Chuyên đề toán 9 hay

Chuyên đề hay toán 9 tổng hợp các dạng toán hay

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 HAY

MỤC LỤC

1 Chuyên đề 1 Một số dạng toán về căn thức

2 Chuyên đề 2 Biến đổi căn thức phức tạp

3 Chuyên đề 3 Một số bài toán tổng quát về bất đẳng thức

4 Chuyên đề 4 Chứng minh giá trị biểu thức không là một số nguyên

5 Chuyên đề 5 Đổi biến để chứng mình một dạng bất đẳng thức

6 Chuyên đề 6 Phương pháp chọn trong bất đẳng thức

7 Chuyên đề 7 Phương pháp dồn biến để chứng minh bất đẳng thức

8 Chuyên đề 8 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng

9 Chuyên đề 9 Ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trinh và hệ phương trình

2 Tính giá trị của một biểu thức theo các số vô tỉ cho trước

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CĂN THỨC

5 Bài toán về phần nguyên

Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì:

# 4 2

a n  Do đó 2

a  n 

Vì không có số chính phương có dạng 4n  2 nên a # 4n 1

Trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thường có bài toán nhỏ yêu cầu “tính” hay “rút gọn” một biểu thức có dạng M 2 N M N   , 

Lời giải: Ta phân tích 4 3  2 2  3 và có 437 Suy ra C 2 3

Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải: Ta có thể thực hiện theo một số hướng sau:

2 1 2 1

x x

1

a x

14

14

12

12

14

Do đó  x   x   a

4

12

1)

1(

2

14

12

14

14

1)

'1(

Khi đó nghiệm của (1) là x  a2  a (thoả mãn điều kiện)

b Điều kiện x  1 ta có

414

11

43

x

916

11

68

x x

x x

Từ đó ta xét hai trường hợp sau:

+ Nếu x  10 thì (2)  x  1  2  x  1  3  5

 x  1  3  x  10 thoả mãn

+ Nếu 1  x  10 thì (2)  x  1  2  3  x  1  5  0x  0 luôn đúng

Vậy nghiệm của (2) là 1  x  10

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Qua bài toán 1 dưới đây tôi muốn giới thiệu đến các bạn một bất đẳng thức tổng quát,có thể sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác

Bài toán 1 : Cho các số dương a, b, c, k m, n Chứng minh rằng:

 Sau đây là một số bài toán ứng dụng bất đẳng thức (*)

Bài toán 2: Cho ba số a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c =3

Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=8.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số thực không âm , chứng minh rằng:

(a+b – c)(b + c – a)(c + a –b)abc

Phép chứng minh bất đẳng thức trên khá đơn giản và quen thuộc với nhiều bạn, nhưng bất đẳng thức này lại được ứng dụng để giải nhiều bài toán khó,

Ví dụ 1: (đề thi IOM năm 2000), Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1

Áp dụng bài toán trên ta có:

(a+b – c)(b + c – a)(c + a –b)abc

Đề nghị các bạn làm hai bài tập sau:

Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Chứng minh

rằng 2 2 2

3a 3b 3c 4abc13

Bài 2: cho x, y, z là ba số thực không âm có tổng bằng 1.Chứng minh rằng:

KHÔNG LÀ MỘT SỐ NGUYÊN

Để chứng minh giá trị của một biểu thức A không phải là một số nguyên, ta có thể sử dụng một

số cách làm sau:

- Chứng minh n  A  n1, với n  

- Biểu diễn A dưới dạng m

n (với m n, , n  0), rồi chứng minh m không chia hết cho n

- Viết A dưới dạng bc, trong đó b, b  0 và c không là một số nguyên

Chứng minh rằng C không phải là một số nguyên

4 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì giá trị của biểu thức:

CHỨNG MINH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

n E

Chứng minh rằng G không phải là một số nguyên

7 Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên  *

nN Chứng minh rằng p  không là 1một số nguyên

Suy ra 4  C  5 ta có điều phải chứng minh

4 Với x 0 thì D không là một số nguyên Khi x là số nguyên dương thì

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm , có vai trò như nhau, bằng cách đặt:

P=a+b+c; q= ab+bc+ca; r=abc,

Ta có pq-r =(a+b)(b+c)(c+a);

