Số phức ôn thi tốt nghiệp

Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a.. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a... Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức bi

Năm học: 2009 – 2010

A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn 2

1

i = -

Kí hiệu z = + a bi

· i: đơn vị ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo

Chú ý:

o z = + = a 0i a được gọi là số thực (a Ỵ Ì ¡ £ )

o z = + = 0 bi bi được gọi là số ảo

o 0 = + 0 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z =

a + bi

2 Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức z = + a bi và z ' = + a ' b 'i với

a, b, a ', b 'Ỵ ¡

a a '

z z '

b b '

= ì

= Û í =

ỵ

3 Cộng và trừ số phức Cho hai số phức z = + a bi và z ' = + a ' b 'i với

a, b, a ', b 'Ỵ ¡

z + = z ' a + a ' + b + b ' i

z - = z ' a - a ' + b b ' i

-o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b Ỵ ¡ )

4 Nhân hai số phức Cho hai số phức z = + a bi và z ' = + a ' b 'i với a, b, a ', b 'Ỵ ¡

z.z ' = aa ' bb ' - + ab ' a ' b i +

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = - a bi

o z =z; z+z' = z+z' ; z.z' = z.z'

o z là số thực Û z= z ; z là số ảo Û z= -z

6 Môđun của số phức z = a + bi

z = a + b = zz = OMuuuur

o z ³ 0 "zỴC, z = 0 Û z= 0

o z.z ' = z z ' , z + z ' £ + z z ' " z, z ' Ỵ£

7 Chia hai số phức

z

z-1 = 12

x

y

a

b

O

M

o Thương của z’ chia cho z (z¹ 0):

z

z z z

z z z z z

' '

2

1 = =

z

z

= Û

=

z

z z

z z

z z

, '

ø

ư ç è ỉ

II CÁC DẠNG TOÁN

Bài toán 1 Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:

a z = + - i (2 4i)(3 2i) + ; b 3 3

z = - + ( 1 i) - (2i) ; c 2 ( )

1 i

-Giải

a z = + - i (2 4i)(3 2i) + = + i 14 8i - = 14 7i

-Phần thực a = 14; -Phần ảo b = - 7; môđun z = 7 5

z = - + ( 1 i) - (2i) = + - - 2 2i ( 8i) = + 2 10i

Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z = 2 26

1 i

-Phần thực a = 2; -Phần ảo b = 0; môđun z = 2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:

a (4 – i) + (2 + 3i)

– (5 + i)

b (2 + i)3 – (3 – i)3

c 2 3i-1

d (2 3i) - 3

e (1 + i)2 – (1 – i)2

f ( 3 i + ) (2- 3 i - )2

g (2 + i)3 – (3 – i)3

(3 2i) (2 i)

i ( )2 4 5

3 2

2

+

i i

i

j ( 1- 2 i ) +

i

i

+

+ 2 1

k 3 2i -i

l ( 3 + 2i) (3[ 2 - i) - ( 5 - 2i) ]

-+

1

i i

i i

n

i

i i

-+

1 3

+

p

( 1 4 ) ( 2 3 )

4 3

i i

i

+

-2 Tính

a

i

2

1

3

+

b

i

i

-+

1

1

c

m

i

m

h

a i

b i

a+

i (2 – i)4

j

i

2

3 2 1

1

-n (2 + 3i)2

o (2 – 3i)3

p

i

i

+

+ 1

2 4

q 2 i (1 i)(4 3i)

3 2i

-+

d

a

i

a

a

i

a

-+

e

) 1

)(

2

1

(

3

i i

i

+

-+

f 2i(3 + i)(2 + 4i)

g 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)

k

i

i i

6 3

4 5 3 4

+

+ +

-l ( ) ( )

i

i i

+

-+ 2

2

m (3 – 2i)(2 – 3i)

r (3 4i)(1 2i) 4 3i

1 2i

-s 3 i

i

-+ (5 – i)2

-Bài toán 2 Tính 2012

(1 i) +

Giải

1006

2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006

(1 i) + = éë(1 i) + ùû = (2i) = 2 i = 2 (i ) = 2 ( 1) - = - 2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tính

a 1+ + + + +i i2 i3 i2009 b (1-i)100 c 2008 2008

(1 +i) + - (1 i)

Bài toán 3 Tìm các số thực x và y biết 2x + - + = - + + yi 3 2i x yi 2 4i

Giải

2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm các số thực x và y biết:

a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i

b (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i c (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i

d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i

Bài toán 4 Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

a z i + = - - z 2 3i; b z 3 + £ 1

Giải Đặt z = + x yi, khi đó:

a z i + = - - z 2 3i Û + + = + - - x yi i x yi 2 3i Û + x (y 1)i + = - + x 2 (y 3)i

Û x + (y 1) + = (x - 2) + (y 3) - Û + x 2y 3 - = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 2y 3 - = 0

z 3 + £ Û + + £ Û + + 1 x yi 3 1 x 3 yi £ Û 1 (x 3) + + y £ Û 1 (x + 3) + y £ 1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn 2 2

(x + 3) + y £ 1 tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

a z + z+ 3 = 4

b 2|z – i| = z-z+ 2i

c z = - +z 3 4i

d z i 1

- =

+

e z- + = 1 i 2

a z + 2z = 2 – 4i

b z2 - z= 0

f z2 + z = 0

g 2 + = -z i z

h z = 1

i z = z- 3 + 4i

j z- ( 2 _i) = 10 và z z'= 25

k z £ 1

l z=1 và phần ảo của z =1

4

=

÷ ø

ư ç è

ỉ

-+

i z

i z

+

-i z

i z

p 1<z £2

q 2i- 2z = 2z- 1

r phần thực của z thuộc đọan [0;1], phần ảo của z thuộc đoạn [-1;2]

c z+ 2z = 2 - 4i

d z2 + z2 = 0

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Căn bậc hai của số phức

o z = 0 có một căn bậc hai là 0

o z = a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là ± a

o z = a là số thực âm có 2 căn bậc hai là ± a i

o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho

2 2

2xy b

2 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước,

A ¹ 0)

D =

-o D > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2

B

z ,

2A

- ± D

=

o D < 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2

B i

z ,

2A

=

o D = 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2

B

z z

2A

= =

-3 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước,

A ¹ 0)

D =

-o D ¹ 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2

B

z ,

2A

- ± d

(d là 1 căn bậc hai của D )

o D = 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2

B

z z

2A

= =

-II CÁC DẠNG TOÁN

Bài toán 1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Giải

a Hai căn bậc hai của - 4 là ± - 4 i = ± 2i

b Gọi w = + x yi là căn bậc hai của 3 4i - , ta có:

2

x 2

y

y 1 x

x

éì =

ê

í

=

loại

Vậy 3 4i - có hai căn bậc hai là 2 i - và - + 2 i

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

8;3; - 9; - 11; -I; -2i; 2i; 4i

2 Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)

5 12i

- + ; 8 6i + ; 33 56i - ; - + 3 4i; 3+4i; 5 – 12i

Bài toán 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a (3 2i)z - + + = - 4 5i 7 3i; b z

2 3i 5 2i

4 3i + =

-Giải

3 2i 13 13

2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i

-BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a

i

i z

i

i

+

+

-=

-+

2

3 1 1

2

h 3 5i

2 4i z

+

=

-b 2iz + 1 – i = 0

c (1 – i )z + 2 – i = 2z + i

d ( iz –1 )( z + 3i )( z– 2 + 3i) =

0

e ( 2 i) z – 4 = 0

f (4 - 5i z) = + 2 i

g ( ) (2 )

