Hàm mũ và hàm logarit

Song tùy theo ñặc thù của từng loại phương trình mà ta có những ñặc trưng riêng, ñối với những phương trình mũ thường có các loại sau: + ðặt ax = t ⇒ðược phương trình ñối với biến t.. I

HÀM M Ũ VÀ HÀM LOGARIT

I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Phương trình mũ cơ bản:

+ Dạng: af(x) = ag(x) Với (a > 0, a ≠ 1)

⇔ f(x) = g(x) + Dạng: f(x)g(x) = f(x)h(x)

⇔











=

≠

>

) x ( h ) x ( g

1 ) x ( f

0 ) x ( f

2) Phương pháp logarit hóa:

3) Phương pháp ñặt ẩn phụ:

Nguyên tắc của phương pháp ñặt ẩn phụ ñối với các loại phương trình và bất phương trình là như nhau Song tùy theo ñặc thù của từng loại phương trình mà ta có những ñặc

trưng riêng, ñối với những phương trình mũ thường có các loại sau:

+) ðặt ax = t ⇒ðược phương trình ñối với biến t

+) Tích không ñổi ( hay cho dưới dạng tích cơ số bằng 1)

+) ðẳng cấp

4) Phương pháp ñánh giá:

Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x) (1)mà ta ñánh giá ñược:





≤

≥ A )

x

(

g

A )

x

(

f

Thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi:







=

= A )

x

(

g

A )

x

(

f

b) đánh gia theo ựồ thị:

Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x).(1)

Mà ta ựánh giá ựược: f(x) là hàm ựồng biến còn g(x) là hàm nghịch biến Thì (1) có nghiệm duy nhất ( vì ựồ thị hàm ựồng biến chỉ cắt ựồ thị hàm nghịch biến tại 1 ựiểm) Thường ta sẽ nhẩm ựược nghiệm duy nhất này dưới dạng nghiệm nguyên

5) Phương pháp ựại số:

II - BÀI TẬP LUYỆN:

1 4x + 2x - 6 = 0 2 5x−2= 3 - x

3 3x + 4x = 5x 4 2x2− x.3x = 1,5

5 5 x

1

x

x

8

−

= 500 6 xx + 3 = 1 (Tìm nghiệm nguyên)

7 x x 2

2

x − − = 1 8 51 + x + 51 - x = 24

9 2x + 3 = 5x 10 (x2 - x + 1)x2+ x= 1

x + 1

13 2x+3= 3x2+ x−5 14 4x + 4-x + 2x + 2-x = 10

15 2−cosx= logπx + logxπ 16. 4x = 2.14x + 3.49x

17. 3.25x−2 + (3x - 10)5x−2+ 3 - x = 0 18. 9x + 2(x - 3).3x + 5 - 2x =0

1 x

+

−

23. 25x - 2(3 - x)5x + 2x - 7 = 0 24 (

3

1 )x

2

+ 3 ( 3

1 )x 1

1

+

= 12

3 x

29 (5 - 21 )x + 7(5 + 21 )x= 2x+3

30. (26 + 15 3 )x+ 2 (7 + 4 3 )x - 2 (2 + 3 )x = 1

31 (7 + 3 5 )x + 16 (7 - 3 5 )x = 2x+3 32. 4sin2x+ 2cos2x= 2 + 2

2

1 +

- 7.10x

1

+ 2.4x

1

= 0

35 (20 + 14 2 )3

x

x

x

+ 2−x( 30 - 6 )x = 2

37. (2 + 3 )x + 2.(

2

2

1 x

4 + - 5.3 x−1 = 3 2

1

x −

- 4x

39.ðHQGHN – 00 (2 + 2 )log2x + x (2 - 2 )log2x = 1 + x2

40.ðHSP - D – 00 32x - 8.3 x+4+x - 9.9 x+4 = 0

42.ðH Y HN – 00 23x - 6.2x - 3(x 1)

2

1

− + x

2

12 = 1

43 ðHBK – 99 4lg(10 )x - 6lgx= 2.3lg(100x )2

2 log x - 5log x + 73 3

x

3 + 5 =6x + 2

48. 125x −3.50x +2.8x =0

49. 8x +18x =2.27x

x

− − − = −

51. log 3 2 log 5 2

x + x = x

52. sin2 os2

53. 81sin2x +81cos2x =30

D Ạ NG 2: B Ấ T PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ

I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Bất phương trình mũ cơ bản:

+ Dạng: af(x) > ag(x) (1)Với (a > 0, a ≠ 1)

Khác với phương trình mũ, tùy theo cơ số a ta sẽ áp dụng tính chất ñồng biến hay nghịch biến

của hàm số mũñể biến ñổi (1):

