Toán Cao cấp C 2 potx

an đ-ợc gọi là chuỗi d-ơng nếu an> 0, với mọi n.Rõ ràng chuỗi d-ơng có dãy các tổng riêng {Sn} đơn điệu tăng nên sẽ hội tụ nếuthỏa thêm điều kiện bị chặn trên... Sự hội tụ đều Trong định

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI

TOÁN CAO CẤP C2

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Y Đà Lạt 2008 Z

1 Các định nghĩa và ví dụ 1

1.1 Chuỗi số .1

1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 3

1.3 Các tính chất của chuỗi 3

2 Chuỗi dương 4

2.1 Chuỗi dương 4

2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 5

3 Chuỗi với dấu bất kỳ .8

3.1 Chuỗi đan dấu .8

3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 8

4 Chuỗi hàm .9

4.1 Khái niệm chuỗi hàm, sự hội tụ, hội tụ đều .9

4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều .10

5 Chuỗi luỹ thừa 12

5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ 12

5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa .13

5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 15

5.4 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa .15

6 Khai triển Fourier 16

6.1 Chuỗi lượng giác .16

6.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ .17

6.3 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn có chu kỳ khác 2Π 18

6.4 Thác triển tuần hoàn 18

6.5 Tích phân Fourier 19

II Phương trình vi phân 1 Khái niệm phương trình vi phân 21

1.1 Vài mô hình dẫn đến phương trình vi phân 21

1.2 Các khái niệm .22

1.3 Bài toán Cauchy .23

2 Giải một số phương trình vi phân cấp 1 .24

2.1 Phương trình với biến số phân ly 24

2.2 Phương trình vi phân thuần nhất .26

2.3 Phương trình vi phân toàn phần 28

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 29

2.5 Phương trình Bernoully .33

2.6 Phương trình Clairaut .34

2.7 Phương trình Lagrange 35

3.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 .37

3.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .39

3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng .41

4 Hệ phương trình vi phân 44

4.1 Các khái niệm .44

4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng .45

III Phương trình đạo hàm riêng 1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 .49

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng .49

1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 .50

1.3 Phương pháp đặc trưng 51

2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 .52

2.1 Các định nghĩa .52

2.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 53

2.3 Dạng chính tắc .54

3 Các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 cơ bản .57

3.1 Bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu .57

3.2 Phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng 58

3.3 Phương trình truyền nhiệt một chiều 59

3.4 Phương trình truyền sóng một chiều .61

3.4 Phương trình Laplace .65

Tr-êng hîp ng-îc l¹i, tøc lµ lim

VËy, nÕu | x |≥ 1, th× chuçi

1.2 Tiêu chuẩn hội tụ

Dãy tổng riêng hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Từ đó, ta có tiêu chuẩnsau

Định lý 1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (??) hội tụ khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n > N, ∀p ∈ N : |an+1+ ã ã ã + an+p| < ε

Hệ quả 1 (Điều kiện cần )

Nếu chuỗi ( ??) hội tụ, thì lim

Do vậy, chuỗi này phân kỳ vì không thỏa tiêu chuẩn Cauchy với ε = 1/2

1.3 Các tính chất của chuỗi

an đ-ợc gọi là chuỗi d-ơng nếu an> 0, với mọi n.

Rõ ràng chuỗi d-ơng có dãy các tổng riêng {Sn} đơn điệu tăng nên sẽ hội tụ nếuthỏa thêm điều kiện bị chặn trên

2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d-¬ng

§Þnh lý 5 (Tiªu chuÈn so s¸nh) Cho hai chuçi d-¬ng

2) Xét sự hội tụ của chuỗi

n suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.

Khi dùng tiêu chuẩn so sánh ta th-ờng so sánh với chuỗi

ns hội tụ khi và chỉ khi s > 1.