3 - 2i z + = i 3i

s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z

t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)

i (2 3 ) 5 2

4 3

i + - =

-j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)

k (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i

l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i

ỉ ư

ç ÷

è ø

2

1 ](

3 ) 2

i iz i z i

Bài toán 3 Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)

a 2

3x 2x 1 0

Giải

a 2

7z + 3z + = 2 0

2

b 4ac 47 0

D = - = - <

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

2

3x 2x 1 0

2 ' b ' ac 2 0

D = - = - <

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

-2

b ' i ' 1 2.i 1 2

-BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a x2 - 3 x+ 1 = 0

b 3 2 x2 - 2 3 x+ 2 = 0

c 2

3x - + =x 2 0

d 2

3x + + =x 2 0

e 2

1 0

+ + =

f z4–8 = 0

g x3 – 1 = 0

h z3 + 1 = 0

i z4 + 4 = 0

j 5z2 – 7z + 11 = 0

k z2 - 2 3z + 7 = 0

l z3 – 8 = 0

m z2 + z +7 = 0

n z2 – z + 1 = 0

o z2 + 2z + 5 = 0

p 8z2 – 4z + 1 = 0

q x2 + 7 = 0

r x2 – 3x + 3 = 0

s x2 –5x +7=0

t x2 –4x + 11 = 0

u z2 – 3z + 11 = 0

2 Giải phương trình sau trên trường số phức

a z4 – 5z2 – 6 = 0

b z4 +7z2 – 8 = 0

c z4 – 8z2 – 9 = 0

d z4 + 6z2 + 25 = 0

e z4 + 4z – 77 = 0

f 8z4 + 8z3 = z + 1

g z4 + z3 +

2

1z2 + z + 1 = 0

h z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0

i 4 3 7

2

z i

z i

z i

0

z + z + z- =

Bài toán 4 Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)

a 2

x - + (3 4i)x + - = 5i 1 0; b 2

z - 2iz + - = 2i 1 0

Giải

a 2

x - + (3 4i)x + - = 5i 1 0

b 4ac 3 4i (1 2i) 0

Gọi d là một căn bậc hai của D, ta có d = + 1 2i

Do D ¹ 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

- + d + + +

2

b 3 4i (1 2i)

b 2

z - 2iz + - = 2i 1 0

' b ' ac 2i (1 i) 0

Gọi d ' là một căn bậc hai của D ', ta có d = - ' 1 i

Do D ¹ ' 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

b ' ' i 1 i

- + d +

2

b ' ' i (1 i)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (NC)

1 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0

b (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0

d 2z2 – iz + 1 = 0

e z2 + (-2 + i)z – 2i = 0

f z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

g z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0

x - + i x+ i- =

j 2

80 4099 100 0

8 1 63 16 0

- - + - =

o ( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0

p ( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0

i 2 ( ) ( )

2 Giải các hệ phương trình :

a

ỵ

í

ì

-=

+

+

=

+

i z

z

i z

z

2 5

4

2

2

2

1

2

1

b

ỵ

í

ì

+

-=

+

-=

i z

z

i z

z

2 5

5 5

.

2

2

2

1

2

1

1 2

1 2

5 2 4

-ỵ

2

í + = ỵ

u v uv

u v i

1

ì - = ï

í = -ïỵ

z i z

z i z

C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC)

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Dạng lượng giác của số phức

z = r(cos j + i sin ) j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b

, z 0)

Ỵ ¡ ¹

r = a + b là môđun của z

o j là một acgumen của z thỏa

a cos

r b sin

r

ì j = ïï

í

ï j = ïỵ

2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z =

r(cosj + i sin ) , j z ' = r '(cos ' i sin ') j + j thì :

o z.z ' = r.r '[cos( j + j + ') i sin( j + j ')]

o z r[cos( ') i sin( ')]

z ' = r ' j - j + j - j

N

[r(cos j + i sin )] j = r (cos n j + i sin n ) j

(cos j + i sin ) j = cos n j + i sin n j

4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Căn bậc hai của số phức z = r(cosj +isin j ) (r > 0) là

