Toán hình 9 hay

Toán hình 9 hay bao gồm các vấn đề cơ bản ôn tập thi vào lớp 10, các bài toán hình và lời giải chi tiết thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10

VẤN ĐỀ 1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Nêu khái niệm đường tròn tâm O bán kính R

 Cho đường tròn O R và điểm M Xét vị trí tương đối của điểm M với ;  O R ; 

 Nếu BC là đường kính của O R , A là điểm thuộc đường tròn thì ;  ABC vuông tại A

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn  O , điểm B nằm bên trong đường tròn  O Hãy so sánh OAB và OBA Đs: OAB OBA

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD12cm CD, 16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B,

C, D cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó Đs: R10cm

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm O đường kính BC, cắt các cạnh AB, AC theo

thứ tự ở D, E

a) Chứng minh rằng CD AB BE, AC

b) Gọi K BECD Chứng minh rằng AKBC

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Cho tam giác ABC Hãy vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 a) Cho đường tròn  O ,A là một điểm bất kỳ nằm trên  O Gọi A là điểm đối xứng với '

A qua  O Chứng minh rằng A cũng nằm trên '  O

b) Từ kết quả câu a, kết luận về tâm đối xứng của đường tròn

3 a) Cho đường tròn  O ,AB là một đường kính bất kỳ và C là một điểm nằm trên  O Gọi '

C là điểm đối xứng với C qua AB Chứng minh rằng C' cũng nằm trên  O

b) Từ kết quả câu a, kết luận về trục đối xứng của đường tròn

4 Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngọai tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

5 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm sau đối với đường

tròn O; 2 : M1; 1 ,  N 2; 2 , P1; 2  Đs: OM  2,ON2,OP 5

6 Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc Oy Dựng đường tròn tâm M đi qua D, E sao cho

M nằm trên tia Ox

7 Cho hình vuông ABCD, O là giao của hai đường chéo, OA 2cm Xét vị trí tương đối của năm điểm A B C D O, , , , với đường tròn A; 2cm 

8 Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a Đs: 3.

3

a

9 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn  O Đường cao AH cắt đường tròn ở D a) Vì sao AD là đường kính của  O

b) Tính số đo góc ACD

c) Cho BC24cm AC, 20cm. Tính AH và bán kính đường tròn  O

d) Cho BC12cm AH, 4cm Tính bán kính đường tròn  O

VẤN ĐỀ 2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chứng minh định lý 1: Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

a) Chứng minh định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi

qua trung điểm của dây đó

b) Chứng minh định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây

(không đi qua tâm) thì vuông góc với một dây đó

Tứ giác ABCD gọi là tứ giác nội tiếp nếu có một đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó

c) Như vậy, trong một đường tròn

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Dây cung với đường tròn

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK

a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp

b) So sánh HK và BC

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD Gọi M là điểm bất kỳ

trên (O), H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AC, AD Chứng minh rằng HK AB

Luyện tập

1 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và dây MN không cắt đường kính

a) Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A, B đến MN Chứng minh rằng

HM KN

b) Các đường vuông góc với MN kẻ từ M, N đến AB cắt AB lần lượt tại C, D Chứng minh

rằng ACBD

Dạng 2 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Ví dụ 3: Cho AB và CD là hai dây khác đường kính của đường tròn O R; . Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD Chứng minh rằng OH2HB2OK2KD2

Luyện tập

2 * Cho đường tròn O R và điểm M cách O một khoảng ;  r r R Tính độ dài dây ngắn

nhất và dài nhất qua M

3 Cho đường tròn (O) và hai dây MN, PQ dài bằng nhau cắt nhau tại A

a) Chứng minh rằng OA là phân giác của hai góc tạo bởi MN và PQ

b) Chứng minh rằng ANAQ

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

4 Cho tứ giác ABCD có   A C90 0

a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp

b) So sánh hai đường chéo AC và BD. Tứ giác ABCD là hình gì nếu ACBD

5 Cho đường tròn (O) bán kính OA11cm. Điểm I nằm trên OA và OI 7cm. Qua I kẻ dây

MN dài 18 cm. Tìm độ dài IM, IN

6

7 Cho đường tròn (O), đường kính AD2 R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C

a) Tứ giác OBDC là hình gì?