Nếu 0 < a < 1 thì (1) ⇔ f(x) < g(x)

Nếu a > 1 thì (1) ⇔ f(x) > g(x)

+ Dạng: [f(x)]g(x) > [f(x)]h(x) (2)

Do ở (2) cơ số có chứa x nên ta phải ñặt ñiều kiện f(x) > 0 và f(x) ≠ 1 (chú ý khi ở (2) có dấu

bằng) do ñó ta có 2 trường hợp nghiệm sau:

f x

g x h x

f x

g x h x

>





<



< <





>



2 Phương pháp Logarit hoá:

Phương pháp Logarit hoá trong việc giải bất phương trình mũ

Vấn ñề: Sau khi lấy logarit hoá hai vế thì chiều của bất phương trình sẽ lấy như thế nào?

Khi ñó tùy theo cơ số a của phép logarit hóa:

+Nếu 0 < a < 1 hàm logax là nghịch biến khi lấy logarit hóa thì ta phải ñổi chiều

+Nếu a > 1 thì khi lấy logarit hóa cơ số a ta sẽ giữ nguyên chiều

3 Phương pháp ñặt ẩn phụ:

Thông thường khi giải bất phương trình f(x) > g(x) (1) Việc giải trực tiếp theo biến x gặp khó

khăn thì ta thường ñặt t = ϕ(x) ñểñưa (1) về bất phương trình của t ñơn giản hơn

(1) ⇔ h(t) > 0 (2) (Hoặc là h(t)< 0)

Giải (2) thì tìm miền nghiệm của t, sau ñó ta thay t = ϕ(x) ñể tìm miền nghiệm của biến x

4 Phương pháp ñánh giá:

Trong phương trình mũ ta ñã gặp 2 phương pháp ñánh giá thì trong bất phương trình mũ ta

cũng gặp 2 phương pháp này, vấn ñề là việc trình bày trong phương pháp ñồ thị

Bài toán: Giải bất phương trình: f(x) > g(x)

Trong ñó: y = f(x) là hàm luôn ñồng biến

y = g(x) là hàm luôn nghịch biến

Theo phương pháp về giải phương trình thì f(x) = g(x) có nghiệm, giả sử nghiệm là x0

+Ta có x = x0⇔ f(x0) = g(x0) = d → x0 không là nghiệm

+Nếu x > x0→ f(x) > f(x0) = d =g(x0) > g(x) → x > x0 là nghiệm của bất phương trình

+Nếu x < x0→ f(x) < f(x0) = d = g(x0) < g(x) → x < x0 không là nghiệm

Vậy:

Nghiệm là x > x0

II - BÀI TẬP LUYỆN

Giải các bất phương trình mũ sau:

1 2

1 2 2

x

x x 1

≥

−

+

−

−

7 5x 2 3

x

1

x

x x

−

<

9 9x +2(x −2).3x +2x −5>0 10 ) 12

3

1 (

3 ) 3

1

1 x

2

<

1 2

1 x 2 2

x

x 1

≤

−

+

−

−

13. 4 2 1 2

x x

x

− + <

1 x 1

x

) 2 5 ( ) 2 5

−

+

15. 3 2 2 ( )1 | 1|

3

x − x ≥ x− −x 16 x 1 x

3 1

1 1 3

1

−

>

−

+

17. 2(5x + 24) − 5x −7 ≥ 5x +7 18 3x + 4x > 5x

19. 8x ≤ 4.(4− 2x) 20. 252x x− +2 1+92x x− +2 1 ≥ 34.152x x− 2

1 x 1

x 3 x

) 3 10 ( )

3 10

+

−

−

−

<

+

23 ðHTCKTOÁN 98: 4 x ≤3.2 x x+ +4 x+ 1

25.3 1 22 1 122

x

x+ − x+ < 26. 2.2x +3.3x >6x −1

27. (2 3 + 11)2x−1+(2 3 − 11)2x−1 ≤ 4 3

x x x x − x x x −

29. 2−5x −3x2 + 2x >2x.3x 2−5x−3x2 +4x2.3x

30. 4 2 3 x 31 x 2.3 x 2 2 6

x + x + + < x + x +

31.ðHXD - 01: x4 −8.ex−1> x(x2.ex−1 −8)

− − + + > − − + +

2

1

x x

x x

+

−

34. 4x2 +(x2 −3).2x2 −2x2 + ≥2 0 35 9x −2(x +5).3x +9(2x + ≥1) 0

D Ạ NG 3: PH ƯƠ NG TRÌNH LOGARIT.

