7 tổng ôn phương trình bất phương trình mũ logarit

 Với b0, phương trình đã cho vô nghiệm...  Sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ ẩn t.. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng 5 A... Ta sẽ l

Phương trình: ax b a 0, a1

 Với b0, ta có: x log

a

a  b x b

 Với b0, phương trình đã cho vô nghiệm

 Nếu a0;a thì phương trình: 1 af x ag x  f x g x 

 Phương trình dạng: af x bg x , với a b 1 a1; b0 ta sẽ giải như sau:

a

 

 

Phương trình dạng m a 2 f x n a f x   p 0

 Ta đặt t a f x t0 đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: m t.2n t p   0

 Với phương trình: m a 3 f x n a 2 f x  p a f x   ta cũng đặt q 0 t a f x t0 đưa về phương trình bậc 3 đối với ẩn t

Phương trình dạng 2        2  

.A f x f x f x 0

m n AB p B  (2)

 Chia 2 vế của phương trình (2) cho  2 f x  

B ta được :

2

 

f x

–

 Phương trình  

 

0 1, 0

log

f x

a



 Phương trình f x  g x  log f x  log g x     .log

Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên  a b; thì số nghiệm của phương trình f x k trên  a b; không nhiều hơn một và f u  f v  u v, u v,  a b;

Giải phương trình f x g x 

Nếu ta đánh giá được  

 











f x m

g x m thì      

 









f x m

f x g x

g x m

Là phương trình có dạng loga f x logag x    1 , trong đó f x và   g x là các hàm số chứa  

ẩn x cần giải

Cách giải

Bước 1 Điều kiện:  

 

0; 1 0 0

f x

g x







 Bước 2 loga f x loga g x  f x g x 

 Chú ý

 Với dạng phương trình log     b

 Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log 2 n 2 log

ax  n a x , nếu x0 thì log 2 n 2 log

 Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng      

0

g x

f x g x







Phương trình dạng Qloga f x 0

 Điều kiện

 

0; 1 0

f x





 Ta đặt tloga f x  đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: Q t  0

Phương trình logaf x logbg x  (với a0;a ) 1

 

t

f x a

g x b



 phương trình mũ ẩn t

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ ẩn t

(Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình 22 x  3  là 2x

A x8 B x 8 C x3 D x 3

(Mã 101 – 2021) Nghiệm của phương trình log 53 x 2 là

A 8

5

5

x D x8

Tính tổng S   biết x1 x2 x , 1 x là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức 2 2

3

2

4

x



      

A S 5 B S8 C S4 D S2

Số nghiệm của phương trình  2  

log x1 log 2x 1 2 là

Biết phương trình 4x 5.2x  có hai nghiệm 3 0 x x Tính 1, 2 x1 x2

A 3 B log 3 2 C 5 D log 5 2

Cho phương trình 2   

log 4x log 2x  Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng 5

A  0;1 B  3;5 C. 5;9 D  1;3

Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2x2 132 x  3

A 3log 32 B log 542 C  1 D.1 log 3 2

(Tham khảo 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 7 33  x  bằng 2 x

[ĐỀ MH 2020 – L1] Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log9xlog6ylog 24 x y  Giá trị của x

y bằng

3 log 2

 

 

2

log 2

Biết x , 1 x là hai nghiệm của phương trình 2

2

2 7

2

x

1 2

4

x  x  a b với a, b là hai số nguyên dương Tính a b

A a b 16 B a b 11 C a b 14 D a b 13

Xét bất phương trình ax b, a0,a1

 Nếu b0 thì tập nghiệm của bất phương trình là S vì ax 0  x 

 Nếu b0 thì:

 Với a1 thì bất phương trình x log

a

a   b x b

 Với 0 a 1 thì bất phương trình x log

a

a   b x b

Xét bất phương trình af x  ag x 

 Nếu a1 thì af x ag x  f x g x  (cùng chiều khi a1)