2

p + q=( a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 p q a b c p pq r a b c          Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c nói trên về bất đẳng thức chứa p, q, r ,phép chứng minh đôi khi sẽ đơn giản hơn cùng với việc áp dụng các đúng sau: ng thức 2 3 p  q (1)

3

27 p  r (2)

q2  3pr (3)

pq9r (4)

3

4 9 0 p  pq r (5) Chúng ta cũng dễ dàng nhận thấy rằng p, q, r và các biểu thức chứa p, q, r ở trên đều không âm.Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trên xin dành cho bạn đọc

B CÁC VÍ DỤ

Sau đây các bạn hãy theo dõi một vài ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1.Chứng minh rằng :

(a+b)(b + c)(c + a) (1+ a+ b+ c)

Lời giải:

Do r = abc =1 ,với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:

Chuyên đề: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC

Vì vậy để hoàn thành bài toán, ta chỉ cần chứng minh 2 36

3 6 7

p p

p



 

 Thật vậy từ (1) và (2) suy ra:

Ta có abc = (1 – a)(1- b)(1 – c)= 1-(a+b+c) + ( ab +bc +ca ) – abc , suy ra 2r = 1 – p + q Với cách biến đổi trên bất đẳng thức trở thành:

Xét “ bài toán chọn sau” : Cho hai dãy số thực được xắp thứ tự

Sau nhiều nhất nb bước như trên ta được kết quả S S2 S1S j(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia1a2  a nhoặc b1b2  b n

Tương tự ta chứng minh được S js

Ta cũng có thể áp dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh “ bài toán chọn”

Do 1 ab c d e 0 suy rabcdeacdea b  abcde

Áp dụng bài toán chọn ta có a bcde a(  )b cdea b(  )  e abcd( e)

Bài 5: Cho a  i 0 với mọi i(1; 2; ; )n chứng minh rằng

Bài 6:(Vô địch toán quốc tế 1975)

Cho hai dãy số thực dương x1x2 x n và y1y2  y n giả sử ( ;z z1 2; ;z n)là một hoán vị của ( ,y y1 2, ,y n) chứng minh rằng

(x y) (x y )  ( x ny n) (x z) (x z )  ( x nz n)

Bài 7 Vô địch toán quốc tế 1978)

Cho aa a1, 2, ,a n là các số nguyên dương đôi một khác nhau chứng minh rằng:

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp dồn biến là phương pháp làm giảm biến số của hàm số, đưa hàm số về dạng

Thay vì phải chứng minh trực tiếp bất đẳng thức F(a; b; c) 0 ta sẽ chứng minh các bất đẳng

thức trung gian với số biến ít hơn

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

= x(ax + 2

a +bc)+ 7 – 5a – 5x = ax2+( a2 +bc-5)x+7 – 5a (2)

a bc a

 

2

2

1 5

Điều này là sai với mọi a,b Vậy giả sử trên là sai , suy ra đpcm

Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c(0;1)Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:

Ta có (1) mâu thuẫn với (2) nên giả sử ban đầu là sai, suy ra đpcm

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a a1. 2 2(b1b2)thì ít nhất một trong hai phương trình sau

2

1 2

Điều này là sai với mọi a a1, 2 Vậy giả sử trên là sai, suy ra đpcm

Ví dụ 4: ( Đề thi vô địch tiệp khắc 1959)

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện

a b c

a b c

Mâu thuẫn với (2)

Nếu (5) xảy ra thì tương tự ta cũng chỉ ra được ab+bc+ca< 0 mâu thuẫn với (2)

Vậy giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm

Ví dụ 5: (Đề thi HSG Mát-xcơ -va 1986)

Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai:

(z-x+y)(z+x-y) <0

Nhân theo từng vế 3 bất đẳng thức trên suy ra 2 2 2

(x y z) (y z x) (z x y) 0  là bất đẳng thức sai với mọi x, y, z  giả sử ban đầu là sai đpcm

(Vô địch toán quốc tế)

Bài 4: cho abc0 chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình sau có nghiệm : 2

Chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 7: Tìm các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình

    đều nghiệm đúng hệ phương

trình Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) là ( ; ; )1 1 1

3 3 3 và