Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Trang 1§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1.
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh một tính chất số học bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số 7n- chia hết cho 6.1
Ví dụ 2: Giả sử a là nghiệm của phương trình x2- 3x+ = Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì1 0
1
n
a
Dạng2: Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
a) 1.2 2.5 + + +n n(3 - 1)=n n2( +1)
n
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 ta đều có: 1 1 1 1 13
Ví dụ 2: Cho n số dương x x1, (2 x n n ³ 2) Chứng minh bất đẳng thức:
(1+x)(1+x ) (1+x n) 1> + + + +x x x n
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chứng minh một tính chất số học, đại số bằng quy nạp
Bài 1: chứng minh các đẳng thức sau (nÎ ¥*)
a) 11n- chia hết cho 101
n
Trang 2Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số
5 4 3
Bài 3: Cho số thực a sao cho a 1
a
n
a a
+ là số nguyên với mọi số nguyên dương n
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n luôn có ít nhất một số nguyên dương k sao cho
n< < n
Bài 5: Chứng minh số tập con của tập có n phần thử (n³ ) là 21 n
Bài 6: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (n³ 4) là ( 3)
2
n n
-Bài 7: Giả sử cos j là số hữu tỉ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì cos nj là số hữu tỉ.
Bài 8: Với mỗi số tự nhiện n³ , ta đặt 1 a n = 2+ 2 + + 2 ( n dấu căn) Chứng minh rằng
1
2.cos
2
=
Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a) 1.4 2.7 3.10 + + + +n n(3 + =1) n n( +1)2
b) 1 3 5 (2+ + + + n- 1)=n2
c)
2
3
n n
n
2
n n
1 3 9 3
2
n
Bài 10: Giả sử x ¹ Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có:1
1 1
+
-Bài 11: Chứng minh rằng với mọi n³ , ta có: 1
n
-b)
1
2 2 2 1 2 ( 1) ( 1)
2
n
n
d) 1.3.5 (2n- 1).2n= +(n 1)(n+2) 2n
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
n
….Lưu hành nội bộ…
Trang 3Bài 13: Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng quy nạp với n>1;
a) 1.2.3 n>2n- 1 với n>2
n
+ + + + + >
Bài 14: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1, ta đều có 4 (2 )!2
n < n
+
Bài 15: Chứng mnh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: x2+ x2+ + x2 < + ( n dấu căn )x 1
§2 DÃY SỐ
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập ¥ các số nguyên dương gọi là dãy số vô hạn *
Kí hiệu u:n *®u n( )
a
¥ ¡ Đặt u n=u n( ) Ta gọi u là số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) của dãy số n
2 Cách cho một dãy số:
• Cho bằng công thức của số hạng tổng quát
• Cho bằng công thức truy hồi
3 Dãy số tăng, dãy số giảm:
• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*
⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1
n
u
u+ > với ∀n ∈ N* ( un > 0)
• (un) là dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*
⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1
n
u
u+ < với ∀n ∈ N* (un > 0)
4 Dãy số bị chặn:
• (un) là dãy số bị chặn trên ⇔∃M ∈ R: un≤ M, ∀n ∈ N*
• (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔∃m ∈ R: un≥ m, ∀n ∈ N*
• (un) là dãy số bị chặn ⇔∃m, M ∈ R: m ≤ un≤ M, ∀n ∈ N*
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm các số hạng của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy (un) được xác định bởi 22 5