 Nếu 0 a 1 thì f x  g x     

a a  f x g x (ngược chiều khi 0 a 1)

 Nếu a chứa ẩn thì af x ag x  a1  f x g x 0

Xét bất phương trình dạng: af x bg x  (*) (với a1;b0)

 Lấy logarit 2 vế với cơ số a1 ta được: (*) log f x  log g x     log

 Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 a 1 ta được: (*)logaaf x  logabg x  f x g x logab

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số

Cho hàm số y f t  xác định và liên tục trên D:

 Nếu hàm số f t  luôn đồng biến trên D và u v D,  thì f u  f v  u v

 Nếu hàm số f t  luôn nghịch biến trên D và u v D,  thì f u  f v  u v

Xét bất phương trình logax b a  0,a1.

 Nếu a1 thì log b

ax b  x a

 Nếu 0 a 1 thì log 0 b

ax b   x a

Xét bất phương trình loga f x logag x  a0,a1

 Nếu a1 thì loga f x logag x  f x g x  (cùng chiều khi a1)

 Nếu 0 a 1 thì loga f x loga g x  f x g x  (ngược chiều khi 0 a 1)

 Nếu a chứa ẩn thì log   log          0;   0

f x g x

a f x g x





Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 2x2 1 là 8

A  0; 2 B ;2 C 2;2 D 2;

3

log 31x  là 3

A ; 2 B 2;2 C   ; 2 2; D 0; 2

Tập nghiệm của bất phương trình

   

   

    là

A 2;

3

  

2

; 3

  

2

; 5

 

2; 3

 

 

Tập nghiệm của bất phương trình 1  3 

3

log x 1 log 11 2 x  là: 0

A ; 4 B 1; 4 C  1;4 D 4;11

2



 

A 0; B 0; C.1; D 1;

Tập nghiệm của bất phương trình 2

log x5log x  là 6 0 S a b; Tính 2a b

Bất phương trình x39 lnx x5 có bao nhiêu nghiệm nguyên? 0

3

3x 9 logx  x25 30?

Tìm tham số m để f x m ; 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D

Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x P m  

Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D  

Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P m để đường thẳng   yP m nằm  

ngang cắt đồ thị hàm số y f x  



 Hàm số y f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị   P m cần tìm để phương  

trình có nghiệm thỏa mãn min     max  

 Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng yP m nằm ngang cắt đồ thị hàm số   y f x tại k điểm  

phân biệt

 Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới

 Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1x2a hoặc x x1 2b , ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy Logarit hoặc

Mũ hai vế hợp lí

Tìm tham số m để f x m ; 0 hoặc f x m ; 0 có nghiệm trên D

Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x P m hoặc   f x P m  

Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D  

Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P m để bất phương trình có nghiệm:  

 P m  f x có nghiệm trên D     max  



x D

 P m  f x có nghiệm trên D     min  



x D

 Bất phương trình P m  f x nghiệm đúng     min  

x D



 Bất phương trình P m  f x nghiệm đúng     max  

x D



 Nếu f x m ;   0; x  hoặc f x m ;   0; x  với f x m là tam thức bậc hai, ta sẽ sử  ; 

dụng dấu của tam thức bậc hai

Đặt t a u x  hoặc tlogau x , tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t  

Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f u  f v với   f t là hàm số đơn điệu và đại diện  

cho hai vế của phương trình Khi đó f u  f v  u v

Xét hàm số f x ax2bx c có hai nghiệm phân biệt  x x 1, 2

 Ta có  b24ac và định lý Vi-ét: 1 2

1 2

   







b

x x

a c

x x a

 Phương trình f x 0 có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

1 2

0 0 0

 