I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1) Phương trình logarit cơ bản:

+) Dạng: logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab với 0 < a ≠ 1

+) Dạng: logaf(x) = logag(x) ⇔











=







>

>

) x ( g ) x ( f

0 ) x ( g

0 ) x ( f

+) Dạng: log (x)g(x) = log (x)h(x) ⇔



















=

≠

<







>

>

) x ( h ) x ( g

1 ) x ( f 0

0 ) x ( g

0 ) x ( h

2) Phương pháp mũ hóa:

Khi phương trình logarit không có cùng cơ số thì ta thường ñưa phương trình này về

phương trình mũ không chính tắc bằng phương pháp mũ hóa:

Ví dụ: log2(1 + x ) = log3x

3) Phương pháp ñặt ẩn phụ:

4) Phương pháp ñánh giá:

Như phương trình mũ

II - BÀI TẬP LUYỆN

1 logx16 - logx2 =

2

1

3 log ( x +4 x) = 1 log x 4 log (3x+3) + log (3x+1+9) = 2

5 log2(x + 3log6x) = log6x 6 lg( x +1) = log3x

7 log3x + log 3x + log

3

1x = 6 8 log2x + log8x = 8

9 logx2.log2x2.log24x = 1 10 log9x27 - log3x3 + log9243 = 0

11 logx2.log2x2 = log8x2

12 HVBCVT – 99 log

x

22 + log24x = 3

13 ðH Y HN – 99 log5x + log3x = log53.log9225

14 ðH THỦY SẢN – 99 log1− x(6x2 - 5x + 1) - log1− x(4x2 -4x +1) - 2 = 0

15 ðHXD – 99 logx(cosx - sinx) + log

x

1(cosx + cos2x) = 0

16 ðHNNHN – 99 log2x - log4x =

-6 7

17 log2(x - x2 −1).log3(x + x2 −1) = log6(x- x2 −1)

18 ðH KINH TẾ - 00 ( x2 −4x+3 +1).log5

5

x + ( 8x 2x 6 1) x

1 − 2 − + = 0

19 ðHBK – 00 log4(x + 1)2 + 2 = log 2 4−x + log8(x + 4)3

20 ðHQG – 00 log5x = log7(x + 2)

21 ðHTN – 00 log9(x2 -5x + 6)2 = log x 3

2

1 x log 2

1

3

22 HVBCVT – 00 log3(x2 + x+ 1) - log3x = 2x - x2

23 ðHNT – 00 logsinx4.log

x sin2 2 = 4

24 xlg2x2−3lgx−4,5 = 10−2lgx

2 log

1 )

1 x 3 (

3 x

+

26 ðH LUẬT – 01 log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

x

5 x 4 x 2

3 x x (

2

+ + + +

28 ðHSP VINH - A – 01 log4(x − x2 −1).log5(x + x2 −1)=log20(x − x2 −1)

29 ðHNNI - B – 01 log (2 x) log 2 x x 2

30 ðHKTQD – 01 log x+7(9+12x +4x2)+log x+3(6x2 +23x +21)=4

31 TSðH - A - 2002 Cho phương trình: log23x + log32x +1−2m−1=0

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m ñể phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1, 3 3]

33 2 3log 2x log 5 2

x + = x

D Ạ NG 4: B Ấ T PH ƯƠ NG TRÌNH LOGARIT.

I - CÁC PNƯƠNG PHÁP GIẢI

1) Bất phương trình logarit cơ bản:

+) Dạng: logaf(x) > b ⇔ f(x) > ab Nếu a > 1

⇔ f(x) < ab nếu 0 < a < 1

+) Dạng: logaf(x) > logag(x) ⇔







>

>

) x ( g ) x ( f

0 ) x ( g

Nếu a > 1

⇔







<

>

) x ( g ) x ( f

0 ) x ( f

Nếu 0 < a < 1

+) Dạng: log (x)g(x) > log (x)h(x) ⇔





















>

>

>







<

<

<

<

0 ) x ( h ) x ( g

1 ) x ( f

) x ( h ) x ( g 0

1 ) x ( f 0

2) Phương pháp mũ hóa:

Như trong phần phương trình logarit

Ví dụ: giải bất phương trình log2(1 + x ) > log3x

3) Phương pháp ñặt ẩn phụ:

Ví dụ: giải bất phương trình 20.log x 7.log x 3log x2 0

2 x

3 x 16

4) Phương pháp ñánh giá:

Ví dụ: giải bất phương trình log2x+log5(2x +1)>2

II - BÀI TẬP LUYỆN

Giải các bất phương trình sau:

3 log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1

2

1 2

1 2

1 − + + − − > 4 log 2(3 x) 1

x

x− − >

5

1 x

1 x log log 1 x

1 x log

log

3 1 2 1 3

−

<

−

+

x 4

x 26 log

3

a >

−

−

7 (1,25)1−log22x <(0,64)2+log 2x 8. 2 2

log ( x − 4x+ + + 5 1) log (x − 4x+ 7) ≤ 2

9.