1
n
n u n
+
= + a) Hãy viết 7 số hạng đầu tiên của dãy số
5
n
Ví dụ 2: Cho dãy (un) được xác định bởi
ìïï
ïï -ï
=íï -ïï
ï + ïî
1
1 khi n leû 1
n
n n u n n
Trang 4a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
b) Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều khác nhau.s
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi p
= cos 3
n
n u
a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số
b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị
Dạng2: Tìm công thức tổng quát của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số ( )a được xác định bởi n
+
ïï
ïî
1 1
5
a
a a n Chứng minh rằng a n =5.3n-1 với mọi n
Ví dụ 2: Cho dãy số ( )a được xác định bởi n
+
ïï
ïî
1 1
1
a
n n
Ví dụ 3:
Dạng 3: Xét tính tăng giảm của dãy số
Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số (un) cho bởi các công thức sau:
+
1
n
n
u
-= +
1
n
n u
n
n u
-= +
n
u
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của dãy số (un):
-=
+
( 1)
1
n n
u
5
n n
u
n n
Dạng 4: Xét tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số sau bị chặn:
+
1
n
n
u
+
+
-=
+
1
n n
n u
n
+
2
n
n u
n u
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau đây:
n
u
n n
+
n
u
Dạng 5: Một số tính chất khác của dãy số
….Lưu hành nội bộ…
Trang 5Ví dụ 1: Cho dãy số ( )u thỏa mãn n
1 2
1 2
n
n
u u
u
+ +
ïï
ïïïî a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b) Chứng minh rằng dãy ( )u tuần hoàn, nghĩa là tồn tại số tự nhiên p khác 0 sao cho n u n p+ =u n,"n
Ví dụ 2: Cho dãy số ( )u xác định bởi công thức n n 3 4
n u
n
a) Tìm những giá trị nguyên dương của n sao cho u n- 3<0,1 ; u n- 3<0,01
b) Chứng minh rằng với mọi số e>0luôn có số N sao cho với n>N thì u n- 3 <e
Ví dụ 3:
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định số hạng của dãy số
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a)
n
n u
n
=
( 1)
n n
n u
n
=
2 sin 3
n
n
n n
u n
=
-Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi 1 2
ïí
-ïî a) Hãy viết 7 số hạng đầu tiên của dãy số
b) Chứng minh dãy số có vô số số hạng âm cũng như vô số số hạng dương
Bài 3: Cho dãy số (un) được xác định bởi
ïï
ïï + ï
=í ïï ïïïî
1
2 -1 khi n leû
n
n n u
n n
a) Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
b) Tìm m, n ( m khác n) sao cho u m=u n
Bài 4: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức =sinp
6
n
n u
a) Hãy viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
b) Chứng minh rằng tập các giá trị của dãy số là hữu hạn
Bài 5: Cho dãy số (an) được xác định như sau: an là số dư của số tự nhiên n trong phép chia cho 6
a) Tính 7 số hạng đầu tiên của dãy số;
b) Chứng minh rằng nếu a m=a thì - n m nM6
Xác định công thức dãy số
Bài 6: xác định công thức tổng quát của dãy số (un) trong mỗi trường hợp sau
a) u1=2,u n+1=4u n
b) u1=- 3,u n+1= +u n 2
Bài 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi
+
ïï
ïïî
1 1
1
1 2
2
u
n
-=1 (3 1+ ) 2
n n
Trang 6Xét tính đơn điệu của dãy số
Bài 8: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
-+
2
n
n u
+
= +
2
n
n u
-= +
( 1)
n n
n u
n
Bài 9: xét tính đơn điệu của các dãy số cho bởi các công thức sau:
1 1
n
n u
n u
n
1
n
n
u
n n
Bài 10: Xét tính tăng giảm của các dãy số cho bởi các công thức sau”
a) = +1 12 + 12 + + 12
n