(cos sin )

r j i j r j p i j p

II CÁC DẠNG TOÁN

Bài toán 1 Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a z = - 2 2i; b z = - - 1 3.i

Giải

a z = - 2 2i

r = a + b = 2 2

o Gọi j là một acgumen của z ta có

1 cos

2

sin

2

ì j =

-í

ï j = -ïỵ

Dạng lượng giác z 2 2 cos i sin

é ỉ pư ỉ p ùư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú

b z = - - 1 3.i

r = a + b = 2

o Gọi j là một acgumen của z ta có

1 cos

2 2

3 3

sin

2

ì j =

-í

ï j = -ïỵ

z 2 cos i sin

é ỉ p ư ỉ p ù ư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

a - 2 + 2 3 i

b 4 – 4i

c 1 – 3 i

d

4 sin 4

i

-e

8 cos 8

i

-f ( 1 -i 3 )( 1 +i)

g 1 3 1

-+

i i

2 Thực hiện phép tính

4 sin 4 (cos 3 ).

6 sin 6

i

+

b

) 15 sin 15

(cos

3

) 45 sin 45

(cos

2

0 0

0 0

i

i

+ +

c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o)

d

) 2 sin 2 (cos 2

) 3

2 sin 3

2 (cos 2

p p

p p

i

i

+ +

3 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a 1 i- 3

b 1 + i

c ( 1 -i 3 )( 1 +i)

d

i

i

+

-1

3 1

e 2 i.( 3 -i)

f

i

2 2

1 +

g z = sin j +i cos j

Bài toán 2 Tính:

10 (1 i) - 3 i + ; b

10 9

(1 i)

3 i

+ +

Giải

10

(1 i) - 3 i +

10

- =ê ç ç- ÷+ ç- ÷÷ú = ê ç- ÷+ ç- ÷ú= =

( )6 6 ( ) ( )

3 i 2 cos i sin 32 cos i sin 2 1 0i 2

é ỉ p p ù ư

10

(1 i) 3 i 32i 64 2048i

b

10

9

(1 i)

3 i

+

+

( )

10

(1 i) 2 cos i sin 2 cos i sin 32 i 32i

9

10

9

16

3 i

+

-+

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tính :

30 sin 30

(cos

)

3

( -i

1

1

÷

ø

ư

ç

è

ỉ

-+

i

i

2

3

2

1

÷÷

ø

ư

çç

è

ỉ

+ i

e i 1 2010 i

+

3 2 1

3 3 5

÷÷

ø

ư çç

è

ỉ

-+

i i

3

1

÷ ø

ư ç

è

ỉ +

-+

i i

i ( )25

1 i+

j (( ))49

50

3

1

i

i

+ +

k (cos12o + isin12o)5 Bài toán 3 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a z = - - 1 i 3; b 1 i 3

z

1 i

-= +

Giải

a - - 1 i 3

z 2 cos i sin

é ỉ pư ỉ p ùư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú

Hai căn bậc hai của z là

1

é ỉ p ư ỉ p ù ư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú= çç - ÷÷= - =

2

é ỉ p ư ỉ p ù ư

= - ê ç- ÷+ ç- ÷ú= - çç - ÷÷= - + = - +

b 1 i 3

z

1 i

-=

+

é ỉ p ư ỉ p ù ư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú

Hai căn bậc hai của z là 4

1

é ỉ p ư ỉ p ù ư

= ê ç- ÷+ ç- ÷ú

2

= - ê ç- ÷+ ç- ÷ú= ê ç ÷+ ç ÷ú

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :

a –1 + 4 3 i

b 4 + 6 5 i

c –1 – 2 6 i

d 1+4 3i

e ( 3 - i)6

f 2004

1 ÷ ø

ư ç è

ỉ

+ i

i

g - 11 + 4 3i

h ( )1 -i

2

i

4

sin 4

i

-j

3

sin 3

i

-k 4 +6 5i

l - -1 2 6i