b) Tính CBD,CBO,OBA

c) Chứng minh rằng tam giác ABC đều

8 Cho đường tròn O; 25cm Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài lần lượt bằng 

40cm, 48cm Tính khoảng cách giữa hai dây đó

9 * Cho đường tròn  O , hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn Gọi H

và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng MH MK, biết rằng

ABCD

10 * Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K lần lượt là chân đường

vuông góc kẻ từ A, B đến CD

a) Chứng minh rằng S AHKB S ACBS ADB

b) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB30cm CD, 18cm

VẤN ĐỀ 3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Cho đường thẳng d và đường tròn

O R; . Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d Khi đó ta có

Số giao điểm của

d và O R; 

Vị trí tương đối giữa đường

thẳng d và O R; 

Quan hệ giữa khoảng

cách OH và bán kính R

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến ường tròn đ

 Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn  O , ta làm như sau:

Cách 1: Chứng tỏ rằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính của đường

tròn  O

1 Cho hình thang vuông ABCD có 0

minh rằng đường thẳng ÀD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Cách 2: Chứng tỏ rằng đường thẳng d đi qua một điểm của đường tròn  O và vuông góc

với bán kính đi qua điểm đó

2 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA, chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA

d

O

d

d

H

3 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH Chứng minh rằng:

a) Điểm E nằm trên đường tròn b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Dạng 2 Sử dụng kiến thức về tiếp tuyến để giải các bài toán khác

 Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính của

đường tròn đi qua tiếp điểm

4 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB

a) So sánh CE và CF

b) Chứng minh rằng AC là tia phân giác góc BAE

c) Chứng minh rằng CH2 AE BF

5 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O)

sao cho tiếp tuyến đó song song với d

6 Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA

a) Tứ giác OCAD là hình gì? vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I Tính độ dài CI biết OA = R

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

7 Cho tam giác ABC vuông tại A AB  AC, đường cao AH Gọi E là điểm đối xứng với B qua

H Đường tròn đường kính EC cắt AC tại K Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn

8 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Vẽ đường tròn tâm O

đường kính AH Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

9 Cho đoạn thẳng AB và các đường thẳng d d1, 2 lần lượt vuông góc với AB tại A, B Gọi O là trung điểm của AB và qua O dựng một góc vuông cắt d d1, 2 lần lượt tại C, D Chứng minh rằng

CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

10 Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng kẻ

qua I vuông góc với BD cắt AD tại E

a) So sánh các đoạn thẳng AE, EI, ID;

b) Xác định trí tương đối của BD với đường tròn (E; EA)

10\1 Cho đường tròn (O; 15cm), AB là dây cung của đường tròn Tìm tập hợp trung điểm I của

AB khi AB thay đổi trong đường tròn (O), biết rằng AB = 24cm

ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1 Hướng dẫn: Sử dụng cách 1

Tìm được BC13cm

Gọi O là trung điểm của BC  Đường tròn tâm O đường kính BC có bán kính R6,5cm

Kẻ OH  AD Phải chứng minh OH R. Thật vậy, do OH là đường trung bình của hình

thang nên 1  6, 5

2

OH  AB CD  cmR

2 Hướng dẫn: Sử dụng cách 2

Ta có ABC DBC c c c    A D90 0

Đường thẳng CD đi qua điểm D của đường tròn tâm B bán kính BA và vuông góc với bán kính BD nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đó

3 a) Vì d là tiếp tuyến nên OCd

Ta có OCAE BF và O là trung điểm của AB nên OC là đường trung bình của hình thang ABFE Do đó CE CF

b) Ta có EAC ACO (so le trong) Mặt khác ACO CAO (vì tam giác OAC cân tại O) Do đó EAC  OAC Đpcm

c) Theo câu b) ta có AE AH Tương tự BF BH

Ta có CH2 AH BH  AE BF

4 Hướng dẫn: Sử dụng cách 2 Phải chứng minh HKO90 0

Gọi O là trung điểm của EC OKC OCK  1

90

EKC

Gọi M là trung điểm của AK HM là đường trung bình của hình thang ABEK

    cân  HAK AKH  2

Từ (1) và (2) suy ra HKA OKC HAK OCK900 HKO90 0

5 Hướng dẫn: Sử dụng cách 2

Ta có E thuộc đường tròn (O) Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O), chỉ cần

phải chứng minh DEOE

Thật vậy ta có DEO DEB BEO DBHOHE DBHBHD90 0

6

Vấn đề 4: TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

I Tóm tắt lý thuyết

Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn thì chúng

ta có các kết quả sau:

