycos x) dy

a/ Tìm m để I là tích phân không phụ thuộc đường đi trên Oxy

b/ Với m tìm được ở câu a/, tính I với C là đường cong bất kỳ đi từ O(0, 0) đến

Aπ

4, −

π 4



Câu 4: Tính I =

Z Z Z

Ω

p

x2+ y2dxdydz, trong đó Ω là miền cho bởi√

3z ≥px2+ y2, x2+

y2+ z2 ≤ 4z, x ≥ y

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

a/

∞

X

n=1

an+ n2

n! + 2n, a ∈ R

b/

∞

X

n=1

(3n + 1)



n2− 2

n2+ 2n + 1

n2

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

X

n=1

2n + 3

3n+ n2(x − 5)n

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2 HK172 CA 1 Câu 1 (1.5đ)~n(1, −1, −10) = (±)(−15, 5, −1) (0.5đ)

(Chọn + hay − cũng cho 0.5đ )

Pt tiếp diện z = −15(x − 1) + 5(y + 1) − 10 hoặc 15(x − 1) − 5(y + 1) + z + 10 = 0 (1đ)

Câu 2 (2đ)Gọi S là phần mặt phẳng z = y

2 nằm trong trụ, lấy phía trên theo hướng Oz (0.5đ)

Áp dụng ct Stokes I = −

Z Z

S

0dydz + (−2yz)dzdx + (3 − x + z2)dxdy (0.5đ)

Dxy : |x| + |y| ≤ 1,

I = −

Z Z

D xy (0, −2yz, 3 − x − z2)(0, −1/2, 1)dxdy (Có thể qua tp mặt 1 )

= −

Z Z

D xy

 1

2y

2+ 3 − x − y

2

4

 dxdy (0.5đ)

= −73

12 ≈ −6.0833 (0.5đ) Lưu ý : Sinh viên có thể lấy S là phía dưới thì I =RR

S

= −RR

D xy Câu 3 (2đ)a/ m = 2 (0.5đ)

b/ Cách 1 : Chọn 1 đường đi đúng (0.5đ) Viết đúng tp xác định (0.5đ)

I =

√ 2

2 e

−π/2− eπ/4
− 1 ≈ −2.4039(0.5đ) Cách 2 :chỉ ra hàm U (x, y) = exsin y + e2ycos x (1đ)

(không cần nêu cách tìm nhưng phải có khẳng định hoặc kiểm tra dU = P dx + Qdy, nếu không làm việc này chỉ cho 0.5đ)

Câu 4 (1.5đ) Dùng tọa độ cầu :I =

π/4

R

−3π/4

dϕ

π/3

R

0

dθ

4 cos θ

R

0

ρ3sin2θdρ = π 4π

3 +

√ 3



≈ 18.6009 (1đ+0.5đ)

Lưu ý : Nếu đúng 2 trong 3 cận cho 0.5đ

Dùng tọa độ trụ phần lớn là sai (nếu không tách thành 2 tích phân) Câu 5 a/ Tách thành 2 chuỗi rồi dùng tc D’Alembert : hội tụ ∀a (0.5đ)

Lưu ý : Để nguyên dùng D’A mà không chia trường hợp của a để tính lim thì không cho điểm

So sánh tử số với an, ∀a mà không biện luận cũng không cho điểm b/C = e−2 ≈ 0.1353 (0.5đ) ⇒ hội tụ (0.5đ)

Câu 6 (1.5đ) R = 3 (0.5đ), khoảng hội tụ (2, 8) (0.5đ)

2 biên phân kỳ theo điều kiện cần (0.5đ)

Điều chỉnh đáp án CA 1

Câu 3 : I = 4RR

D xy

dxdy p4 − x2− y2 = 4π

Câu 6 : P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx

2n



=P+∞

1

(−1)n

4(2n)!(2x)

2n−P∞

1

(−1)n−1

n (x

2)n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

hoặc P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx

2n



=P+∞

1

(−1)n

4(2n)!(2x)

2n+P∞

1

(−x2)n

n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

Điều chỉnh đáp án CA 2 Câu 2 : I = −RR

D

−2ydxdy −R

C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR01−x22ydy +R01dxR0(1−x)22ydyi−R−1

1 1dx = 11

15+ 2 =

41

15.

Câu 7 : S = −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n 2n + 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

 arctan 1 − 1 + 1

3



= −1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4 9

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162

Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 90 phút Giờ thi: CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu

Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctanx+zy và ~u = (1, −1, 1) Tính ∂f

∂~u(2, 1, −1).