u
n
u
n
u
n
u
Bài 11: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
+
=-ïï
ïî
1 1
4 2
u
a) Chứng minh rằng dãy số (un) tăng;
b) Xác định n sao cho u n>10000
Bài 12: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
+
ïï ïí
ïïî
1 1
3 5 3
u
a) Chứng minh rằng dãy số (un) tăng;
b) Xác định n sao cho u n>10000
Bài 13: Cho các dãy số (un) và (vn) được xác định bởi các công thức: = +1 2+1
2
n
2
n
Xét tính tăng giảm của các dãy số trên
Xét tính bị chặn của dãy số
Bài 14: Xét tính bị chặn của các dãy số:
=
1 2
n
n u
c) = + -2 ( 1)n
n
n
u
Bài 15: Xét tính bị chặn của dãy số
a) = 13
n
u
+
= +
2 3 1
n
u
ç
= - ÷ççè ø12÷
n n
-2
n
u
Bài 16: Xét tính bị chặn của các dãy số
-3
n
n
u
n
u
n
n
u
….Lưu hành nội bộ…
Trang 7Bài 17: Cho dãy số ( )u được xác định bởi n
+
ïï
ïïî
1 1
1
3
n n
u
u u
a) Chứng minh rằng dãy số (un) bị chặn trên bởi số 3;
b) Chứng minh rằng dãy số (un) tăng
Một số tính chất khác của dãy số
Bài 18: Cho dãy số (an) được xác định bởi : a1=1,a m n+ =a m+ +a n mn với mọi m, n
a) Chứng minh rằng a n+1= + +a n n 1
2
n
n n
Bài 19: Cho dãy số (un) được xác định bởi
+
ìïï = ïí
ïî
1 1
1 2007
u
2007
n
n
b) Tính tổng + + +u1 u2 u n
Bài 20: Cho dãy số (un) được xác định bởi u n = 3 3 3 3 ( n dấu căn )
a) Chứng minh rằng u2n =3u n-1
b) Chứng minh rằng
+ +1= 1
1 2.
3
n n
n
u
u u u với mọi ³ 1n
Bài 21: Cho dãy số
2
n
n u
n
a) Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn trên
b) Xác định n sao cho -2 < 1
1000
n
u
Bài 22: Cho dãy số (an) được xác định bởi
=-ïï
ïî
1 2
=- 1.6 - 13.( 1)
n
a
§3 CẤP SỐ CỘNG
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d, ∀n ∈ N* (d: công sai)
2 Số hạng tổng quát: u n = + −u1 (n 1)d với n ≥ 2
2
k
n u u
S = + + +u u u = + = 2 1 ( 1)
2
n u + −n d
Trang 8B CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng 2, 5, 8, 11,… Hãy tính a d a S1, , ,10 10
Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng (un) biết:
a) u7=27,u15=59 b) u9=5 ,u u2 13=2u6+5
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng trong mỗi trường hợp sau:
3
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) cĩ tổng n số hạng đầu tiên là S n=3n n+ 2
a) Tính S10
b) Xác định số hạng đầu tiên u1, cơng sai d và số hạng thứ n của cấp số cộng đĩ
Ví dụ 5: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng bình phương của các số đĩ bằng 14
9 . Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng
Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4+ +u8 u12+u16 =16 Tính u1+ + +u2 u 19
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên n biết:
Dạng2: Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi cơng thức u n=5n- 3 Chứng minh rằng dãy (un) là cấp số cộng
Ví dụ 2: Cho dãy số (an) được xác định bởi a n+1=3a n- a n-1+3, với n 2³ Chứng minh rằng dãy số (bn) xác định bởi b n =2a n- a là một cấp số cộng Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng đĩ n-1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu cot,cot ,cotB C theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
2, ,2 2
a b c cũng tạo thành cấp số cộng.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh các hệ thức sau đây:
3
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh rằng: (q r a- ) p+ -(r p a) q+ -(p q a) r =0
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh rằng:
n
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Bài 1: Cho cấp số cộng (un) cĩ u1=4,d=- 3 Tính u S u S10, , ,10 20 20
….Lưu hành nội bộ…
Trang 9Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và cơng sai của cấp số cộng biết:
6
7
u
u
Bài 3: Xác định số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng trong những trường hợp sau:
Bài 4: Một cấp số cộng (un) cĩ u1=- 3,u2 =35
Bài 5: Một cấp sĩ cộng (un) cĩ tổng n số hạng đầu tiên Sn được cho bởi cơng thức S n=3n+2n Hãy xác 2
định số hạng tổng quát un của cấp số cộng đĩ
Bài 6:
a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 9 và tổng các bình phương của chúng là 77
b) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165
Bài 7: Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng cĩ tổng là 30 và tổng các nghịch đảo của chúng là 25
36 Hãy tìm
4 số đĩ
Bài 8: Năm số lập thành cấp số cộng, trong đĩ tổng của số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm bằng tổng số hạng
thứ hai và thứ tư Hãy tìm cấp số cộng đĩ
Bài 9: Cho một cấp số cộng biết rằng
2
2( )
n m
2007 1945
u u
Bài 10: Một cấp số cộng hữu hạn cĩ số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 29 và tổng tất cả các số hạng là 155
Hãy tính cơng sai của cấp số cộng đĩ
Bài 11: Tìm số tự nhiên n sao cho
a) 1 4 7 3+ + + + n- 2 590= b) (2n+ +1) (2n+ + +2) 3n=2265
Bài 12: Tính các tổng sau đây:
a) S= + + + +2 4 6 2n
b) S=(2 )n 2- (2n- 1)2+(2n- 2)2- (2n- 3)2+ + - 42 32+ -22 12
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Bài 13: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh các hệ thức sau:
a) a1+ =a n a k+a n k- +1 với k=1,2,3, n
b) S n+3+3S n+1=3S n+2+S ; n
c) 2(S3n- S n)=S4n
Bài 14: Cho 3 số a,b,c lập thành cấp số cộng Chứng minh các hệ thức sau:
a) a2+2bc c= +2 2ab b) 8b3- a3- c3=6abc
Bài 15: Cho cấp số cộng (an) cĩ các số hạng cĩ các số hạng là số dương Chứng minh rằng:
a)
2
ç
Trang 10
n
Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Bài 16: Chứng minh rằng các dãy số cho bởi các cơng thức sau đây là cấp số cộng Tính tổng n số hạng đầu
tiên của mỗi cấp số cộng đĩ
Bài 17: Cho dãy số (an) thỏa mãn hệ thức 1 3 1
+
+
a) Chứng minh rằng dãy số b n = -a n 1 ( 1)n³
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (an) biết a1=2
§4 CẤP SỐ NHÂN
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: (u n ) là cấp số nhân ⇔ u n+1 = u n q với n ∈ N* (q: cơng bội)
2 Số hạng tổng quát: u n =u q1 n−1 với n ≥ 2
3 Tính chất các số hạng: u k2 =u k−1.u k+1 với k ≥ 2
4 Tổng n số hạng đầu tiên:
1 1
1
1
n
n n
q
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân 2, 6, 18, 54, 162… Tính u q u S1, , ,10 10
Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân (un) biết:
a) u7=- 5,u10=135 b) u10=32 3,u15=16u7
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu và cơng bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau:
5 3
54 108
ïí
ïỵ
1 2 3
4 5 6
35 180
ìï + + = ïí
ïỵ
Vi dụ 4: Cho a,b dương Hãy thêm 5 số giữa hai số b và a
Ví dụ 5: Hãy tìm các số x,y sao cho x,y,12 lập thành cấp số nhân và x,y,9 lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 6: Tìm giá trị của x sao cho ba số cos( ),sin ,cos( )
Ví dụ 7: Tính các tổng sau:
….Lưu hành nội bộ…