- MA = MB

- MO AB tại trung điểm H của AB

- OM là tia phân giác của góc  AMB

- OA  MA OB ,  MB

Nếu từ M bên ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCD thì ta có:

MA2 = MC.MD

II Các ví dụ minh hoạ

Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với

đường tròn (M, N là tiếp điểm)

a) Chứng minh AOMN;

b) Vẽ đường kính NOC Chứng minh rằng MC // AO;

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm

Bài 2: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB, AC kẻ từ A tới đường tròn vuông góc với nhau

tại A (B, C là tiếp điểm)

a) Tứ giác ABOC là hình gì? Tại sao?

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và

AC theo thứ tự tại D và E Tính chu vi tam giác ADE

c) Tính số đo góc DOE

III Luyện tập

Trên lớp:

Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường

tròn (D, E là các tiếp điểm) Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MD và

ME theo thứ tự tại P và Q Biết MD =4cm, tính chu vi tam giác MPQ

Bài 4: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A thoả mãn OA = 5cm Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với

đường tròn Gọi H là giao điểm của AO với BC

a) Tính OH

b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại

D và E Tính chu vi tam giác ADE

Bài 5: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm trên AC, AB lần lượt tại D, E Cho

biết BC = a, AC = b, AB = c Tính độ dài AD, AE theo a, b,c

Bài 6: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi bằng 2p, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r

thì diện tích tam giác ABC là: S = p.r

Về nhà:

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A; AH) Kẻ các tiếp tuyến

BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H)

a) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng

b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By cùng thuộc

nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB) Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C, D

a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất

c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng AB = 4cm

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB và

AC tại D và E

a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?

b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết rằng AB = 3cm, AC = 4cm

Vấn đề 5: Ví trí tương đối giữa hai đường tròn

 Nêu điều kiện để hai đường tròn cắt nhau, ngoài nhau, tiếp xúc trong, tiếp xúc ngoài

 Khái niệm tiếp tuyến chung của hai đường tròn và tính chất

II Các ví dụ minh họa

90 O' 

OA , R = 6cm, R’=4,5cm

a) Tính OO’, AB

b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt (O) và (O’) lần lượt tại C và D So sánh AC, AD, AB

tròn (O1) ở B, (O2) ở C Biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm

a) Tính độ dài BC

b) Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2)

Bài 3: Cho đường tròn (O’, r) tiếp xúc trong với đường tròn (O, R) và tiếp xúc với đường kính

AB của đường tròn này tại M Chứng minh: AM BM = 2Rr

III Luyện tập

Trên lớp

Bài 4: Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài ở A Đường nối tâm OO’ cắt hai đường tròn

(O), (O’) lần lượt ở B và C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D

) (O'

E

O),

 ) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD, CE Chứng minh:

90



EMD

b) MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)

c) MB.MD = ME MC

Bài 5: Cho hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm), OO’ = 6cm

a) Hai đường tròn trên có vị trí tương đối như thế nào với nhau?

b) Vẽ đường tròn (O’, 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó (A là tiếp

I Lý thuyết trọng tâm

điểm) Tia O’A cắt đường tròn (O’, 3cm) ở B Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với O’B, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO’ Chứng minh BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm)

c) Gọi I là giao điểm của BC và OO’ Tính độ dài IO

Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’=3cm Qua A kẻ một đường

thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F (A nằm giữa E và F) Tính xem độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất bằng bao nhiêu?

Về nhà

Bài 7: Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài ở A Gọi OM và O’M’ là các bán kính của hai

đường tròn sao cho OM//O’M’

a) Chứng minh rằng đường thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định S khi các bán kính

OM, O’M’ thay đổi

b) Tính SO và SO’ biết bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là 5cm và 3cm c) Tam giác AMM’ là tam giác gì? Vì sao?

của hai đường tròn ( A  ( O1), B  ( O2) ) và một tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn

C  ( O1), D  ( O2) ) Tính độ dài đoạn O1O2 biết AB=1,5CD

Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc

với đường tròn (O’) tại A Dây AD của (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng:

a) AB KB

b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn