Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid pptx

Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLID • Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương.. • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai ph

Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG,

KHÔNG GIAN EUCLID

• Khái niệm về dạng song tuyến tính và

dạng toàn phương

• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng

chính tắc bằng hai phương pháp: Phương

pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và

tiêu chuẩn Sylvester

• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực

giao và hệ trực chuẩn

• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng

toàn phương về dạng trục chính

• Giải được các bài toán trong các nội

dung nêu trên

Thời lượng

Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT +

8 giờ làm bài tập

Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích

ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc

• Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester

• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn

• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính

• Giải được các bài toán trong các nội

dung nêu trên

Bài toán mở đầu : Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện

Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải Ppt (k), k = 1, 2, , 24, tính bằng MW Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là A(MWh) Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện Pk, k = 1, 2, , 24 sao cho đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện

Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất Pk , k = 1, 2, , 24 sao cho

24 k 24

k 1 k

k 1

p

24

=

=

∑

∑

24

k 1

=

∑

Pmin ≤ Pk ≤ Pmax, k = 1, 2,…, 24

Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương

Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc

8.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

8.1.1 Dạng song tuyến tính

Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên \, ánh xạ f: V × V → \ gọi là một

dạng song tuyến tính trên V nếu

f(x1 + x2, y) = f(x1, y) + f(x2, y) x1, x2, y ∈ V f(λx, y) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ \ f(x, y1 + y2) = f(x, y1) + f(x, y2) ∀ x, y1, y2 ∈ V f(x, λy) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ \

Ví dụ: Ánh xạ f: \2 × \2 → \ xác định bởi

f(u, v) = x1x2 + y1y2 trong đó u = (x1, y1), v = (x2, y2) là một dạng song tuyến tính trên \2 Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu

f(x, y) = f(y, x) ∀x, y ∈ V

Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng

8.1.2 Dạng toàn phương

Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e1, e2,…, en} là một cơ sở của V

Khi đó, ta có

f(x, y) = f n i n j n n i j

x e , y e x y f (e , e )

=

Đặt f(ei, ej) = aij (i, j = 1, 2, , n), ta có

a a a

a a a A

a a a

=

Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e1, e2,…, en} Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′

Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là

aij = f(ei, ej) = f(ej, ei) = aji, (i, j = 1,2,…,n) thì A là ma trận đối xứng

Nếu {f 1, f 2,…, fn} là một cơ sở khác của V với

n

mk

m 1

=

= ∑ (k = 1, 2,…, n)

và f(f i, f k) = bik, ta có

bik = f(f i, f k) = f n m n i

t e , t e

t t f (e ,e )

∑ ∑

t t a

∑ ∑ (i = 1, 2,…, n)

Từ đây, ta có B = T–1AT, trong đó

Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc

tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương

i

i 1

=

=∑ và đặt f(ei, ej) = aij = aji (i, j = 1, 2, , n)

i, j 1

f (x, x) a x x

=

= ∑

=a x11 12 + 2a x x12 1 2 + + 2a x x1n 1 n + a x22 22 + 2a x x23 2 3 + + a x nn 2n (8.2) Trong trường hợp aij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2, , n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó

f (x, x) =a x ± a x ± ± a x

8.1.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ

thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản

λ ξ + λ ξ + + λ ξ

8.1.3.1 Phương pháp Lagrange

Giả sử trong một cơ sở f1, f2,…, fn nào đó ta có

f(x, x) = ij i j

i, j

a x x

Trong đó x1, x2,…, xn là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này

Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các

tích tọa độ với hệ số khác nhau)

Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên

ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ

Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta cần có ít nhất một trong các hệ

số aii (hệ số của 2

i

x ) khác 0 Điều đó luôn luôn có thể đạt được Thật vậy, giả sử dạng f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó,

nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a12x1x2 Ta thay các tọa độ x1, x2 bởi

x = x′ + x′

x = x′ − x′

và không thay đổi các biến còn lại Khi đó, số hạng 2a12x1x2 chuyển thành

2a (x′ − x )′ Theo giả thiết a11 = a22 = 0 nên số hạng thu được không bao giờ bị

triệt tiêu, nghĩa là hệ số 2

1 x′ khác 0 Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a11 ≠ 0 Ta tách

ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x1

2

a x + 2a x x + + 2a x x

Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng

2

a x + 2a x x + + 2a x x

11

1 (a x a x ) B

Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một

của các số hạng a12x2,…, a1nxn

Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng

11

1 (a x a x )

trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x2,…, xn

Ta đặt

η1 = a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn

η2 = x2

………

ηn = xn

Khi đó, dạng toàn phương trở thành

n 2

i, j 2 11

1

Biểu thức n ij i j

i, j 2

b

=

η η

∑ hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x1 Bây giờ, ta giả sử b22 ≠ 0 Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên theo các công thức

*

*

*

*

η = η

η = η

η = η Trong các biến mới ta có

n

i, j 3

Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ1, ξ2,…, ξn trong đó

= λ ξ + λ ξ + + λ ξ Như vậy, ta đi đến định lý sau

Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều \n cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x) Khi đó, trong \n tồn tại cơ sở e1, e2, , en sao cho với cơ sở đó

λ ξ + λ ξ + + λ ξ Trong đó ξ1, ξ2,…, ξn là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2, , en

Ví dụ: Giả sử trong không gian \3 với cơ sở f1, f2, f3 cho dạng toàn phương

f(x, x) = 2x1x2 + 4x1x3 – 2

2

x – 2

3 8x

Ta đặt

′

=

′

=

′

=

Khi đó, ta được

x′ 2x 2x′ ′ 4x x′ ′ 8x ′

Tiếp đó, ta đặt

x

x

′

η =

′

η =

Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương

− η + η + η η − η Phép biến đổi

ξ1 = η1

ξ2 = η2 + 2η3

ξ3 = η3 cho ta dạng chính tắc

f (x, x) = − ξ + ξ − ξ 12

8.1.3.2 Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester

Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả

sử ma trận aik của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f1, f2,…, fn có các định thức con khác 0

Δ1 = a11 ≠ 0 ; 11 12

2

a a

0

a a

n

a a a

a a a

a a a

Trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương f(x, x) có dạng

n

ik i k

i, k 1

f (x, x) a

=

= ∑ ξ ξ với aik = f(fi, fk)

Mục đích của ta là xác định các véc tơ e1, e2,…, en sao cho

f(ei, ek) = 0 với i ≠ k (i, k = 1, n ) (8.6) Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa

Ta sẽ tìm các véc tơ e1, e2, , en dưới dạng

1 11 1

⎪

⎬

⎪

⎪

Các hệ số αik có thể tìm như sau:

Nếu f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2, k – 1 thì f(ek, ei) = 0 đối với i = 1, 2,…, k – 1

Thật vậy, thay ei bởi biểu thức

αi1f1 + αi2f2 +…+ αiifi

ta được

f(ek, ei) = f(ek, αi1f1 + αi2f2 + + αiifi)

= αi1f(ek, f1) + αi2f(ek, f2) + + αiif(ek, fi)

Như vậy, nếu f(ek, fi) = 0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(ek, ei) đối với i < k và do

đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e1, e2,…, en

là cơ sở cần tìm

Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau:

Xác định các hệ số αk1, αk2,…, αkk sao cho véc tơ

ek = αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk

thỏa các điều kiện

f(ek, fi) = 0 với i = 1, 2,…, k – 1 (8.8) Với các điều kiện đó, véc tơ ek được xác định chính xác đến phần tử xác định Ta cố định phần tử đó nhờ đòi hỏi

Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ ek đã được xác định một cách đơn trị

Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho ek ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây đối với αki

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f ) 0

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f ) 0

f (f − , f ) f (f − , f ) f (f − ,

f ) 0

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f ) 1

⎫

⎪

⎪⎪

⎬

⎪

= ⎪

⎪

Định thức của hệ phương trình này là

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f )

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f )

f (f , f ) f (f , f ) f (f , f )

Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0 Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và duy nhất Như vậy, bài toán tìm véc tơ ek đã được giải cho k bất kỳ