Câu 2: Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2, BC là cung

y = (x − 1)2 và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0)

Tính I =RACcos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L)

Câu 3: Tính tích phân I =RRR

Ω

(x + 2z)dxdydz, với Ω là miền giới hạn bởi x2+ y2+ z2 ≤

1, z ≥ −1 +px2+ y2, y ≥ 0

Câu 4: Tính tích phân I = RR

S

2dydz +(y2−2x−z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x−x2

nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới theo hướng trục Oz

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số P∞

1 (−1)n1.4.7 (3n + 1) + ln n

(2n)!!2n

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa P+∞

1

 n2+ 1 4n2− 3

n

(x − 2)n

Câu 7: Tính tổng S hoặc chứng minh phân kỳ chuỗi số sau : P∞

1

(−1)n

n(2n + 3).

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

ĐÁP ÁN Câu 1: ∇f (2, 1, −1) = e

π 4

2 (1, −1, 1) (0.5đ), h∇(M ), ui =

3

2e

π

4 (0.5đ) , ∂f

∂~u(2, 1, −1) =

√

3

2 e

π

4 (0.5đ)

Câu 2: Gọi C là đường y = 0, x : 1 → −1, khi đó C ∪ L là biên âm của miền phẳng D

R

L∪C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy = −RR

D

−2ydxdy (0.5đ)

I = −RR

D

−2ydxdy −R

C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR1−x 2

0 2ydy +R1

0 dxR(1−x) 2

0 2ydyi−R−1

1 x.1dx = 11

15− 0 = 11

15. Mỗi tp tính đúng là 0.5đ

Nếu đúng tp kép nhưng sai chiều của C, có thể cho cả bài 0.5

Câu 3: I =R0πdϕR01drR

√ 1−r 2

−1+r r(r cos ϕ + 2z)dz = π

6. cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ)

Câu 4: Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x

I = −RR

D xy (2, 0, y2− 2x − 2x + x2)(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ)

= −RR

D xy

(x2+ y2− 4)dxdy

=R2

0 dxR−2x3x (x2 + y2− 4)dy (0.5đ)

= −80

3 (0.5đ)

Câu 5: D = lim

n→∞

an+1

an

(0.5đ)= lim

n→∞

3n + 4 4(n + 1) =

3

4 (0.5đ) Kết luận hội tụ : (0.5đ) Nếu thiếu trị tuyệt đối và kết luận đúng, cả bài cho 0.5đ

Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ)

Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần hoặc Cauchy Cn (0.5đ)

Câu 7: S =P∞

1

(−1)n

3n − 2

3

P∞ 1

(−1)n

2n + 3 (0.5đ)

= −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n

2n + 1

= −1

3ln 2 +

2

3arctan 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4

9 (1đ)

Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 162 – Môn: GIẢI TÍCH 2

Bộ môn Toán Ứng dụng Ngày thi: 03/07/2017 - Ca thi: CA 1

- Thời gian làm bài: 90 phút

-

ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU

Câu 1: Cho hàm   2 3 23 2

f x y z





  và u   2, 2,1   Tính df  1,1,0 ,  f  1,1,0 

u





Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z  0, z   4 x2, y  0,2 y   z 4

Câu 3: Tính tích phân  1 

s

I    z ds với S là phần mặt cầu x  4  y2  z2 nằm giữa 2 mặt phẳng y   x 3, x  y 3

Câu 4: Dùng công thức Stokes để tính tích phân  3 2  3 2 

C

I   z  xy dx  xyzdy  y  z x dz với

C là đường cong

2 4

z y







 lấy NGƯỢC chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

 

3

2 1

1

1.

1 2.5.8 3 2

2.

n

n

n

n n

















Câu 6: Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa    1 2

1

1

2 !

n

n

x







 và tính tổng chuỗi khi

4

x  

Bộ môn duyệt

ĐÁP ÁN:

Câu 1: fx   M  2, fy   M   1, fz   M  3 (1đ), df M    2 dx  dy  3 dz (0.5đ)

 1,1,0  3

f

u

 (0.5đ) Lưu ý: Phần tính đhr nếu chỉ đúng 1 đh thì cho 0.5đ

2

4 , 0

64 2

z

x

z x z

z



2 6

2 0

3

0.

4

.5

1

4

r







Câu 4: Chọn S lµ mp z  4 y phần nằm trong paraboloid, lấy phía TRÊN, 1  

0, 4,1 17

S

S

I   yz  xy  z  z   y  z  ds



2 2

2

2 4

x y y

Câu 5:

3

n n n





2 1 1

2

n n

HT u

n











Câu 6: R     1 D [ 1,1] (0.5 ) ®

2

4

2

n n





 

n n



∇(3, ? ?2) ⊥ (2, 1) ⇔ 4m2< /small>+ 108m = ⇔ m = hay m = ? ?27 (0.5đ)

Câu (2? ?) Áp dụng công thức Gauss... II 20 17 -20 18 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Ngày thi: 28 -05 -20 18 Giờ thi: CA Thời gian: 90 phút

Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu

Câu 1: Cho hàm số f (x, y) = 6x2< /small>y2< /small>−...

D xy (2, 0, y2< /small>− 2x − 2x + x2< /small>)(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ)

= −RR

D xy

(x2< /small>+ y2< /small>− 4)dxdy