  



x x

x x

 Phương trình f x 0 có hai nghiệm trái dấu ac0

 Bất phương trình   0; 0

0





     



a

 Bất phương trình   0; 0

0





     

 a

(Mã 101 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

16xm.4x  5m 45 0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Gọi  a b; là tập các giá trị của tham số m để phương trình 2e2 x8ex  có đúng hai m 0 nghiệm thuộc khoảng 0;ln 5 Tổng a b là

log x log 3x  1 log m (m là tham số thực) Có tất

cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

log 2x  m2 log x m  2 0 ( m là tham

số thực) Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;2 là

A  1; 2 B  1;2 C 1; 2 D 2;

Cho phương trình log 3 log 2 32 x 2 m x , với 2 m là tham số thựC Tính giá trị của tham số m

để phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 3x x 1  2 0,5

A m1 B m2 C m3 D m0

2log x3log x2 3x  (m 0 m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để bất phương trình 9xm.3x   nghiệm m 3 0 đúng với mọi x?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để bất phương trình

2 1

3x   m3 3x2 m 3 0 có nghiệm?

(Mã 105 - 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

2

log x2 log x3m  có nghiệm thực 2 0

3

m

Tìm tham số m sao cho bất phương trình log 52 x1 log 2.5 2 x2 có nghiệm m  x 1

Nghiệm của phương trình log2x75 là

A x18 B x25 C x39 D x3

Phương trình 52 x 1125 có nghiệm là

A 5

2

2

x Tập nghiệm của bất phương trình log0,5x 1 1 là

A ; 3

2

  

3 1;

2

 

 

3; 2

  

3 1;

2

 



  Tập nghiệm của phương trình  2 

3

log x  x 3  là 1

A 1;0 B  0;1 C  0 D  1

Cho phương trình 3x2  4 x 5 , tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là 9

A 25 B 28 C 26 D 27

Tập nghiệm của bất phương trình  2

3

log 36x  là 3

A   ; 3 3; B ;3 C 3;3 D 0;3

Tìm tập nghiệm Scủa bất phương trình 1  1 

log x 1 log 2x 1

A S2; B S  1;2 C S  ; 2 D 1; 2

2

S   

Tập nghiệm của phương trình 4 2 1

2

x

x x       là

A 0;2

3

 

 

1 0;

2

 

 

  C  0; 2 D 0;3

2

 

 

  Tập nghiệm của bất phương trình 5x  15x2  x 9 là

A 2; 4 B 4;2

Số nghiệm của phương trình  2   

log x 6 log x2  là 1

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log log log3 9 27 log81 2

3

x x x x bằng

82 9 Tìm tập nghiệmS của bất phương trình

2 3

 

 

A S 1;2 B S  ;1 C S 1; 2 D S2; 

Cho số thực x thoả mãn: 25x51  x  Tính giá trị của biểu thức 6 0 T   5 5x

A T5 B T   1 C T6 D 5

6

T  Tổng các nghiệm của phương trình 3x  131  x 10 là

Biết phương trình 2 

log 2x 5log x0 có hai nghiệm phân biệt x và1 x Tính 2 x x 1 2

Tích các nghiệm của phương trình   2

25

log 125 logx x x1

A 630 B 1

630

7 125 Tập nghiệm S của bất phương trình 2

log x5log x  là 6

A 1; 64

2

   B S  0;12

1

S    

Số nghiệm nguyên của bất phương trình log2xlog5x 1 log log2x 5x là

Phương trình log 5.22 x42x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

Tập nghiệm của bất phương trình  1

3

log 10 3 x    chứa mấy số nguyên 1 x

Cho phương trình 4x2 6m x3.9x  (0 m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;7 để phương trình đã cho có nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình 1  3 

3

log x m log 2x  (0 m là tham số) có nghiệm?

Cho phương trình 2

log x4 log x m  3 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x21?

Xét bất phương trình 2   

log 2x 2 m1 log x 2 0 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2; 

A 3; 0

4

m   

  B m0; C m  ;0 D 3;

4

m  

 

Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32 x  23 3x m  2 1 3m  có không quá 0

30 nghiệm nguyên?