Bây giờ, ta tìm các hệ số bik của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e1, e2, , en như

ta đã biết

bik = f(ei, ek)

Theo cách dựng cơ sở này, f(ei, ek) = 0 khi i ≠ k, nghĩa là bik = 0 khi i ≠ k

Ta tính bkk = f(ek, ek)

f(ek, ek) = f(ek, αk1f1 + αk2f2 +…+ αkkfk)

= αk1f(ek, f1) + αk2f(ek, f2) +…+ αkkf(ek, fk)

và theo (8.8) và (8.9)

f(ek, ek) = αkk

Số αkk có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame

k 1 kk

k

− Δ

α =

Δ trong đó Δk – 1 là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ0 = 1 Như vậy

k 1

k

b f (e , e ) Δ −

Δ

và do đó định lý sau đây đã được chứng minh

Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f1, f2,…, fn dạng toàn phương có dạng

n

ik i k

i, k 1

f (x, x) a

=

= ∑ ξ ξ với aik = f(fi, fk) Tiếp theo, giả sử các định thức

Δ1 = a11, 2 11 12

a a

a a

Δ =

n

a a a

a a a

a a a

Δ =

đều khác 0 Khi đó, tồn tại các cơ sở e1, e2, , en trong đó f(x, x) được viết dưới dạng chính tắc như sau

n 1

với ξk là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e1, e2,…, en

Ví dụ: Xét dạng toàn phương

2x +3x x + 4x x + x + x

Ta có

3

2 3

1 0 2

2 0 1

Δ =

Δ0 = 1; Δ1 = 2; 2

3 2

1 2

1 2

3

1

17 2

4

−

−

8

Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình phương Chính là, nếu Δi – 1 và Δi có cùng dấu thì hệ số của 2

i

ξ là dương, nếu chúng khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1,

Δ1, Δ2,…, Δn

Và như vậy, ta có định lý sau:

Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các

thay đổi dấu của dãy 1, Δ1, Δ2,…, Δn

Giả sử, trong trường hợp riêng Δ >i 0, i 1, n= Khi đó, tồn tại cơ sở e1, e2, , en trong

đó dạng toàn phương có dạng

f (x, x) = λ ξ + λ ξ + + λ ξ

Với λ >i 0, i 1, n∀ = , do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ Hơn nữa, đẳng thức

n 2

i i

i 1

=

=∑λ ξ = Nếu ξ1 = ξ2 = … = ξn = 0

Nói cách khác, nếu Δ1 > 0, Δ2 > 0,…, Δn > 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương

Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δk > 0, ∀k

Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester)

Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f1, f2,…, fn là cơ sở của \n Khi đó, dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi

i 0, i 1, n

λ > ∀ =

8.2 Không gian Euclid

8.2.1 Tích vô hướng và không gian Euclid

8.2.1.1 Định nghĩa 8.3

Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của hai véc tơ x,

y ∈ V là một số thực, ký hiệu <x, y> thỏa mãn các tính chất sau:

1 <x, y> = <y, x> ∀x, y ∈ V

2 <λx, y> = λ<x, y> ∀x, y ∈ V

3 <x1 + x2, y> = <x1, y> + <x2, y> ∀x1, x2, y ∈ V

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclid, ký hiệu là E

Nhận xét:

Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính, đối xứng f(x, y) = <x, y> trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác định dương

8.2.1.2 Độ dài một véc tơ

Giả sử E là một không gian Euclid Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi

1 2

x = <x, x>

gọi là chuẩn của véc tơ x

Chú ý: Trong \n, ta định nghĩa tích vô hướng

n

i 1

x, y x y , x (x , , x ), y (y , , y )

=

Khi đó

n

i

i 1

=

= ∑

8.2.1.3 Góc giữa hai véc tơ

a, b a b cos(a, b)

<G G > = G G G G

<a, b>

cos(a, b)

a b

G G G

G

G

G , nếu aG ≠ 0, bG ≠ 0.

