http://baigiangtoanhoc.com Đề thi kết thúc học phần ĐHQG TP HCM Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I Năm 2011 MÔN: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Thời gian làm bài:
Trang 1http://baigiangtoanhoc.com Đề thi kết thúc học phần ĐHQG TP HCM
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I
Năm 2011 MÔN: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(Thời gian làm bài: 90 phút)
Câu I Hãy chứng minh bài toán
0 0
( , ) ( )
t
x f t x
x t t
tương đương với phương trình tích phân
0 0
( ) ( , ( ))
t
t
x t x f s x s ds
Câu II Định lý tồn tại nghiệm Picard – Lindelof như sau:
Xét bài toán điều kiện đầu sau:
( , ) ( )
t
x f t x
x t t
(1) Trong đó f C U R( , )với U là 1 tập hợp mở trong R2 và
0 0
( , t x ) U Giả sử tồn tại tập V t0 T t , 0 T B xS( )0 U sao cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trên
V
( , )
t x V
S
M
Khi đó bài toán (1) có nghiệm duy nhất x trên V t0 T t , 0 T
và lim n( )0 .
a Khi chứng minh định lý trên bằng phương pháp ánh xạ co, người ta đã chọn không gian Banach x ? X nào?
b Khi chứng minh định lý trên bằng phương pháp ánh xạ co, người ta đã chọn ánh xạ co k nào? Kiểm tính chất
co của ánh xạ k này?
Câu III Cho không gian Banach X, ánh xạ K X : X và x0 X Giả sử:
2
5 ( 1) ( ) ( )
!
n
n
với mọi x y, X Hãy chứng minh tồn tại duy nhất u X thỏa mãn K u( )u và lim n( 0)
Câu IV Giả sử các số thực a, b, c, d thỏa mãn: a < b và c > d Gọi X là không gian C a b R ( , , ) với chuẩn sup, gọi Y
là không gian C a b ( , , d e , ) với chuẩn sup Biết rằng X là 1 không gian Banach
a Dùng định nghĩa của tính chất đóng, chứng minh Y là không gian con của X
b Dùng định nghĩa của tính chất đầy đủ, chứng minh Y là không gian con đóng của X
(Chú thích: không được áp dụng định lý: “ Không gian con đóng của 1 không gian Banach là 1 không gian Banach”)