phát triển tư duy qua bài toán hình 9

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hìn

4/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ……… trang 5

Phần II: Nội dung

2/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu ……… trang 6

Phần III: Kết luận và khuyến nghị

1/ Đánh giá cơ bản về SKKN ……… trang 27

2/ Các khuyến nghị đề xuất ……… trang 27

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm

lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên

tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết

Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội Tư duy không tự

nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần

được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc

biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt Lứa tuổi THCS đang phát triển

mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề

này

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy

nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh

khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của

môn Toán Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi

bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó

hơn Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn,

những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có

được sự tự tin khi làm bài tập

Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu

cầu quan trọng đối với học sinh Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu

sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo Vấn đề đặt ra là

làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm

vui khi học toán Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh

hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó

đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản HS cảm thấy bản thân cũng có thể

tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn

về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa

tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy một số bài toán Hình cơ bản trong sách

giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó thành những bài toán khác nhau.

Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả

năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu

của cuộc sống hiện đại

2/ Mục đích nghiên cứu:

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp

của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học

sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm

góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc

dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ

trình bày một vài chương của môn Hình lớp 9, chủ yếu là phần đường tròn

do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kì thi

Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng

dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá

lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản Khi đi sâu tìm tòi

những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn

tìm được vẻ đẹp của môn Hình Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách

giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở

môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình Đó

là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm

vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhất

trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân

cách cho học sinh.Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá

chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của

con người mới

3/ Kết quả cần đạt:

Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong

sách giáo khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là HS trung

bình cần phải làm tốt những bài tập này

Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán phát

triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh

hiểu được hướng phát triển một bài toán Tại sao phải làm như vậy? Làm

như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số

học sinh làm được điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên

trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh

đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã

làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải

động viên giúp các em tự tin hơn Việc sáng tạo đó không những cần có

kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học

Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này

trong quá trình dạy học sinh giỏi Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh

trung bình khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin

hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự

học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn

4/ Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một

số kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học ở trường THCS Vĩnh Phong và

trường THCS Nhân Hoà nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các

trường đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi Đối tượng chính là học

sinh lớp 9 trường THCS Nhân Hoà Trường THCS Nhân Hoà có 2 lớp 9

với 90 học sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học

sinh giỏi rất ít nên việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó

khăn của nhà trường Chính đối tượng học sinh chiếm chủ yếu là học sinh

trung bình và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề được nghiên

cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học

sinh

Phần II

1/ Cơ sở lí luận:

Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo

từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người Tư duy đặc biệt

phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên Vì vậy giáo viên cần phải

quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh

một cách tốt nhất Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh

nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả Giải bài tập toán là lúc học

sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy

Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho

phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là

quan trọng Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm

thêm việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình

và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản

2 Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu:

Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường

có 8 lớp chia đều cho các khối Phần lớn học sinh học khá và trung bình, kĩ

năng cơ bản không có Những học sinh xuất sắc của xã đều chuyển trường

khác nên trường rất khó có học sinh giỏi Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là

trách nhiệm quan trọng của nhà trường Năm học này tôi được phân công

dạy 2 lớp 9 của trường Mỗi lớp có 45 học sinh trong đó quá nửa là học

sinh trung bình và khá Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao

chất lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình

thành cho học sinh ý thức của con người mới: sáng tạo và năng động

Trong quá trình dạy Hình tôi đã lựa chọn một phương pháp dạy cụ thể

nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh Sau đây là nội dung tôi trình bày:

3/ Giải pháp thực hiện:

Bài toán 1: (Bài 11 SGK tập 1/ trang 104 – NXBGD 2005)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính

AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD Chứng minh rằng: CH = DK

Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.

Vì đây là bài tập ở trong phần bài “đường kính

và dây của đường tròn” nên khi có hướng dẫn kẻ

OM vuông góc với CD thì học sinh sẽ nhận thấy CM = CD

Vậy để chứng minh CH = DK ta phải chứng minh điều gì?

Khi đó học sinh sẽ nghĩ đến việc chứng minh MK = MH

Việc chứng minh MK = MH không có gì khó khăn cả khi nhận xét được

ABKH là hình thang có OM là đường trung bình của hình thang

Thông thường học sinh sẽ vẽ hình như hình vẽ trên

C

DM

OH

K

GV gợi ý nếu dây CD song song với AB thì việc chứng minh sẽ như

thế nào? Dễ hơn hay khó hơn?