Chuyển sang không gian Euclid

<x, y>

cos(x, y) =

x y Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu <x, y> = 0

8.2.1.4 Hai không gian con trực giao

Cho E là một không gian Euclid Hai không gian con E1, E2 ⊂ E gọi là trực giao nếu

<x, y> = 0, ∀x ∈ E1, ∀y ∈ E2

8.2.1.5 Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn

Cho E là một không gian Euclid Hệ cơ sở {e1; e2;…; en} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu

<ei, ei> = 0 với i ≠ j (i, j = 1, 2,…, n)

Hệ cơ sở trực giao {e1; e2; en} gọi là hệ cơ sở trực chuẩn nếu e = 1, (i = 1, 2, , n) i

Ví dụ: Trong \n, tích vô hướng xác định bởi

<x, y> = n i i

i 1

x y

=

∑

thì hệ cơ sở tự nhiên

e1 = (1, 0,…, 0) ; e2 = (0, 1,…, 0); en = (0, 0,…, 1)

là một hệ trực chuẩn

8.2.1.6 Trực giao hóa Gram – Smit

Từ một cơ sở {f 1, f 2,…, f n} của E, hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn {e1, e2,…, en}

Bước 1: Xây dựng cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}

+ Đặt e1′ = f 1

+ Tìm e2′ = f2 + α21e1′ sao cho

<e1′, e2′> = 0 ⇒ <e1′, f2 > + α21< e1′, e1′> = 0

⇒ 21 e , f1'1' 1'2

e , e

< >

α = −

< >

+ Tìm e3′ = f3 + α32e2′ sao cho <e1′, e3′> = 0 và <e2′, e3′> = 0 Từ đây ta có hệ

31

32

⎧< > + α < > =

⎪

⎨

< > + α < > =

⎪⎩

e , f

e , e

e , f

e , e

′

′

⎧α = −< >

⎪ < >

⎪

⇒ ⎨

< >

⎪α = −

⎪ < >

⎩ Tiếp tục quá trình này

ek′ = fk + αk1e1′ + αk2e2′ +…+ αkk – 1ek′ sao cho

<ej′, ek′> = 0, j = 1, 2, , k – 1 Từ đó nhận được

e , f

e , e

′

< >

α =

< >, j = 1, 2, , k – 1

Bước 2: Từ hệ cơ sở trực giao {e1, e2,…, en}, ta xây dựng cơ sở trực chuẩn theo quy tắc j j'

j

e

e , j 1, 2, , n

a

′

8.2.2 Không gian hình học Euclid

8.2.2.1 Khái niệm

Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E

nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ MNJJJJG của E thỏa mãn hai tiên đề (1) MNJJJJG + NPJJJG = MP, M, N, PJJJG ∀ ∈U

(2) Với mỗi M ∈ U và aG∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN aJJJJG = G

Khi U là không gian hình học Euclid thì các phần tử của U gọi là các điểm

Định nghĩa 8.4:

(1) U là không gian hình học Euclid tựa trên E, O là một điểm của U f 1, f 2,…, f n là một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ {O, (f 1, f 2,…, f n)} được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn của U với gốc tọa độ O

(2) Theo hệ tọa độ trực chuẩn trên, mỗi điểm M ∈ U sẽ tương ứng với véc tơ OMJJJJG của

E và tọa độ của véc tơ OMJJJJG theo cơ sở f 1, f 2,…, f n của E được gọi là tọa độ của điểm

M theo hệ tọa độ {O, (f 1, f 2,…, f n)} , ta viết M(x1, x2,…, xn)

Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên:

(1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j}G G trong đó i, jG G là hai véc tơ đơn vị vuông góc (xem Hình 8.1(a))

x = (x1, x2) có biểu diễn duy nhất x = x i1G + x j2G

(2) Hệ tọa độ trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)}G G G trong đó i, j, kG G G là ba véc tơ đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b))

8.2.2.2 Đường thẳng và mặt phẳng

Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là

a1x1 + a2x2 = b với a1, a2 không đồng thời bằng 0

Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là

a1x1 + a2x2 + a3x3 = b

x2

x1

G j

G

i (a)

x3

G

2

x1

G j G

i

(b)

Hình 8.1