Định lý 6 (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử X

Định lý 8 (Dấu hiệu tích phân) Cho hàm số f (x) > 0 và đơn điệu giảm trên

∞ 1

nếu s = 1

x1−s

1 − s

∞

1 nếu s 6= 1

Từ đó suy ra chuỗi Dirichlet hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1

3 Chuỗi với dấu bất kỳ

Trong bài này ta xét chuỗi với số hạng tổng quát có dấu tùy ý

3.1 Chuỗi đan dấu

Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

Định lý 9 (Dấu hiệu Leibnitz) Giả sử chuỗi đan dấu (1) có an > 0, ∀n Khi đó

n→∞an = 0 thì chuỗ đan dấu (1) hội tụ.

n Đây là chuỗi đan dấu với an= 1/n Dãy này đơn

điệu giảm và dần đến 0 nên theo tiêu chuẩn Leibnitz nó hội tụ

3.2 Hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 2 Ta nói chuỗi số

Mệnh đề 2 Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Nhận xét Điều ng-ợc lại của phát biểu trong mệnh đề là không đúng Chẳng

hạn, chuỗi điều hoà đan dấu

∞

X

n=1

(−1)n−1

n hội tụ nh-ng không hội tụ tuyệt đối.

Một chuỗi hội tụ nh-ng chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ thì ta nói chuỗi đó bán hội

tụ.

Định lý 10 (Hoán vị các số hạng) Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì khi hoán

vị tùy ý các số hạng ta đ-ợc chuỗi mới cũng hội tụ tuyệt đối và có cùng tổng chuỗi ban đầu.

nh-Trong dịnh lý trên, giả thiết hội tụ tuyệt đối là điều kiện tiên quyết, nhu sẽthấy trong định lý sau đây:

Định lý 11 (Riemann) Trong một chuỗi bán hội tụ, bằng cách hoán vị các số

hạng có thể làm cho chuỗi mới hoặc có tổng bằng một số cho tr-ớc bất kỳ hoặc phân kỳ.

đ-ợc gọi là chuỗi hàm xác định trên D với số hạng tổng quát un(x) Tổng (hữu

hạn) của n số hạng đầu tiên đ-ợc gọi là tổng riêng thứ n:

un(x) hội tụ trên D về hàm S(x) có thể diễn đạt nh- sau:

∀x ∈ D, ∀ε > 0, tồn tại số tự nhiên N (ε, x) sao cho |Sn(x) − S(x)| < ε

Định nghĩa 4 (Sự hội tụ đều) Trong định nghĩa trên nếu có thể chọn đ-ọc số tự

nhiên N không phụ thuộc vào x ∈ D thì sự hội tụ đó đ-ợc gọi là hội tụ đều.

Theo định nghĩa, tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ đều phát biểu nh- sau:

|un+1(x) + ã ã ã + un+p(x)| = | cos(n + 1)x

(n + 1)(n + 2)+ ã ã ã +

cos(n + p)x(n + p)(n + p + 1)|

(n + 1)(n + 2)+ ã ã ã +

1(n + p)(n + p + 1), ∀x ∈ R

un(x)hội tụ đều trên D.

4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

Định lý 14 (Tính liên tục của tổng) Nếu chuỗi hàm gồm các hàm liên tục trên

Định lý này là một điều kiện cần cho sự hội tụ đều của chuỗi các hàm liên tục

về hàm (không liên tục) S(x) =

(

0 0 ≤ x < 1

1 x = 1 Vậy sự hội tụ là không đều.

Định lý 15 (Tích phân qua chuỗi) Nếu chuỗi hàm

un(x)dx hội

tụ và

Z b a

tndt

=

Z x 0

5 Chuỗi lũy thừa

5.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa - Bán kính hội tụ

Chuỗi hàm dạng sau đây đ-ợc gọi là chuỗi lũy thừa

Tập các điểm x mà chuỗi lũy thừa (3) hội tụ đ-ợc gọi là miền hội tụ của nó.

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn khác rỗng (vì ít nhất, chuỗi lũy thừa hội tụtại 0)

Mệnh đề 3 Nếu chuỗi lũy thừa (3) hội tụ tại x0 6= 0 thì nó hội tụ tuyệt đối trên(−|x0|, |x0|)

Chứng minh Theo giả thiết chuỗi số

x

x0

xx0 ... hoàn tr? ?c số R C? ?ng vi? ?c đ-? ?c gọi th? ?c triển

tuần hoàn hàm số Nếu hàm số đ-? ?c cho [−π, π], ta th? ?c triển tuần