Tính diện tích mặt cầu S khi biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4 .. Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác A BD quanh một đường kính của nó ta được một mặt cầu.. Tính bán kính R
Trang 1Gọi R là bán kính của mặt cầu thì:
Diện tích mặt cầu: S4R2
Thể tích khối cầu: 4 3
3
V R
Cho mặt cầu S O R và mặt phẳng ; P , gọi d là khoảng cách từ O đến P và H là hình chiếu vuông góc của O trên P
d R
P S O R ; S H r ; với
2 2
r R d
d O P ; OH R2r2
d R
P S O R ; H
P tiếp xúc với S O R ,
d O P ; OH R
d R
P S O R ;
Lưu ý: Khi d 0 thì mặt phẳng P đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi
là đường tròn lớn của mặt cầu
O
O
P
O
H –
Trang 2Cho mặt cầu S O R và đường thẳng ; Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên và d OH
là khoảng cách từ O đến Khi đó:
d R
S O R ; A B,
H là trung điểm của AB
4
AB
d O d OH R
dR
S O R ; H
gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S O R ; hay tiếp xúc với S O R ; và H là tiếp điểm
d O d ; OH R
dR
S O R ;
Ta có hai cách thông thường (cách 1 + 2) để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp như sau:
Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đa giác đáy
Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực P của một cạnh bên
Bước 3: Giao của P và là tâm mặt cầu ngoại tiếp I của hình chóp đã cho
Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đa giác đáy
Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp d của đa giác mặt bên hoặc tam giác tạo thành từ ba đỉnh bất kì Bước 3: Giao của , d là tâm mặt cầu ngoại tiếp I của hình chóp đã cho
Bước 1: Chỉ ra tất cả các điểm đều nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông
Bước 2: Tâm mặt cầu ngoại tiếp các điểm đó là trung điểm đoạn thẳng, bán kính
d
H
A
B
O
d
O H
d O H
Trang 3Tam giác đều cạnh 3
3
a
Tam giác vuông cạnh huyền Hình chữ nhật đường chéo
Tam giác vuông cân cạnh 2
2
a
A 25 B 500
3
C 100 D 100
3
Tính diện tích mặt cầu S khi biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4
A S 32 B S 16 C S 64 D S 8
Thể tích khối cầu có đường kính 2a bằng
A
3
4
3
a
B 4 a 3 C
3
3
a
D 2 a 3
Cho mặt cầu có diện tích là 36 Thể tích của khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là
A 27 B 108 C 81 D 36
Cho mặt cầu S và mặt phẳng P , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt phẳng
P bằng a Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 2 3 a Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu?
A 12 a 2 B 16 a 2 C 4 a 2 D 8 a 2
2 2
a
a R 2
b
b R
2
d
d R
2 sin sin sin
R
A B C
4
abc
a b c R
S
S p p a p b p c
2
a b c
p
Trang 4Đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a 3 bằng
2
a
Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng 3a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác
A BD quanh một đường kính của nó ta được một mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này
A 2
25 a Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có các cạnh đều bằng a Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó
A
2
7 3
a
S
2
7 3
a
2
49 144
a
S
D
2
49 114
a
S
2
SC
R
Tâm I là trung điểm SC
phẳng BCD, AB 5 a, BC 3 a và CD 4 a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 5 2
3
a
3
a
2
a
2
a
R
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB 3, AD4, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 45 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A R 5 B R5 2 C 5 2
2
2
R
D A
S
B
C A
S
Trang 5 Bước 1: Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RÐ.
Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: 2 2
4
Ð
SA
R R
Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
2
SA a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A
2
8
3
a
2
16 3
a
2
16 9
a
D 16 a 2
với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng đáy bằng 60 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng
A
2
172
3
a
2
76 3
a
C 84 a 2 D
2
172 9
a
Bước 1: Tính độ dài đường cao của hình chóp h SO
Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
2
2
SA R SO
Đặc biệt:
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường
chéo
ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền
ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm
I K
B
S
O
A
S
Trang 6(Đề tham khảo 2017) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 3 2 ,a cạnh bên bằng 5 a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A R 3a B R 2a C 25
8
a
R D R 2 a
Cho hình chóp tam giác đều S ABC , có cạnh đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng
A 4a3 3 B
3
3
a
3
3
a
D 4a3 2
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB3,AD4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A 250 3
3
6
3
27
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và ABC vuông
góc với nhau: SAB ABCAB
Bước 2: Tính R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam 1, 2
giác SAB và ABC
Bước 3: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: 2 2 2
4
AB
R R R
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC bằng
A 12a2 B 36a2 C 18a2 D 12a3
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A
3
7 21 54
a
B
3
7 21 18
a
C
3
4 3 81
a
D
3
4 3 27
a
O H
S
B
C A
J I
Trang 7Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R x2r2 với:
r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
2 2
2
SO r
x
h
; trong đó: S là đỉnh hình chóp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao khối chóp
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC 1,
2
AD Cạnh bên SA 1 và SA vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm AD Diện tích S của mc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE là
A Smc 5 B Smc 3 C Smc 11 D Smc 2
Cho mặt cầu có bán kính r4 Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A 16 B 64 C 64
3
3
Diện tích mặt cầu bán kính 2a là
A 4 a 2 B 16 a 2 C 16a2 D
2
4 3
a
Cho mặt cầu có diện tích bằng
2
8 3
a
Bán kính mặt cầu bằng
A 6
3
a
3
a
3
a
2
a
Thể tích khối cầu có đường kính 2a bằng
A
3
4
3
a
B 4 a 3 C
3
3
a
D 2 a 3
Cho khối cầu có bán kính R 2 Thể tích của khối cầu đã cho bằng
A 4 B 8 C 8 2
3
3
Thể tích của khối cầu bán kính 3alà
A 4 a 3 B 12 a 3 C 36 a 2 D 36 a 3
Trang 8Cho mặt cầu có diện tích là 36 Thể tích của khổi cầu được giới hạn bởi mặt cầu đã cho là
A 27 B 108 C 81 D 36
Cho mặt cầu S và mặt phẳng P , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt phẳng
P bằng a Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 2 3 a Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu?
A 12 a 2 B 16 a 2 C 4 a 2 D 8 a 2
Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng 3a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác
A BD quanh một đường kính của nó ta được một mặt cầu Tính diện tích mặt cầu này
A 2
25 a Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 Thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là
A 2
3
2
2
2
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB a , AD AA 2 a Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng
A 9 a 2 B
2
3 4
a
2
9 4
a
D 3 a 2
Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a
A
3
6
a
V
3
4 3
a
V
C
3
3
a
V
3
2
a
V
Cho lăng trụ đứng ABC A B C có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với
AB AC BAC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên
A 64 2
3
B 16 C 32 D 32 2
3
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 3 a, BC 4 a, SA 12 a và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A 13
2
a
2
a
2
a
R
Cho hình chóp ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B Biết SAvuông góc với ABCD,
,
ABBC a AD2 ,a SA a 2 Gọi Elà trung điểm của AD Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S A B C E, , , , bằng
A 3
2
a
6
a
3
a
D a Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA a 6 và vuông góc với đáy ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD
A 8 a 2 B a2 2 C 2 a 2 D 2a2