1 x 3 x

2

log

1

2

3

1

3

1 +

2 1

2

1 x

1 x 8 x log

2











+

+ +

2

x

32 log 9 8

x log x

2

1 2

2

3 2 2 1

4

14.ðHTL – 99 log4(2x2 +3x +2) +1>log2(2x2 +3x +2)

1 1 x 2

1 log

) 1 x ( log 2

5 1 5

25 − ≥  − −  −

16 ðHNN – 99 logx−1(x2 −x)>2

x

1 5

x log ) 1 3 x 4

x

) 1 x ( log )

1 x

(

19. HVQHQT - D – 01 ) 1

2 x

2 x 3 (

+ +

2 1 2

2

+

3

1 (

3 ) 2 2

x ( log log log x 1

2 3 1 2

3

≥

















+

23 ðHAN - D - 01 Tìm tập xác ñịnh của hàm số: y = log2(x2 +2).log2−x2−2

25. (log 2 )2 log 2

x

+ ≤

26. (log 3 )2 log 3

x

DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1) Phương pháp cơ bản:

Là phương pháp mà trong ñó có một phương trình của hệ có dạng cơ bản hoặc ñưa hệ về dạng

cơ bản Khi ñó từ phương trình cơ bản ta rút ra ñược quan hệ hoặc ñược một biến, thay vào các

phương trình ñể giải các ẩn còn lại

Ví dụ: giải hệ









=

=

+

+

12 y x

12 y x x y

y x

2) Phương pháp ñặt ẩn phụ:

Ta thường ñặt các biến:









=

=

) y ( g

b v

a

ðể ñưa hệ với các biến x, y thành hệ với các biến u,v

thường gặp( ðối xứng loại 1, loại 2, ñẳng cấp )

Ví dụ: giải hệ







= +

= +

4 y x

8 2

3) Phương pháp ñánh giá:

Là tổng hợp phương pháp ñánh giá của việc giải phương trình Có thể kết hợp các phương trình của hệñểñánh giá

Ví dụ: giải hệ







−

≥ +

≤ +

2 y x

1 2

II - BÀI TẬP LUYỆN

Bài 1: Gải các hệ sau:









=

=

18

2

3

12

3

2

y

x

y

x

2)













=

= −

3

y 3

) 2

1 ( 4

x log

y x x

9

3)











=

−

=

2

1 x log y

log

x

2

4 4

x

y









= +

= +

+ +

+ +

−

1 8

y 3 2

x 2

2 2

y 3 2

x

y x y

x

y x 1

y x

5)









≤ + +

−

−

= − −

−

−

−

8 ) 3 y ( 1 y

y

4

3 2

2

4 y 3 log 3

x







−

≥ +

≤ + −

− +

3 log 2 y 3 x

2 4

3 4

4

1 y 1

y x

7)









=

=

y

x

y

x

b

a

y

x









=

= − +

y x y x

y x

2 2

y x y x

10)









≥ +

−

−

−

= −

− +

−

1 ) 1 y ( 2 y 3 3

y

7 4

2

1 y 7 log 12 x









=

− +

= +

2

9 y x y x 2

y x

2 2

12)









=

=

+

+

y

3 y

x

2

x









=

= − +

1 y x

y x

2

y x y x

14)









+

= + +

=

+

1 x 1 xy x

3

2 3 2

2

2

x y 2

y 1

x

15)

2

3

2 3 log 5 4

2

x x y

y y y





− − + + ≤



16) Cho hệ phương trình















−

= +

=

4 x

y 2 x

my x

9 9 3

a) Giải hệ khi m = 3

b) Tìm m ñể hệ có nghiệm duy nhất

17)









=

= +

64

12 64

64

y

x

y x

18)

2

2

2 2

x y

x y







19)ðH MỎ - 01:









=

− +

= +

−

−

0 6

) y x ( 8

1 3

) y x (

y x 4

x y 4

4 4

20) TSðH - B - 2004 Giải hệ phương trình:











= +

=

−

−

25 y

x

1 y

1 log ) x y ( log

2 2

4 4

1

21)

log ( ) log 3

2 2

xy

xy

x y x y





22)

2 2 2

2

2

64

lgy lgx lgx

xyz



=





=



23)

2

2 2

2 2 2

x x y y

y x y











+ = +