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB,

dây CD song song với đường kính AB Gọi H và

K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ

A và B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK

Khi CD song song với AB thì không cần thiết phải kẻ OM vuông góc với

CD như bài tập 1 Nhận thấy ngay rằng ABDC là hình thang cân suy ra AC

= BD, Như vậy AHC = BKD suy ra HC = DK

Nếu dây CD cắt đường kính AB thì điều này còn đúng không? Hãy vẽ hình

và dự đoán Học sinh sẽ nhận ra bài toán sau:

Bài toán 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB,

dây CD cắt đường kính AB Gọi H và K theo thứ

tự là chân các đường vuông góc kẻ từA và B đến

CD Chứng minh rằng: CH = DK

Bài tập này tương tự như bài toán 1, rất tự nhiên học sinh sẽ kẻ OM vuông

góc với CD Khi đó CM = DM, bây giờ chứng minh HM = DM

Đây là bài toán cơ bản của lớp 8:

Cho hình thang AHBK (AH//BK), O là trung

điểm của AB, M là điểm thuộc HK sao cho

OM song với AH Chứng minh HM = MK

BK

Như vậy bài toán 3 đã chứng minh song.

Tuy nhiên việc chứng minh bài toán 3 bằng cách trên không phải đơn giản

vì bài tập hình 8 nêu trên là một bài khó đối với học sinh yếu lớp 9

GV cần khơi dậy cho học sinh sự tò mò tìm ra cách khác Để tránh phải

chứng minh dựa vào tính chất hình thang học sinh phải kẻ thêm đường kính

EF song song với CD

Ta có AOQ = BOP QO = PO

 HM = MK mà MD = MC

nên CH = DK

Cách này chứng minh đơn giản hơn nhưng

phải kẻ thêm đường phụ

Qua bài toán 1 nếu thay đổi giả thiết bài toán, từ C và D kẻ vuông góc

với CD thì bài toán có gì đặc biệt?

HS sẽ nhận thấy được bài toán mới tương tự:

Bài toán 4: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD không cắt AB,

từ C và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần

lượt tại H và K Chứng minh rằng: AH = BK

Tương tự như bài tập 1, rất tự nhiên học sinh sẽ nghĩ

đến việc kẻ OM vuông góc với CD

D

E

FPQ

C

OH

DKM

Nếu CD // AB thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, tương tự như bài

tập 2, không cần kẻ thêm đường phụ OM  CD ta cũng có thể chứng minh

được dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Khi CD cắt AB thì bài toán này còn đúng không? Hãy để cho học sinh

suy nghĩ, tự vẽ hình và dự đoán AH = BK? Khi đó GV cho học sinh làm

bài tập mới tương tự:

Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD cắt AB, từ C

và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần lượt

tại H và K Chứng minh rằng: AH = BK

Kẻ OM vuông góc với CD,

HC  CD; DK  CD  HDKC

là hình thang vuông, vì OM CD

nên CM = DM  OM là đường nối trung điểm hai đường chéo của hình

thang HDKC nên OH = OK Từ đó suy ra AH = BK

Cách khác:

Kẻ thêm đường kính EF song song với

dây CD, vì OM  với dây CD nên

CM = MD  FO = EO

 HOF = KOE (g.c.g)

 OH = OK  AH = BK

Lại quay trở lại bài toán 1 ta thay đổi đề thành bài tập có dạng lạ hơn:

Bài toán 6: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh

điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB

Vẽ AP  CD, BQ  CD Chứng minh: P, Q nằm bên ngoài (O)

C

OH

D

KM

C

OH

D

KM

EF

C

DIP

Q

Bài toán này không có gì đặc biệt, rất dễ nhận

thấy sự tồn tại của bài toán nhưng chính sự hiển

nhiên này mà bài toán làm cho nhiều học sinh lúng

túng GV cần hướng dẫn chi tiết giúp cho học sinh

có thể giải quyết vấn đề thật tự nhiên và nhẹ nhàng:

Nối O với P và O với Q

Vì ABQP là hình thang nên góc A + góc B = 1800

Giả sử góc A ≤ 900 thì góc B  900

Xét OBQ có góc B  900 nên OQ > OB = R

vậy Q nằm ngoài đường tròn

ta lại có OPQ cân tại O nên OP = OQ > R

vậy P nằm ngoài đường tròn

Dây CD quay quanh điểm I thì kéo theo rất nhiều yếu tố thay đổi Khi đó

ta có bài toán mới hay hơn:

Bài toán 7: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh

điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB

Vẽ AP  CD, BQ  CD Tìm vị trí của dây CD để AP + BQ lớn nhất

Ở bài toán 1 ta biết khi kẻ OM  CD thì OM là

đường trung bình của hình thang ABQP

 AP + BQ = 2OM ≤ 2OI

Vậy AP + BQ lớn nhất bằng 2OI, dấu ‘=’ xảy ra

khi CD  với OI

C

DI

O

MP

Q

Ta có nhận xét khi CD quay quanh I, độ dài của đoạn CD sẽ thay đổi,

như vậy ta có bài toán mới:

Bài toán 8: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh

điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB

Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài ngắn nhất

Theo tính chất mối quan hệ giữa dây cung

và khoảng cách từ tâm đến dây CD ngắn

nhất khi OM dài nhất

Xét OMI vuông tại M ta có:

OM ≤ OI CD ngắn nhất khi OM = OI

Vậy dây CD ngắn nhất khi CD  OI

Bài toán 9: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh

điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB

Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài dài nhất

Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa

A và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua

I và B

Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa

B và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua

I và A

C

DI

OM

C

DI

O

MP

Q

Khi dây CD cắt đường kính AB thì ta có hệ thống bài tập tương tự, đầu tiên

là bài tập sau:

Bài toán 10: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh

điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD cắt đường kính AB Vẽ AP

 CD, BQ  CD Chứng minh: P, Q nằm bên trong (O)

Cách làm bài này tương tự như cách chứng minh

P, Q nằm ngoài đường tròn (O)

Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập này

Chúng ta xét bài toán tiếp theo

Bài toán 11: (Bài 30 SGK toán 9 tập 1 trang 116, NXBGD năm 2005)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường

tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn) Gọi Ax và By là các tia

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt

phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp

tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng

minh rằng: a, góc COD = 900

b, CD = AC + BD

c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

Rõ ràng đây là bài toán khó đối với học sinh

đại trà, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết kể cả

lời giải để học sinh có thể học cách trình bày:

a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một

điểm ngoài đường tròn thì:

góc AOC = góc COM góc MOD = góc DOB

C

D

. IO

P

QM

x

y

MC

D

mà góc AOB = 1800 nên góc COD = 1800 : 2 = 900

b, Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có :

AC = CM và BD = DM

Từ đó suy ra AC + BD = CM + MD = CD

c, Vì tam giác COD là tam giác vuông tại O nên OM2 = CM.DM

 AC.BD = OM2 = R2 ( không đổi)

Vậy khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì AC.BD không đổi

Giống như dạng bài toán 1, ta thay đổi đề bài tương tự như vậy ta có bài

mới như sau:

Bài toán 12:

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường

tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn) Gọi Ax và By là các tia

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt

phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp

tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D

Hỏi điểm M ở vị trí nào thì CD ngắn nhất

Học sinh dễ dàng thấy ABDC là hình thang vuông

Kẻ CH  BD nên AB = CH ≤ CD

Vậy CD nhỏ nhất khi CD = CH Mà CD là tiếp tuyến

từ M của nửa đường tròn (O)

Vậy M là điểm chính giữa của cung AB

Từ bài tập này ta có bài toán mới:

Bài toán 13:

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường

tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn) Gọi Ax và By là các tia

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt

y

x

MC

DH

phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp

tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D

Hỏi điểm M ở vị trí nào thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất Tính chu vi

đó theo bán kính R của đường tròn (O)

Như bài tập trên học sinh có ngay

AC = AM và MD = DB

Vậy AC + BD = CD

Ta có chu vi của tứ giác ABDC là

AB + BD + DC + CA = AB + 2CD  3AB = 6R

Vậy chu vi của tứ giác ABDC nhỏ nhất bằng 6R

khi M là điểm chính giữa của cung AB

Bài toán 14: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính

của một đường tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn) Gọi Ax và

By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng

một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A

và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và

D AM cắt CO ở E và BM cắt DO ở F

Chứng minh rằng: tứ giác OEMF là hình chữ nhật

Đây là bài tập cơ bản, học sinh sẽ chứng minh

3 góc tại đỉnh E,M,F vuông dễ nhất

Thật vậy: Góc M = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa

D