Trang 11a) S= + + + +1 5 52 5n
n
T
c) R= +1 2.3 3.3+ 2+ + 2007.32006
sao cho tòn tại n để S n=T n
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức 3 1
2
æö÷
ç ÷
= ç ÷ç ÷çè ø
n n
u với mọi nÎ ¥* Chứng minh rằng dãy (un)
là một cấp số nhân
Ví dụ 2: Cho dãy (an) được xác định bởi a1=2,a n+1= +3 4a n
a) Chứng minh rằng dãy số (bn) được xác định bởi b n=a n+1là cấp số nhân
b) Tìm công thức tổng quát của an
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a) Nếu a,b,c lập thành một cấp số nhân thì ab,b2, cb cũng lập thành cấp số nhân
b) Nếu 4 số dương a,b,c,d lập thành cấp số nhân thì 3 số ab bc cd cũng lập thành cấp số nhân., ,
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (an) Chứng minh rằng: a a1 n=a a k n k- +1 với a k n k£ £ , Î ¥*,nÎ ¥*
Ví dụ 2: Cho a,b,c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Chứng minh rằng:
a) (a b c a b c+ + )( - + =) a2+ +b2 c2 b) a2+4c2- 4ab+8bc= -(a 2b- 2 )c 2
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Bài 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết:
3 5
91 30
ìï + + = ïí
ïî
1 7
85 425
=-ïí
ï +
Bài 2: Cho dãy số a,b,c lập thành cấp số nhân Tìm a,b,c biết:
584
abc
ïí
1 1 1 14
7 108
a b c
ab bc ca
ìïï + + = ïïï
íï
=-ïïïî
Bài 3:
a) Cho cấp số nhân a,b,c Tìm a,b,c biết a<b<c, abc=216 và a+b+c=19
Trang 12b) Một cấp số nhân có công bội bằng 3
5 số hạng đầu và tổng của 4 số hạng đầu tiên bằng
102
125 Tính S10.
Bài 4: Một cấp số nhân gồm 5 số hạng có tổng là 40 và tổng các nghịch đảo là 10 Hãy xác định cấp số nhân
đó
Bài 5: Tìm hai số a và b sao cho 1, ,a b là cấp số cộng và 2,2 2 a+2,b- là cấp số nhân.3
Bài 6: Tính các tổng sau đây:
a)
2 2
n
b) T= +x 2x2+3x3+ + nx n
Bài 7:
a) Ba số 3,x, y lập thanh cấp số nhân và ba số x,y,9 lập thành cấp số cộng Hãy tính giá trị của x và y b) Tìm 3 số tự nhiên a,b,c biết rằng chúng vừa lập thành một cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân theo thứ tự đó
Bài 8: Cho tam giác ABC biết sinA, sinB, sinC theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân và C A- =60o Tính góc B
Bài 9: Các số 3,4,5 có thể là các số hạng của một cấp số nhân được hay không?
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
Bài 10: Cho cấp số nhân a a1, , 2 a với công bội q Chứng minh rằng: n
a) a a m n=a m k- a n k+ với mọi m,n,k và m>k
Bài 11: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Chứng minh các hệ thức:
a b c
Bài 12: Cho 4 số a,b,c,d lập thành cấp số nhân Chứng minh các hệ thức:
a) (a2+ +b2 c b2)( 2+ +c2 d2) (= ab bc cd+ + )2
b) (a b c b c d a b c b c d+ + )( + + )( - + )( - + =) (ab bc cd+ + )2
Bài 13: Cho 5 số a,b,c,d,e lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng:
a) (a c- )2+ -(b d)2+ -(c e)2= -(a e)2
b) (a b c b c d c d e+ + )( + + )( + + = + +) (b c d)2
Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Bài 14: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1=1,u n+1=2u n+ với mọi 1 n ³ 1
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) được xác định bởi v n = + là một cấp số nhân.u n 1
b) Tìm số hạng tổng quát của (un)
Bài 15: Cho cấp số nhân a a1, , 2 a n có công bội q ¹ Chứng minh rằng các dãy số 1
1 2
1 1, , , , 1
n
2
3 4
1 2
, , , n ,
n
a
a a
+
cũng là cấp số nhân và tính công bội của chúng
….Lưu hành nội bộ…